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【2010年高考精品】历届数学高考试题重组金卷——不等式


年高考精品】 【2010 年高考精品】历届数学高考试题重组金卷 不等式( 不等式(A 卷)
请将正确答案的代号填入下表) 一,选择题:(每小题 5 分,计 50 分.请将正确答案的代号填入下表) 选择题: x2 1.(2007 湖南理)不等式 湖南理) ≤ 0 的解集是( ) ( x +1 A. (∞, 1) ∪ ( 1, B. [ 1, 2] 2] C. ( ∞, 1) ∪ [2, ∞ ) D. ( 1, + 2] 2.(2004 北京文,理)已知 a,b,c 满足 c < b < a ,且 ac < 0,那么下列选项中一定成立的是( 北京文, ( 2 2 A. ab > ac B. c(b a) < 0 C. cb < ab D. ac(a c) > 0 3.(2006 安徽文)不等式 ( 安徽文)

)

1 1 < 的解集是( ) x 2 A. ( ∞, 2) B. (2, +∞ ) C. (0, 2) D. ( ∞,0 ) ∪ (2, +∞ ) 2 4.(2004 全国卷Ⅱ文,理)已知集合 M={x|x <4 } ,N={x|x2-2x-3<0 } ,则集合 M∩N=( ) 全国卷Ⅱ ( (A){x|x<-2 } (B){x|x>3} (C){x|-1<x<2 } (D){x|2<x<3 } 1 2 江西文, ) 5.(2006 江西文,理)若不等式 x + ax + 1≥ 0 对一切 x ∈ 0, 成立,则 a 的最小值为( ( 2 5 A. 0 B. 2 C. D. 3 2
1 4 6.(2006 陕西文)设 x,y 为正数,则有(x+y)( + )的最小值为( ( 陕西文) x y A.15 B.12 C.9 D.6 ) (C) a <1 (D)a≥1 ) )

7. (2007 安徽理 安徽理)若对任意 x ∈ R,不等式 x ≥ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是( (A)a<-1 (B) a ≤1

8.(2008 天津理)已知函数 f ( x ) = 天津理 (A) (C)

x y ≥0 9. (2008 天津文,理)设变量 x, y 满足约束条件 x + y ≤ 1 ,则目标函数 z = 5 x + y 的最大值为( ) 天津文, x + 2 y ≥ 1
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 10.(2006 四川理)某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a1,b1 千克,生产乙产品每千克需 四川理) ( 用原料 A 和原料 B 分别为 a2,b2 千克.甲,乙产品每千克可获利润分别为 d1,d 2 元.月初一次性购进本 月用原料 A,B 各 c1,c2 千克.要计划本月生产甲,乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最大. 在这个问题中,设全月生产甲,乙两种产品分别为x千克,y千克,月利润总额为z元,那么,用于求使 总利润 z = d1 x + d 2 y 最大的数学模型中,约束条件为( )

{x | 1 ≤ x ≤ 2 1} {x | x ≤ 2 1}

x + 1 x 1
(B) (D)

x<0 ,则不等式 x + ( x + 1) f ( x + 1) ≤ 1 的解集是( x≥0

{x | x ≤ 1}

{x |

2 1 ≤ x ≤ 2 1

}

a1 x + a2 y ≥ c1 , a1 x + b1 y ≤ c1 , b x + b y ≥ c , 2 2 (B) a2 x + b2 y ≤ c2 , (A) 1 x ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ 0 y ≥ 0
x2 + 2 x 4

a1 x + a2 y ≤ c1 , b x + b y ≤ c , 2 2 (C) 1 x ≥ 0, y ≥ 0

a1 x + a2 y = c1 , (D) b1 x + b2 y = c2 , x ≥ 0, y ≥ 0

二,填空题:(每小题 5 分,计 20 分) 填空题:
11.(2008 江西文 江西文)不等式 2



1 的解集为 2

_________

.

1

5 3 + = 2, ( x > 0, y > 0) ,则 xy 的最小值是_____________ x y 2 13.(2007 山东文)当 x ∈ (1, 时,不等式 x + mx + 4 < 0 恒成立,则 m 的取值范围是 ______ 山东文) 2) ( x + y ≥ 2, 14.(2007 福建文,理)已知实数 x,y 满足 x y ≤ 2, 则 z=2x-y 的取值范围是 ___________ . 福建文, ( 0 ≤ y ≤ 3, 解答题:(15, 三,解答题:(15,16 题各 12 分,其余各题分别 14 分,满分为 80 分) 15.(2005 春招北京理 设函数 f ( x ) = lg(2 x 3) 的定义域为集合 M, 春招北京理)
12.(2004 重庆文)已知 ( 重庆文) 函数 g ( x) = 1

.

