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第一章第1讲 集合的概念与运算


第一章 集合与常用逻辑用语

第一章 集合与常用逻辑用语

2016高考导航

知识点

集合

考纲下载 1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系. (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描 述法)描述不同的具体问题. 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合 的子集. (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义. 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简 单集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求 给定子集的补集. (3)能使用Venn图表示集合的关系及运算.

第一章 集合与常用逻辑用语

知识点

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1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的函 简单不等 数、方程的联系. 式的解法 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等 式,会设计求解的程序框图. 命题及其 关系、充 分条件与 必要条件 1.了解命题的概念. 2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否 命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

第一章 集合与常用逻辑用语

知识点

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1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含 义. 2.理解全称量词与存在量词的含义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

简单的逻辑 联结词、全 称量词与存 在量词

第一章 集合与常用逻辑用语

第1讲 集合的概念与运算

第一章 集合与常用逻辑用语

1.集合与元素

确定性 (1) 集 合 元 素 的 三 个 特 征 : __________ 、 __________ 、 互异性 无序性 . __________ 属于 或__________ 不属于 关系,用 (2)元素与集合的关系是__________ ? 表示. ∈ 或______ 符号______ 列举法 、__________ 描述法 、__________ 图示法 . (3)集合的表示法:__________

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第一章 集合与常用逻辑用语

(4)常见数集的记法 集合 自然 数集 N 正整数集 N*(或N+) 整数集 有理 数集 Q 实数集

符号

Z

R

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第一章 集合与常用逻辑用语

2.集合间的基本关系 (1)集合关系图解 关系 韦恩(Venn)图表示 符号表示 真子集A 子集 A?B 集合相等A=B B

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第一章 集合与常用逻辑用语

? 空集 (2)不含任何元素的集合叫做__________ ,记作______ ,并
规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的 真子集 . __________

3.集合的基本运算 集合的并集 图形 语言 A∪B= {x|x∈A, __________ 或x∈B} __________ A∩B= { x|x∈A, __________ 且 x∈B} __________ ?UA= {x|x∈U, __________ 且x?A} __________
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集合的交集

集合的补集

符号 语言

第一章 集合与常用逻辑用语

[做一做] 1.已知集合 A={x|x 是平行四边形},B={x|x 是矩形},C ={x|x 是正方形},D={x|x 是菱形},则( B ) A.A?B B.C?B C.D?C D.A?D
2.(2014· 高考北京卷)已知集合 A={x|x2-2x=0},B={0, 1,2},则 A∩B=( C ) A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2}

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第一章 集合与常用逻辑用语

3.(2014· 高考浙江卷)设全集 U={x∈N|x≥2},集合 A= {x∈N|x2≥5},则?UA=( B ) A.? C.{5} B.{2} D.{2,5}

解析:因为 A={x∈N|x≤- 5或 x≥ 5}, 所以?UA={x∈N|2≤x< 5},故?UA={2}.

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第一章 集合与常用逻辑用语

1.辨明五个易误点 (1)认清集合元素的属性 (是点集、数集或其他情形 )和化简集 合是正确求解的两个先决条件. (2)要注意区分元素与集合的从属关系 ;以及集合与集合的包 含关系. (3)易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它 本身. (4)运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心. (5)在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互 异性, 否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
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第一章 集合与常用逻辑用语

2.巧用两种数学思想 (1)数形结合思想 数轴和 Venn 图是进行交、并、补集运算的有力工具,数形 结合是解集合问题的常用方法,解题时要先把集合中各种形 式的元素化简,使之明确化,尽可能地借助数轴、直角坐标 系或 Venn 图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、 直观化,然后利用数形结合的思想方法解题. (2)转化与化归思想 在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一 定的联系,在一定的情况下可以相互转化,如 A?B?A∩B =A?A∪B=B??UA??UB?A∩(?UB)=?, 在解题中运用这 种转化能有效地简化解题过程.
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第一章 集合与常用逻辑用语

