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辽宁省锦州市2015-2016学年高二数学下学期期末市区统考试卷 理


2015~2016 学年度第二学期期末考试 高二数学(理)
第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) (1)已知 i 是虚数单位 ,则复数 z ? (A)第一象限

2?i 在复平面内对应的点所在的象限为 4 ? 3i
(C)第三象限 (D)第四象限

(B)第二象限

( 2)已知集合 M ? 1, (m 2 ? 3m ? 1) ? (m 2 ? 5m ? 6) i ,其中 i 是虚数单位, N ? ? 1, 3 ? ,

?

?

M ? N ? ? 1, 3 ? ,则实数 m 的值为
(A)4
n

(B)-1

(C)4 或-1
n?k k

(D)1 或 6

(3) (2 x ? 5 y) 展开式中第 k 项的二项式系数为 (A) Cn
k k ?1

(B) Cn 2

k

5

(C) Cn

(D) Cn 2

k ?1

n?1?k k ?1

5

(4)设函数 f ( x) ( x ? R) 为奇函数, f (1) ? (A)

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (3) ? 2
(C)1 (D)2

1 3

(B)

3 2

(5)下列值等于 1 的是 (A)

?

1

0

x dx

(B) (D)

? ( x ? 1) dx
0

1

(C) 1 dx
0

?

1

?

1

0

1 dx 2
3 3

(6) “因对数函数 y ? loga x 是增函数(大前提),而 y ? log 1 x 是对数函数(小前提),所以 y ? log 1 x 是 增函数(结论). ”上面推理错误的是 (A)大前提错导致结论错 (B)小前提错导致结论错 (C)推理形式错导致结论错 (D)大前提和小前提都错导致结论错 (7)已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)(其中a ? b) 的图象如图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的图象是
y -1 1
O

x

y
1 O

y
1

y
1

y
1

x

O (B)

x

O

x

O

x

(A)

(C)

(D)

(8)某班主任对全班 50 名学生进行了作业量的调查,数据如下表
1

认为作业量大 男生 女生 总计 18 8 26

认为作业量不大 9 15 24

总计 27 23 50

则推断“学生的性别 与认为作业量大有关”的把握大约为 (A)99% (B)95% (C)90% (D)不确定 附:

?2 ?

n(n11n22 ? n12 n21 )2 . n1? ? n2? ? n?1 ? n?2

独立性检验临界值表 )

P(χ 2≥ k) K
(9)下列命题中,正确的命题个数是

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

①用相关系数 r 来判断两个变量的相关性时, r 越接近 0,说明两个变量有较强的相关性; ②将一组数据中的每个数据都加上同一个非零常数后,期望改变,方差不变; ③某厂生产的零件外直径 x ~ N (3 ,1) ,且 p(2 ? x ? 4) ? 0.68 ,则 p( x ? 4) ? 0.84 ④用数学归纳法证明不等式

1 1 1 13 ? ??? ? (n ? 2, n ? N * ) 的过程中, 由 n ? k 递推到 n ?1 n ? 2 2n 14 n ? k ? 1 时不等式的左边增加项为 1 ? 1
2k ? 1 2k ? 2

(A)1 个

(B)2 个

(C)3 个

(D)4 个

(10)甲,乙,丙三人到三个景点旅游,每人只去一个景点,设事件 A 为“三个人去的景点不相同” ,B 为 “ 甲独自去一个景点” ,则概率 P( A B) 等于 4 (A) 9 2 (B) 9 1 (C) 2 1 (D) 3

(11)从 1,2,3,4,9,18 六个数中任取两个不同的数分别 作为一个对数的底数和真数,得到不同的对 数值有 (A)21 (B)20 (C)19 (D)17

(12) 已知函数 f ( x) ? ln x ? tan ? (0 ? ? ? 则 ? 的取值范围为 (A) (

?
2

) 的导函数为 f ?( x ) ,若方程 f ?( x) ? f ( x) 的根 x0 小于 1,

? ?

, ) 4 2

(B) (0,

?
3

)

(C) (

? ?

, ) 6 4

(D) (0,

?
4

)

第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分.共 20 分.)
2 (13)如果质点 M 按规律 s ? 3 ? t 运动,则在一小段时间[2 , 2.1]中相应的平均速度是______.