求: (1)集合 M,N; 16. (2008 广东文)某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层,每层 2000 平 广东文) 方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x ≥ 10)层,则每平方米的 平均建筑费用为 560+48x(单位: 元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=

2 的定义域为集合 N. x 1 (2)集合 M ∩ N , M ∪ N .

购地总费用 ) 建筑总面积

湖北文) 17.(2008 湖北文 如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部 分),这两栏的面积之和为 18000cm2,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm,怎样 确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?

18.(2007 山东文)本公司计划 2008 年在甲,乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用 ( 山东文) 不超过 9 万元,甲,乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规定甲,乙两个电视台 为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲, 乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元? 19.(2005 全国卷Ⅰ文科 全国卷Ⅰ文科)已知二次函数 f ( x ) 的二次项系数为 a,且不等式 f ( x ) > 2 x 的解集为(1,3). (1)若方程 f ( x ) + 6a = 0 有两个相等的根,求 f ( x ) 的解析式; (2)若 f ( x ) 的最大值为正数,求 a 的取值范围. 20.(2007全国Ⅱ文)已知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1 在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值, 全国Ⅱ ( 全国 且0<x1<1<x2<2. (1)证明a>0; (2)若z=a+2b,求z的取值范围.

2

历届高考中的不等式试题精选(自我测试)(A 历届高考中的不等式试题精选(自我测试)(A 卷) )( 参考答案
请将正确答案的代号填入下表) 一,选择题:(每小题 5 分,计 50 分.请将正确答案的代号填入下表) 选择题:

题号 答案

1 D
;

2 A

3 D
12. 15

4 C
;

5 C
13.

6 C

7 B
;

8 C

9 D

10 C

二,填空题:(每小题 5 分,计 20 分) 填空题:
11. {x|-3≤x≤1} ≤ ≤

( ∞,5]

14. [-5,7 ]

三,解答题:(15,16 题各 12 分,其余各题分别 14 分,满分为 80 分) 解答题:(15, 3 15. 解:(Ⅰ) M = {x | 2 x 3 > 0} = {x | x > }; 2 2 x3 ≥ 0} = {x | x ≥ 3或x < 1} N = {x | 1 ≥ 0} = {x | x 1 x 1 3 M ∪ N = {x | x < 1或x > } . (Ⅱ) M ∩ N = {x | x ≥ 3}; 2 16,解:设楼房每平方米的平均综合费用为 y 元,依题意得 2160 × 10000 10800 y = (560 + 48 x) + = 560 + 48 x + ( x ≥ 10, x ∈ N * ) 2000 x x 10800 解法 1: y ≥ 560 + 2 48 x = 2000 x 10800 当且仅当 48 x = ,即 x=15 时,"="成立.因此,当 x = 15 时, y 取得最小值, ymin = 2000 元. x 10800 10800 解法 2: y′ = 48 ,令 y′ = 0 ,即 48 = 0 ,解得 x = 15 2 x x2 当 x > 15 时, y′ > 0 ;当 0 < x < 15 时, y′ < 0 ,因此,当 x = 15 时, y 取得最小值, ymin = 2000 元.
答:为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层. 17.本小题主要考查根据实际问题建立数学模型,以及运用函数, 不等式等知识解决实际问题的能力.(满分 12 分) 解法 1:设矩形栏目的高为 a cm,宽为 b cm,则 ab=9000. ① 广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0. 广告的面积 S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b ≥18500+2 25a 40b =18500+2 1000ab = 24500. 当且仅当 25a=40b 时等号成立,此时 b=

5 a ,代入①式得 a=120,从而 b=75. 8 y 25 , 其中 x>20,y>25 2

即当 a=120,b=75 时,S 取得最小值 24500.故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 解法 2:设广告的高为宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20, 两栏面积之和为 2(x-20)

y 25 18000 = 18000 ,由此得 y= + 25, 2 x 20 18000 18000 广告的面积 S=xy=x( + 25 )= + 25 x, x 20 x 20 360000 整理得 S= + 25( x 20) + 18500. x 20 360000 × 25( x 20) + 18500 = 24500. 因为 x-20>0,所以 S≥2 x 20