[做一做] 4.由 a2,2-a,4 组成一个三元素集合 A,则实数 a 的值 可以是( C ) A.1 B.-2 C.6 D.2 5.已知集合 A={-1,0,4},集合 B={x|x2-2x-3≤0, -1,4} . x∈N}, 全集为 U, 则图中阴影部分表示的集合是{ ________

解析:∵B= {x|x2-2x- 3≤0, x∈N}= {x|- 1≤x≤3, x∈N} ={0,1,2,3}.而图中阴影部分表示的为属于 A 且不属于 B 的元素构成的集合,故该集合为{-1,4}.
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第一章 集合与常用逻辑用语

考点一 考点二

集合的基本概念 集合间的基本关系

考点三

集合的基本运算(高频考点)

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第一章 集合与常用逻辑用语

考点一 集合的基本概念
(1)(2013· 高考山东卷)已知集合 A={0,1,2},则集 合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( C ) A.1 B.3 C.5 D.9 (2)已知集合 M={1,m},N={n,log2n},若 M=N,则(m

- 1或 0 . -n)2 015=________

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第一章 集合与常用逻辑用语

[解析] (1)当 x=0,y=0 时,x-y=0;当 x=0,y=1 时, x-y=-1; 当 x=0,y=2 时,x-y=-2;当 x=1,y=0 时,x-y=1; 当 x=1,y=1 时,x-y=0;当 x=1,y=2 时,x-y=-1; 当 x=2,y=0 时,x-y=2;当 x=2,y=1 时,x-y=1; 当 x=2,y=2 时,x-y=0.根据集合中元素的互异性知, B 中元素有 0,-1,-2,1,2,共 5 个.

(2)由 M=N 知, ? ? ?n=1 ?n=m ? 或? , ?log2n=m ? ?log2n=1 ? 故(m-n)2 015=-1 或 0.

? ?n=1 ? ?m=2 ∴? 或? , ?m=0 ? ? n= 2 ?

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第一章 集合与常用逻辑用语

若将本例(1)中的集合 B 更换为 B={(x, y)|x∈A,

6 y∈A,x-y∈A},则集合 B 中有________ 个元素.
解析:当 x=0 时,y=0;当 x=1 时,y=0 或 y=1;当 x =2 时,y=0,1,2.

故集合 B={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1), (2,2)},即集合 B 中有 6 个元素.

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第一章 集合与常用逻辑用语

[规律方法]

解决集合的概念问题应关注两点

1.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对 于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元 素是否满足互异性. 2.对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集 合中 哪一 个元素相等,分几种情况列出方程(组)进行求解,要 注意检验 是否满足互异性.
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第一章 集合与常用逻辑用语

1. 已知集合 M={1, m+2, m2+4}, 且 5∈M, 则 m 的值为( B ) A.1 或-1 C.-1 或 3 解析:∵5∈{1,m+2,m2+4}, B.1 或 3 D.1,-1 或 3

∴m+2=5 或 m2+4=5, 即 m=3 或 m=± 1. 当 m=3 时,M={1,5,13};当 m=1 时,M={1,3,5};
当 m=-1 时,M={1,1,5}不满足互异性. ∴m 的值为 3 或 1.
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第一章 集合与常用逻辑用语

考点二 集合间的基本关系
(1) 已知集合 A = {x|x2 - 3x + 2 = 0 , x ∈ R} , B = {x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数 为( D ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知集合 A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0}, 若 A?B,则实数 c 的取值范围是( B ) A.(0,1] B.[1,+∞) C.(0,1) D.(1,+∞)

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第一章 集合与常用逻辑用语

[解析] (1)由 x2-3x+2=0,得 x=1 或 x=2, ∴A={1,2}.由题意知 B={1,2,3,4}, ∴满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1, 2,3,4}. (2)法一:因为 A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1), B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c).因为 A?B,画出数轴,如 图所示,得 c≥1,即实数 c 的取值范围是[1,+∞).

