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高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件1新人教A版选修22

1.1.1 变化率问题~1.1.2 导数的概念

知识点一 平均变化率 假设下图是一座山的剖面示意图,建立如图所示的
平面直角坐标系.A 是出发点,H 是山顶.爬山路线用 函数 y=f(x)表示.

自变量 x 表示某旅游者的水平位置,函数值 y=f(x)表 示此时旅游者所在的高度.设点 A 的坐标为(x1,y1),点 B 的坐标为(x2,y2).
问题 1:若旅游者从点 A 爬到点 B,且这段山路是平 直的,自变量 x 和函数值 y 的改变量 Δx,Δy 分别是多少?

【答案】自变量 x 的改变量为 Δx=x2-x1,函数值的 改变量为 Δy=y2-y1. 问题 2:能否根据 Δy 的大小判断山路的陡峭程度?
【答案】不能.

问题 3:怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢? 【答案】对山坡 AB 来说,ΔΔyx=yx22- -yx11可以近似地刻画. 问题 4:能用ΔΔyx刻画山路陡峭程度的原因是什么? 【答案】因ΔΔyx表示 A,B 两点所在直线的斜率 k,显然,“线段”所
在直线的斜率越大,山路越陡.这就是说,竖直位移与水平
位移之比ΔΔyx越大,山路越陡;反之,山路越缓.

问题 5:从 A 到 B 与从 A 到 C,两者ΔΔyx相同吗? 【答案】不相同.

导入新知
1.函数的平均变化率
对于函数 y=f(x),给定自变量的两个值 x1 和 x2,当自变量
x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),我们把式子 f?x2?-f?x1?
_____x_2-__x_1______称为函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率.

习惯上用 Δx 表示 x2-x1,即 Δx= x2-x1 ,可把 Δx

看作是相对于 x1 的一个“增量”,可用 x1+Δx 代替 x2;类

似地,Δy= Δy
_Δ__x__.

f(x2)-f(x1) .于是,平均变化率可表示为

2.平均变化率的几何意义

设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲线 y=f(x)上任意不同

的两点,函数

y



f(x)













Δy Δx



f(x2)-f(x1) x2-x1



f(x1+ΔΔxx)-f(x1)为割线 AB 的斜率,如图所示.

化解疑难 对 Δx,Δy 的理解
(1)Δx,Δy 是一个整体符号,而不是 Δ 与 x,y 相乘. (2)x1,x2 是定义域内不同的两点,因此 Δx≠0,但 Δx 可正 也可负;Δy=f(x2)-f(x1)是 Δx=x2-x1 相应的改变量,Δy 的值可正、可负,也可为零,因此平均变化率可正、可负, 也可为零.

知识点二 导数的概念 一质点的运动方程为 s=8-3t2,其中 s 表示位移,t 表示 时间. 问题 1:试求质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度. 【答案】ΔΔst=8-3(1+ΔΔt)t2-8+3×12=-6-3Δt.

问题 2:当 Δt 趋近于 0 时,问题 1 中的平均速度趋近于 何值?如何理解这一速度? 【答案】当 Δt 趋近于 0 时,ΔΔst趋近于-6.这时的平均速度 即为 t=1 时的瞬时速度.

导入新知 1.瞬时速度 (1)物体在 某一时刻 的速度称为瞬时速度. (2)若物体运动的路程与时间的关系式是 s=f(t),当 Δt 趋近 于 0 时 , 函 数 f(t) 在 t0 到 t0 + Δt 之 间 的 平 均 变 化 率 f(t0+ΔΔtt)-f(t0)趋于一个定数,我们就把这个定数 叫作物体 在 t0 时刻的瞬时速度.

2.导数的定义

一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是

lim
Δx→0

ΔΔyx=Δlxi→m0

f(x0+ΔΔxx)-f(x0),我们称它为函数 y=f(x)在 x

=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x0



lim
Δx→0

f?x0+Δx?-f?x0? Δx

.

,即 f′(x0)= lim
Δx→0

Δy Δx

化解疑难

导数概念的解读

(1)导数是一个局部概念,它只与函数 y=f(x)在 x=x0 处及其 附近的函数值有关,与 Δx 无关.

(2) f′(x0)是一个常数,即当 Δx→0 时,存在一个常数与

f(x0+ΔΔxx)-f(x0)无限接近.如果当

Δx→0

时,lim
Δx→0

ΔΔyx不存在,

则称函数 f(x)在 x=x0 处不可导.

题型一 求函数的平均变化率

例 1 (1)已知函数 y=f(x)=x2+1,则在 x=2,Δx=0.1 时,

Δy 的值为

()

A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44

【解析】Δy=f(2+Δx)-f(2)=f(2.1)-f(2)=2.12-22=0.41. 【答案】B

题型一 求函数的平均变化率 (2)已知函数 f(x)=x+1x,分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变到 2 和从 3 变到 5 时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数 值变化得较快. 解:自变量 x 从 1 变到 2 时,函数 f(x)的平均变化率为 f(22)- -f1(1)=2+21-1(1+1)=12;

自变量 x 从 3 变到 5 时,函数 f(x)的平均变化率为 f(55)- -f3(3)=5+51-2????3+31????=1145. 因为21<1145,所以函数 f(x)=x+1x在自变量 x 从 3 变到 5 时函数值变化得较快.