3

当且仅当

360000 = 25( x 20) 时等号成立, x 20 18000 +25,得 y=175, x 20

此时有(x-20)2=14400(x>20),解得 x=140,代入 y=

即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24500, 故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 18. 解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,由题意得

x + y ≤ 300, 500 x + 200 y ≤ 90000, x ≥ 0,y ≥ 0. 目标函数为 z = 3000 x + 2000 y . x + y ≤ 300, 二元一次不等式组等价于 5 x + 2 y ≤ 900, x ≥ 0,y ≥ 0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.如图: 作直线 l : 3000 x + 2000 y = 0 , 即 3 x + 2 y = 0 . 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值.

x + y = 300, 解得 x = 100,y = 200 . 5 x + 2 y = 900. ∴ 点 M 的坐标为 (100, . 200) ∴ zmax = 3000 x + 2000 y = 700000 (元)
联立 答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最大收益是 70 万元. 19.本小题主要考查二次函数,方程的根与系数关系,考查运用数学知识解决问题的能力.满分 12 分. 解:(Ⅰ)∵ f ( x) + 2 x > 0的解集为(1,3). f ( x) + 2 x = a( x 1)( x 3), 且ay< 0.因而

f ( x) = a ( x 1)( x 3) 2 x = ax 2 (2 + 4a ) x + 3a. ①
由方程 f ( x) + 6a = 0得ax 2 ( 2 + 4a ) x + 9a = 0.
2

500


400

因为方程②有两个相等的根,所以 = [ ( 2 + 4a )] 4a 9a = 0 ,

1 解得a = 1或a = . 5 1 由于 a < 0, 舍去a = 1.将a = 代入①得 f (x ) 的解析式 l 5 1 6 3 f ( x) = x 2 x . 5 5 5 1 + 2 a 2 a 2 + 4a + 1 2 (Ⅱ)由 f ( x ) = ax 2(1 + 2a ) x + 3a = a ( x ) a a 2 a + 4a + 1 及 a < 0, 可得f ( x )的最大值为 . a a 2 + 4a + 1 > 0, 由 解得 a < 2 3或 2 + 3 < a < 0. a a < 0,


5a 2 4 a 1 = 0.

300 200 100 M

0

100

200 300

x

故当 f (x ) 的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是 (∞ ,2 3 ) ∪ ( 2 + 3 ,0). 20. 解:求函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) = ax 2 2bx + 2 b . (Ⅰ)由函数 f ( x ) 在 x = x1 处取得极大值,在 x = x2 处取得极小值,知 x1,x2 是 f ′( x ) = 0 的两个根. 所以 f ′( x ) = a ( x x1 )( x x2 ) 当 x < x1 时,f ( x ) 为增函数,f ′( x ) > 0 , x x1 < 0 ,x x2 < 0 得 a > 0 . 由
4

f ′(0) > 0 (Ⅱ)在题设下, 0 < x1 < 1 < x2 < 2 等价于 f ′(1) < 0 f ′(2) > 0 2 b > 0 化简得 a 3b + 2 < 0 . 4a 5b + 2 > 0

2 b > 0 即 a 2b + 2 b < 0 . 4a 4b + 2 b > 0

此不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线: 2 b = 0,a 3b + 2 = 0,a 5b + 2 = 0 . 4 所围成的 △ ABC 的内部,其三个顶点分别为: A , ,B (2,,C (4, . 2) 2)

4 6 7 7
b

16 ,8 . 6, 7 16 所以 z 的取值范围为 , . 8 7
z 在这三点的值依次为

2

B (2, 2) C (4, 2)

1

4 6 A , 7 7

O

2

4

a

5

6

历届高考中的不等式试题精选(自我测试)(B 历届高考中的不等式试题精选(自我测试)(B 卷) )(
请将正确答案的代号填入下表) 一,选择题:(每小题 5 分,计 50 分.请将正确答案的代号填入下表) 选择题: x2 1(2007全国Ⅱ文)不等式 全国Ⅱ > 0 的解集是( ) ( 全国 x+3 (A)(-3,2) (B)(2,+∞) (C) (-∞,-3)∪(2,+∞) (D) (-∞,-2)∪(3,+∞) 2.(2007 山东文,理) 已知集合 M = {1,1} , N = x 山东文, (A) {1,1} (B)