法二:因为 A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),取 c=1,则 B=(0,1),所以 A?B 成立,故可排除 C,D; 取 c=2,则 B=(0,2),所以 A?B 成立,故可排除 A.
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第一章 集合与常用逻辑用语

[规律方法]

(1)判断两集合的关系常有两种方法:一是化

简集合,从表达式中寻找两集合间的关系;二是用列举法 表示各集合,从元素中寻找关系. (2)子集与真子集的区别与联系:集合 A 的真子集一定是其 子集,而集合 A 的子集不一定是其真子集;若集合 A 有 n 个元素,则其子集个数为 2n,真子集个数为 2n-1.
[注意] 题目中若有条件 B?A,则应分 B=?和 B≠?两种 情况进行讨论.
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第一章 集合与常用逻辑用语

2.(1)(2013· 高考福建卷)已知集合 A={1,a},B ={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的( A ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(2)已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|a+1<x<2a-1},若 B

(-∞,4] ? A,则实数 a 的取值范围是___________________ .

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第一章 集合与常用逻辑用语

解析:(1)∵A={1,a},B={1,2,3},A?B,∴a∈B 且 a≠1,∴a=2 或 3,∴“a=3”是“A?B”的充分而不必 要条件.

(2)当 B=?时,有 a+1≥2a-1, 则 a≤2.当 B≠?时,若 B ? A,如图.
a+1≥-2 ? ? 则?2a-1≤7 ,解得 2<a≤4. ? ?a+1<2a-1 综上,a 的取值范围为 a≤4.

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第一章 集合与常用逻辑用语

考点三 集合的基本运算(高频考点)
集合的基本运算是历年各地高考的热点,每年必考,常和 不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题,主要以 选择题的形式出现.试题难度不大,多为低档题. 高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度: (1)求集合间的交、并、补运算; (2)已知集合的运算结果求集合; (3)已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围).
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第一章 集合与常用逻辑用语

(1)已知全集 U=R,集合 A={x|lg x≤0},B={x|2x ≤ 2},则 A∪B=( D ) A.? 1 C.[ ,1] 3 1 B.(0, ] 3 D.(-∞,1] 3

(2)(2014· 高考重庆卷)设全集 U={n∈N|1≤n≤10}, A={1,

{7,9} . 2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(?UA)∩B=________

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第一章 集合与常用逻辑用语

(3)已知集合 A, B 均为全集 U={1, 2, 3, 4}的子集, 且?U(A∪B)

{3} . ={4},B={1,2},则 A∩(?UB)=________
(4)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-

1 -1 ,n=________ 2)<0},且 A∩B=(-1,n),则 m=________ . 1 [解析] (1)由题意知,A=(0,1],B=(-∞, ],∴A∪B= 3
(-∞,1].故选 D.
(2)U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},画出 Venn 图, 如图所示,阴影部分就是所要求的集合,即(?UA)∩B={7,9}.

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第一章 集合与常用逻辑用语

(3)∵U={1,2,3,4},?U(A∪B)={4}, ∴A∪B={1,2,3}.又∵B={1,2},∴{3}?A?{1,2,3}. 又?UB={3,4},∴A∩(?UB)={3}.
(4)A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5<x<1}, 由 A∩B=(-1,n),可知 m<1, 由 B={x|m<x<2},画出数轴,可得 m=-1,n=1.

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第一章 集合与常用逻辑用语

[规律方法]

(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn

图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时 需注意端点值的取舍. (2)在解决有关 A∩B=?时,往往忽略空集的情况,一定先 考虑?是否成立,以防漏解.另外要注意分类讨论和数形结 合思想的应用.

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第一章 集合与常用逻辑用语

1 x 3. (1)已知集合 A={x|y= x}, B={x| <2 <4}, 2 则(?RA)∩B 等于( B ) A.{x|-1<x<2} B.{x|-1<x<0} C.{x|x<1} D.{x|-2<x<0} (2)(2015· 河北唐山模拟)集合 M={2,log3a},N={a,b}, 若 M∩N={1},则 M∪N=( D ) A.{0,1,2} B.{0,1,3} C.{0,2,3} D.{1,2,3}

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第一章 集合与常用逻辑用语

(3)(2015· 新乡市一中月考)设集合 A={x||x-a|<1,x∈R}, B={x|1<x<5,x∈R},若 A∩B=?,则实数 a 的取值范围 是( C ) A.{a|0≤a≤6} B.{a|a≤2 或 a≥4} C.{a|a≤0 或 a≥6} D.{a|2≤a≤4}
解 析 : (1) 因 为 A = {x|y = x } = {x|x≥0} , 所 以 ?RA = 1 {x|x<0}.又 B={x| <2x<4}={x|-1<x<2},所以(?RA)∩B= 2 {x|-1<x<0}.