(14)用反证法证明命题“若 a 2 ? b 2 ? 0 ,则 a , b 全为 0 ( a , b 为实数)” ,其反设为________.
2

(15)设 a ? Z ,且 0 ? a ? 13 ,若 512016 ? a 能被 13 整除,则 a =________. (16)已知函数 f ( x) 的定义域为(0,+∞),且 f ( x) ? 2 f ( ) ? x ? 1 ,则 f ( x) =________. 三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) (17) (本小题满分 10 分) 已知 i 是虚数单位, z1 ? x ? yi ( x, y ? R) ,且 x 2 ? y 2 ? 1 , z2 ? (3 ? 4 i ) z1 ? (3 ? 4 i ) z1 . (I) 求证: z2 ? R ; (II)求 z 2 的最大值和最小值. (18) (本小题满分 12 分) 某公司在甲,乙两地销售同一种品牌的汽车,利润(单位:万元)分别为 L1 ? 5.06 x ? 0.15 x 2 和 L2 ? 2 x ,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,求该公司能获得的最大利润 为多少万元? (19)(本小题满分 12 分) 已知 a ? b ? 0 ,求证: (a ? b) ? a ? b ? ab ? (a ? b) .
2 2

1 x

8a

2

8b

(20) (本小题满分 12 分) 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5,购买乙种商品的概率为 0.6,且购买甲种商 品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的. (I) 求进入商场的 1 位顾客购买甲,乙两种商品中的一种的概率; (II)求进入商场的 1 位顾客至少购买甲,乙两种商品中的一种概率; (III)用 ? 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲,乙两种商品中的一种的人数,求 ? 的分布列. (21) (本小题满分 12 分) 对 于 函 数 f (x) 若 存 在 x0 ? R , f (x0 )=x0 成 立 , 则 称 x0 为 f (x) 的 不 动 点 . 已 知

f ( x) ? a x2 ? (b ? 1) x ? b ? 1 (a ? 0)
(I) 当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f (x) 的不动点; (II) 若对任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (III)在(II)的条件下,若 y =f (x) 图象上 A , B 两点的横坐标是函数 f (x) 的不动点,且 A , B 两 点关于直线 y ? kx ?

1 2a 2 ? 1

对称,求 b 的最小值.

(22) (本小题满分 12 分)

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? R) . 2 (I)若曲线 y =f (x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值;
已知函数 f ( x) ? (II)求 f (x) 的单调区间; (III) 设 g ( x) ? x 2 ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2? ,均存在 x2 ? (0, 2? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 求 a 的取值范围.
3

一、选择题:DBCBC

2015~2016 学年度第二学期期末考试评分标准及参考答案 高二数学(理) A ABCC DA

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)4.1 (14)a,b 不全为 0 (15)12 2 1 (16) x+ . 3 3

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 10 分) - (1)证明 ∵z1=x+yi, z 1=x-yi(x,y∈R), - - ∴z1+ z 1=2x,z1- z 1=2yi. - ∴z2=(3+4i)z1+(3-4i) z 1, - - =3(z1+ z 1)+4i(z1- z 1). =6x+8yi =(6x-8y)∈R. (2)解 ∵x +y =1, 设 u=6x-8y,代入 x +y =1 消去 y 得 64x +(6x-u) =64. ∴100x -12ux+u -64=0. ∵x∈R,∴Δ ≥0. ∴144u -4×100(u -64)≥0. ∴u -100≤0. ∴-10≤u≤10. ∴z2 的最大值是 10,最小值是-10. (18) (本小题满分 12 分) 解 设在甲地销售 m 辆车,在乙地销售(15-m)辆车,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

...................................5 分

...................................10 分

则总利润 y=5.06m-0.15m +2(15-m)=-0.15m +3.06m+30, ...................................3 分 所以 y′=-0.3m+3.06. 令 y′=0,得 m=10.2. 当 0≤m<10.2 时,y′>0; 当 10.2<m≤15 时,y′<0. 故当 m=10.2 时,y 取得极大值,也就是最大值...................................10 分 又由于 m 为正整数, 且当 m=10 时,y=45.6; 当 m=11 时,y=45.51.
4

...................................5 分

故该公司获得的最大利润为 45.6 万元....................................12 分 (19)(本小题满分 12 分) ?a-b? a+b ?a-b? 已知 a>b>0,求证: < - ab< . 8a 2 8b [证明] 要证明 原不等式成立, ?a-b? ?a-b? 只需证 <a+b-2 ab< , 4a 4b ?a-b? 2 ?a-b? 即证 <( a- b) < . 4a 4b 因为 a >b>0,所以 a-b>0, a- b>0. 所以只需证
2 2 2 2 2 2

...................................3 分

a-b a-b < a- b< , 2 a 2 b

...................................6 分

即证

a+ b a+ b <2< , a b b a b a <1< ,即证 <1< . a b a b b a a b
....................... ........ ....10 分

即证

因为 a>b>0,所以 <1< 成立. 故原不等式成立. ...................................12 分

(20) (本小题满分 12 分) 解: 记 A 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲种商品,B 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买乙 种商品,C 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种,D 表示事件:进入商场的 1 位顾 客至少购买甲、乙两种商品中的一种. (1)C=A· B + A ·B.