{1}

(C) {0}

1 < 2 x +1 < 4, x ∈ Z ,则 M ∩ N = ( ) 2

(D)

{1, 0}

3.(2005 上海春招 a , , 是常数,则" a > 0 且 b 2 4 a c < 0 "是"对任意 x ∈ R ,有 a x 2 + b x + c > 0 "的 上海春招)若 b c (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件. ( ) (A)充分不必要条件. 4.(2008 海南, 海南, 宁夏文, ( 宁夏文, )已知 a1 > a2 > a3 > 0 ,则使得 (1 ai x ) < 1 (i = 1, 2, 3) 都成立的 x 取值范围是 ) 理
2

2 1 2 ) C. (0, ) D. (0, ) a1 a3 a3 5.(2008 江西理 若 0 < a1 < a2 , 0 < b1 < b2 ,且 a1 + a2 = b1 + b2 = 1 ,则下列代数式中值最大的是( 江西理) 1 A. a1b1 + a2b2 B. a1a2 + b1b2 C. a1b2 + a2b1 D. 2 x+5 6.(2008 山东文 山东文)不等式 ≥ 2 的解集是( ) ( x 1) 2 1 1 1 1 A. 3, B. , C. , ∪ (1, D. , ∪ (1, 3 1 3] 1 3] 2 2 2 2 1 2 1 7.(2005 重庆理)若 x,y 是正数,则 ( x + ( 重庆理) ) + ( y + ) 2 的最小值是( ) 2y 2x 7 9 A.3 B. C.4 D. 2 2 x + y 1 < 0, 8.(2007 全国Ⅰ文)下面给出的四个点中,位于 全国Ⅰ 表示的平面区域内的点是( ) x y + 1 > 0
A.(0, B. (0, (A)(0,2) (B)(-2,0) (C)(0,-2) (D)(2,0) )

1 ) a1

)

x + y ≤ 10, 9.(2006 山东文)已知 x 和 y 是正整数,且满足约束条件 x y ≤ 2, 则 z=2x+3y 的最小值是( 山东文) ( 2 x ≥ 7.

(A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5 10.(2007 四川文,理)某公司有 60 万元资金,计划投资甲,乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于 ( 四川文, 对项目乙投资的

2 倍,且对每个项目的投资不能低于 5 万元,对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利 3

润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确提财投资后,在两个项目上共可获得的最 大利润为( ) A.36 万元 B.31.2 万元 C.30.4 万元 D.24 万元

二,填空题:(每小题 5 分,计 20 分) 填空题:
1, x ≥ 0, 则不等式 x + ( x + 2) f ( x + 2) ≤5 的解集是 1, x0, 12.(2007 上海理)若 x,y ∈ R + ,且 x + 4 y = 1 ,则 x y 的最大值是 上海理) . (
11.(2004 浙江文,理)已知 f ( x ) = ( 浙江文,
湖南文, 13.(2007 湖南文,理)设集合 A =

.

{( x, y ) | y ≥| x 2 |, x ≥ 0} , B = {( x, y ) | y ≤ x + b} , A ∩ B ≠ ,
.
7

b 的取值范围是

x + y ≤ 5, 3 x + 2 y ≤ 12, 14.(2005 山东文,理)设 x, y 满足约束条件 山东文, ( 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4.
则使得目标函数 z = 6 x + 5 y 的值最大的点 ( x, y ) 是_______
新疆 王新敞
奎屯

三,解答题:(15,16 题各 12 分,其余各题分别 14 分,满分为 80 分) 解答题:(15, xa 15.(2007 北京文 北京文)记关于 x 的不等式 < 0 的解集为 P ,不等式 x 1 ≤ 1 的解集为 Q . ( x +1 (错误!未找到引用源.)若 a = 3 ,求 P ; 错误! (错误!未找到引用源.)若 Q P ,求正 错误! 错误 未找到引用源. 错误 未找到引用源. 数 a 的取值范围. 2 16.(2004 全国Ⅲ卷文,理)某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左.右 全国Ⅲ卷文, ( 两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道, 沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地. 当矩形温室的边长各为多少时?
蔬菜的种植面积最大.最大种植面积是多少?
2 17.(2006全国Ⅱ卷文 17.(2006全国 卷文)设 a ∈ R ,函数 f ( x ) = ax 2 x 2a. 若 f ( x ) > 0 的解集为A, 全国 卷文)

B = { x |1 < x < 3} , A ∩ B ≠ φ ,求实数 a 的取值范围.