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第一章 集合与常用逻辑用语

(2)因为 M∩N={1},所以 log3a=1,即 a=3,所以 b=1, 即 M={2,1},N={3,1},所以 M∪N={1,2,3},故选 D.
(3)|x - a|<1 ? - 1<x - a<1 ? a - 1<x<a + 1 , 又 B = {x|1<x<5},A∩B=?,故 a+1≤1 或 a-1≥5,即 a≤0 或 a≥6.

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第一章 集合与常用逻辑用语

交汇创新——集合中的创新问题
以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题 的一个热点, 此类题目常常以“问题”为核心, 以“探究” 为途径,以“发现”为目的,这类试题只是以集合为依托, 考查考生理解问题、解决创新问题的能力. 常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等,这类试题 中集合只是基本的依托.

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第一章 集合与常用逻辑用语

(1)如图所示的 Venn 图中,A,B 是非空集合,定 义集合 A#B 为阴影部分表示的集合.若 x,y∈R,A={x|y = 2x-x2},B={y|y=3x,x>0},则 A#B 为( D ) A.{x|0<x<2} B.{x|1<x≤2} C.{x|0≤x≤1 或 x≥2} D.{x|0≤x≤1 或 x>2} (2)如果集合 A 满足若 x∈A,则-x∈A,那么就称集合 A 为“对称集合”.已知集合 A={2x,0,x2+x},且 A 是对 {0,6} . 称集合,集合 B 是自然数集,则 A∩B=________
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第一章 集合与常用逻辑用语

[ 解析 ]

(1) 因为 A = {x|0≤x≤2} , B = {y|y>1} , A ∪ B =

{x|x≥0}, A∩ B= {x|1<x≤2},所以 A#B = ? A ∪ B(A∩B) = {x|0≤x≤1 或 x>2},故选 D.
(2)由题意可知-2x=x2+x,∴x=0 或 x=-3.而当 x=0 时不符合元素的互异性,所以舍去.当 x=-3 时,A={- 6,0,6},所以 A∩B={0,6}.

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第一章 集合与常用逻辑用语

[名师点评] 解决集合创新型问题的方法: (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述 的问题的本质弄清楚, 并能够应用到具体的解题过程之中, 这是破解新定义型集合问题难点的关键所在. (2)用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算 性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在 解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因 素,在关键之处用好集合的性质.
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第一章 集合与常用逻辑用语

1.(2015· 安徽安庆一中、安师大附中联考)设集 合 S={A0,A1,A2},在 S 上定义运算⊕:Ai⊕Aj=Ak,其 中 k 为 i+j 被 3 除的余数,i,j∈{1,2,3},则使关系式(Ai ⊕Aj)⊕Ai=A0 成立的有序数对(i,j)总共有( C ) A.1 对 C.3 对 B.2 对 D.4 对

解析:i=1 时,j=1 符合要求;i=2 时,j=2 符合要求;i =3 时,j=3 符合要求,所以使关系式(Ai⊕Aj)⊕Ai=A0 成 立的有序数对(i,j)有(1,1),(2,2),(3,3),共 3 对.
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第一章 集合与常用逻辑用语

2.(2015· 广东揭阳模拟)对于集合 M,定义函数
? ?-1,x∈M, fM(x)=? 对于两个集合 A,B,定义集合 A△B= ? ?1,x?M.

{x|fA(x)· fB(x)=-1}.已知 A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,

{1,6,10,12} 12},则用列举法写出集合 A△B 的结果为_________________.

解析:要使 fA(x)· fB(x)=-1,必有 x∈{x|x∈A 且 x?B}∪{x|x∈ B 且 x?A}={1,6,10,12},所以 A△B={1,6,10,12}.

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第一章 集合与常用逻辑用语

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