P(C)= P(A· B + A ·B) =P(A· B ) + P( A ·B)= P(A)·P( B ) + P( A )·P(B)=0.5×0.4+
0.5×0.6=0.5. (2) D = A · B , ...................................4 分

P( D )=P( A · B )=P( A )·P( B )=0.5×0.4=0.2, P(D)=1-P( D )=0.8.
...............................8 分

(3)ξ ~B(3,0.8),故 ξ 的分布列为

P(ξ =0)=0.23=0.008,
2 P(ξ =1)=C1 3×0.8 ×0.2 =0.096, 2 P(ξ =2)=C2 3×0.8 ×0.2=0. 384,

P(ξ =3)=0.83=0.512.
5

ξ 的分布列为 ξ 0 0.008 1 0.096 2 0.384 3 0.512

P

...............................12 分 (21) (本小题满分 12 分) 解: (1)? a ? 1, b ? ?2 时, f ( x) ? x2 ? x ? 3 ,

f ( x) ? x ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ? x ? ?1, x ? 3

? 函数 f ( x) 的不动点为-1 和 3;
2

..............4 分

(2)即 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1 ? x 有两个不等实根,转化为 ax ? bx ? b ? 1 ? 0 有两个不等实 根,需有判别式大于 0 恒成立 即 b2 ? 4a(b ? 1) ? 0 ? ? ? (?4a)2 ? 4 ? 4a ? 0 ? 0 ? a ? 1 , ? a 的 取 值 范 围 为 0 ? a ? 1 ; ..............8 分 (3)设 A( x1, x1 ), B( x2 , x2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? A,B 的中点 M 的坐标 为 (

b , a

x1 ? x2 x1 ? x2 b b , ) ,即 M ( ,? ) 2 2 2a 2a 1 ? A、B 两点关于直线 y ? kx ? 2 对称, 2a ? 1 又因为 A,B 在直线 y ? x 上, 1 ? k ? ?1 ,A,B 的中点 M 在直线 y ? kx ? 2 上. 2a ? 1 b b 1 a 1 , ? ? ? 2 ?? ? 2 ?? 1 2a 2a 2a ? 1 2a ? 1 2a ? a
利用基本不等式可得当且仅当 a ? (22) (本小题满分 12 分)

1 2 时,b 的最小值为 . 2 2 2

..............12 分

2 解: (1)由题, f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ? , x
? f ?(1) ? f ?(3) ,? a ? 2a ? 1 ? 2 ? 3a ? 2a ? 1 ?

2 , 3
???????????2 分

解得 a ?

2 . 3

ax2 ? (2a ? 1) x ? 2 ( x ? 2)(ax ? 1) , ? x x 2? x <1>当 a ? 0 时, f ?( x) ? , x ? f ( x) 的单调递增区间为 (0, 2) ,单调递减区间为 (2, +?) .
(2)由题, f ?( x) ? <2>当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ?

1 ? 0 , x2 ? 2 , a
6

? f ( x) 的单调递增区间为 (0, 2) ,单调递减区间为 (2, +?) .

<3>当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ①当

1 ? 0 , x2 ? 2 , a

1 1 ? 2 ,即 a ? 时, f ?( x) …0 对 x ? 0 恒成立, a 2 ? ?) ,无减区间; ? f ( x) 的单调递增区间为 (0, 1 1 ? 2 ,即 0 ? a ? 时, 2 a

②当

1 1 ? f ( x) 的单调递增区间为 (0, 2) 和 ( , ? ?) ,单调递减区间为 (2, ) ; a a
③当

1 1 ? 2 ,即 a ? 时, a 2

1 1 ? ?) ,单调递减区间为 ( , ? f ( x) 的单调递增区间为 (0, ) 和 (2, 2) ;???????7 分 a a
2] , (3)由题, f ( x)max ? g ( x)max , x ? (0, 2] 恒成立. ? g ( x)max ? g (2) ? 0 ,? f ( x)max ? 0 对 x ? (0,

由(2)知, ①当 a ?

1 2] 上单调递增, 时, f ( x) 在 (0, 2

? f ( x)max ? f (2) ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1 ,
? ln 2 ? 1 ? a ? 1 .

②当 a ?

1 1 1 时, f ( x) 在 (0, ) 上单 调递增,在 ( , 2) 上单调递减, 2 a a
? ?

1 a 1 1 1 ? f ( x)max ? f ( ) ? ? (2a ? 1) ? 2ln , 2 a 2 a a a ? ?2 ? 1 1 , ? 2ln a ? ?2(1 ? ln a) ? 2a 2a

?a ? ?a ?

1 1 1 1 ,? ln a ? ln ? ln ? ?1 ,? f ( ) ? 0 ,即 f ( x)max ? 0 , 2 e a 2

1 符合题意. 2 ? ?) . 综上所述:实数 a 的取值范围为 (ln 2 ? 1,

????????????12 分

7


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