18.(2008 安徽文)设函数 f ( x ) = ( 安徽文)

a 3 3 2 x x + (a + 1) x + 1, 其中a 为实数. 3 2 (Ⅰ)已知函数 f ( x ) 在 x = 1 处取得极值,求 a 的值;
(Ⅱ)已知不等式 f ' ( x ) > x 2 x a + 1 对任意 a ∈ (0, +∞) 都成立,求实数 x 的取值范围.

19. (2007 湖北文)(本小题满分 12 分)设二次函数 f ( x ) = x 2 + ax + a, 方程 f ( x ) x = 0 的两根 x1 和 湖北文)

x 2 满足 0 x1 x 2 1.
(Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)试比较 f (0) f (1) f (C)与

1 的大小,并说明理由. 15

浙江文) 20.(2006 浙江文)设 f ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c , 若a + b + c = 0 ,f(0)f(1)>0,求证: ( (Ⅰ)方程 f ( x ) = 0 有实根. (Ⅱ) -2<

b <-1; a

(错误!未找到引用源.)设 x1 , x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,则. 错误!未找到引用源. 错误

3 2 ≤| x1 x2 | < 3 3

8

历届高考中的不等式试题精选(自我测试)(B 历届高考中的不等式试题精选(自我测试)(B 卷) )(
请将正确答案的代号填入下表 答案的代号填入下表) 一,选择题:(每小题 5 分,计 50 分.请将正确答案的代号填入下表) 选择题:

题号 答案

1 C

2 B

3 A

4 B

5 A

6 D

7 C

8 C

9 B

10 B

二,填空题:(每小题 5 分,计 20 分) 填空题:
3 1 12. ; 13. [1, ∞ ) ; 14. 27 + 2 16 解答题:(15, 三,解答题:(15,16 题各 12 分,其余各题分别 14 分,满分为 80 分) x3 15.解:(错误! 未找到引用源 . )由 错误! < 0 ,得 P = { x 1 < x < 3} .(错误!未找到引用源 . ) 错误! 错误 未找到引用源. 错误 未找到引用源. x +1 Q = x x 1 ≤ 1 = { x 0 ≤ x ≤ 2} .
11. (∞, ] ;

{

}

由 a > 0 ,得 P = x 1 < x < a ,又 Q P ,所以 a > 2 ,即 a 的取值范围是 (2, ∞ ) . + 16.本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题,应用不等式等基础知识和方法解决问题的 能力. 满分 12 分. 解:设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,则 ab = 800. 蔬菜的种植面积 S = ( a 4)(b 2)
2

{

}

= ab 4b 2a + 8 = 808 2(a + 2b).

所以 S ≤ 808 4 2ab = 648( m ). 当 a 2b, 即a 40( m), b = 20( m)时, S 最大值 = 648(m ).
2

答:当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积为 648m2. 17.. 解:由 f(x)为二次函数知 a ≠ 0

1 1 1 1 2 + 2 , x2 = + 2 + 2 由此可知 x1 < 0, x2 > 0 a a a a 6 1 1 (i) a > 0 时,A = {x | x < x1} ∪ {x | x > x2 } A ∩ B ≠ φ 的充要条件是 x2 < 3 , 当 即 + 2 + 2 < 3 解得 a > 7 a a 1 1 (ii)当 a < 0 时, A = {x | x1 < x < x2 } A ∩ B ≠ φ 的充要条件是 x2 > 1 ,即 + 2 + 2 > 1 解得 a < 2 a a 6 综上,使 A ∩ B = φ 成立的 a 的取值范围为 (∞, 2) ∪ ( , +∞) 7 ' 2 18.解: (1) f ( x ) = ax 3 x + ( a + 1) ,由于函数 f ( x ) 在 x = 1 时取得极值,所以 f ' (1) = 0 解 即 a 3 + a + 1 = 0,∴ a = 1
令 f(x)=0 解得其两根为 x1 = (2) 方法一:由题设知: ax 2 3 x + ( a + 1) > x 2 x a + 1 对任意 a ∈ (0, +∞) 都成立 方法一: 即 a ( x 2 + 2) x 2 2 x > 0 对任意 a ∈ (0, +∞) 都成立 设 g ( a ) = a ( x 2 + 2) x 2 2 x( a ∈ R ) , 则对任意 x ∈ R , g ( a ) 为单调递增函数 ( a ∈ R ) 所以对任意 a ∈ (0, +∞) , g ( a ) > 0 恒成立的充分必要条件是 g (0) ≥ 0 即 x 2 x ≥ 0 ,∴ 2 ≤ x ≤ 0
2 2

于是 x 的取值范围是 x | 2 ≤ x ≤ 0}
2

{

方法二: 方法二:由题设知: ax 3 x + ( a + 1) > x x a + 1 对任意 a ∈ (0, +∞) 都成立 即 a ( x 2 + 2) x 2 2 x > 0 对任意 a ∈ (0, +∞) 都成立

x2 + 2x x2 + 2 x 于是 a > 2 对任意 a ∈ (0, +∞) 都成立,即 2 ≤0 x +2 x +2 ∴ 2 ≤ x ≤ 0 于是 x 的取值范围是 { x | 2 ≤ x ≤ 0}
19.解法 1:(Ⅰ)令 g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,则由题意可得
9

> 0, 1 a a > 0, < 1, 0 < 1 < a < 1, 0 < a < 3 2 2. 2 g (1) > 0, a < 3 2 2 , 或a > 3 + 2 2 , g (0) > 0.
故所求实数 a 的取值范围是(0,3-2 2 ).(Ⅱ)f(0),f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a2, 令 h(a)=2a2. ∵当 a>0 时 h(a)单调增加,∴当 0<a<3-2 2 时 0<h(a)<h(3-2 2 )=2(3-2 2 )2=2(17-12 2 )=2 解法 2:(Ⅰ)同解法 1. (Ⅱ)∵f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a2,由(Ⅰ)知 0<a<3-2 2 ∴4 2 a-1<12 2 -17<0,又 4 2 a+1>0,于是 2a2即 2a2-

1 1 1 < ,即f (0) f (1) f (0) < . 16 17 + 12 2 16

1 1 1 = (32a 2 1) = (4 2a 1)(4 2a + 11) < 0, 16 16 16

1 1 < 0, 故 f(0)f(1)-f(0)< . 16 16 解法 3:(Ⅰ)方程 f(x)-x=0 x2+(a-1)x+a=0,由韦达定理得 > 0, x + x > 0 1 2 x 1 + x2 = 1 a, x1 x2 = a, 于是 0 < x1 < x2 < 1 (1 x1 ) + (1 x2 ) > 0, (1 x1 )(1 x2 ) > 0, a > 0, a < 1, 0 < a < 3 2 2. a < 3 2 2 , 或a > 3 + 2 2 , 故所求实数 a 的取值范围是(0,3-2 2 )
(Ⅱ)依题意可设 g(x)=(x-x1)(x-x2),则由 0<x1<x2<1 得 f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=x1x2(1-x1)(1-x2)=[x1(1-x1)][x2(1-x2)]

1 1 x + 1 x1 x2 + 1 x2 < 1 = , 故f (0) f (1) f (0) < . 2 2 16 16
2 2

20.本题主要考查二次函数的基本性质,不等式的基本性质与解法,以及综合运用所学知识分析和解决问 题的能力.满分 14 分. 证明:(Ⅰ)若 a = 0, 则 b = -c , f (0) f (1) = c (3a + 2b + c ) = c ≤ 0 ,与已知矛盾, 所以 a ≠ 0.
2

方程 3ax + 2bx + c = 0 的判别式 = 4(b 2 3ac), 由条件 a + b + c = 0,消去 b,得
2

1 3 = 4(a 2 + c 2 ac) = 4 (a c)2 + c 2 > 0 故方程 f (x) = 0 有实根. 2 4 (Ⅱ)由 f (0)f (1) > 0 ,可知 c(3a + 2b + c) > 0 又 a + b + c = 0,所以 c = (a + b) b b b 2 所以 (a + b)( 2a + b) < 0 ,又 a ≠ 0. 所以 a > 0 所以 ( + 1)( + 2) < 0 ,解得 2 < < 1, a a a 2b c a+b (Ⅲ)由条件,知 x1 + x2 = , x1 x2 = = , 3a 3a 3a 4 b 3 2 1 b 1 4 2 2 所以 ( x1 x2 ) = ( x1 x2 ) 4 x1 x2 = ( + ) + . 因为 2 < < 1, 所以 ≤ ( x1 x2 ) 2 < 9 a 2 3 a 3 9 3 2 ≤ x1 x2 < . 故 3 3
10


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