类题通法 求函数平均变化率的步骤
(1)求自变量的改变量 Δx=x2-x1; (2)求函数值的改变量 Δy=f(x2)-f(x1); (3)求平均变化率ΔΔyx=f(xx2)2--fx(1x1).

活学活用 分别计算下面三个图象表示的函数 h(t)在区间[0,3]上的 平均变化率.

解:对于图①,Δh=h(3)-h(0)=10-0=10, ∴ΔΔht =31-00=130,即平均变化率为130.同理可以算得图②、 图③中函数 h(t)在区间[0,3]上的平均变化率均为130.

题型二 求函数在某点处的导数

例 2 (1)设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,且有 f(x0+Δx)-f(x0)

=aΔx+b(Δx)2(a,b 为常数),则

()

A.f′(x)=a

B.f′(x)=b

C.f′(x0)=a

D.f′(x0)=b

【解析】f′(x0)=Δlxi→m0

f(x0+Δx)-f(x0) Δx

= lim (a+b·Δx)=a. Δx→0
【答案】C

题型二 求函数在某点处的导数

(2)求函数 f(x)= x在 x=1 处的导数.

解:由导数的定义知,函数在 x=1 处的导数 f′(1)= lim Δx→0

f(1+Δx)-f(1) Δx





f(1+Δx)-f(1) Δx



1+Δx-1 Δx



1+1Δx+1,又Δlxi→m0 1+1Δx+1=21,所以 f′(1)=21.

类题通法

利用定义求导数的三步曲

由导数的定义知,求一个函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的 步骤如下:

(1)求函数值的改变量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)求平均变化率ΔΔyx=f(x0+ΔΔxx)-f(x0);

(3)取极限,得导数 f′(x0)=Δlxi→m0

Δy Δx.

简记为:一差、二比、三趋近.

活学活用

求函数 y=x42 在 x=2 处的导数. 解:∵Δy=(Δx+4 2)2-242=(Δx+4 2)2-1=-(Δ(Δx)x2++24)Δ2 x,

∴ΔΔyx=-(ΔΔxx++24)2.

∴f′(2)= lim Δx→0

ΔΔyx=-Δlxi→m0

(ΔΔxx++24)2=-1.

题型三 瞬时速度的应用
例 3 若一物体的运动距离 s(单位:m)与时间 t(单位:s)的 关系可用函数 s=???32t92++32(,t-t≥33)2,0≤t<3, 表示.求: (1)物体在 t=3 s 到 t=5 s 这段时间内的平均速度; (2)物体在 t=1 s 时的瞬时速度.

解:(1)因为 Δs=3×52+2-(3×32+2)=48,Δt=2,所以 物体在 t=3 s 到 t=5 s 这段时间内的平均速度为ΔΔst=428 =24(m/s).

(2)因为 Δs=29+3[(1+Δt)-3]2-29-3×(1-3)2=3(Δt)2-

12Δt,所以ΔΔst=3(Δt)2Δ-t 12Δt=3Δt-12,则物体在 t=1 s 时

的瞬时速度为 s′(1)= lim Δt→0

ΔΔst=Δlit→m0

(3Δt-12)=-12(m/s).

类题通法

求瞬时速度的步骤

(1)求位移增量,Δs=s(t0+Δt)-s(t0); (2)求平均速度,-v=ΔΔst;

(3)取极限, lim Δx→0

ΔΔst=Δlit→m0

s(t0+ΔΔt)t-s(t0);

(4)若极限存在,则

t0

时刻的瞬时速度为

v= lim Δt→0

Δs Δt.

活学活用 一质点按规律 s(t)=at2+1 做直线运动(位移单位:m, 时间单位:s),若该质点在 t=2 s 时的瞬时速度为 8 m/s, 求常数 a 的值. 解:因为 Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a·22-1 =4aΔt+a(Δt)2,

所以ΔΔst=4a+aΔt, 故在 t=2 s 时,瞬时速度为 s′(2)=liΔmt→0 ΔΔst=4a(m/s). 由题意知,4a=8,所以 a=2.

课堂检测

1.如果函数 y=ax+b 在区间[1,2]上的平均变化率为 3,

则 a=

()

A.-3

B.2

C.3

D.-2

【解析】根据平均变化率的定义,

可知ΔΔyx=(2a+b2)--1(a+b)=a=3.

【答案】C

2.若

f(x)在

x=x0

处存在导数,则lim h→0

f(x0+hh)-f(x0)(

)

A.与 x0,h 都有关

B.仅与 x0 有关,而与 h 无关

C.仅与 h 有关,而与 x0 无关

D.以上答案都不对

【解析】由导数的定义知,函数在 x=x0 处的导数只与 x0 有关. 【答案】B

3.已知函数 y=2x2-1 的图象上一点(1,1)及其邻近一 点(1+Δx,1+Δy),则ΔΔyx等于________. 【解析】ΔΔyx=2(1+ΔxΔ)x2-1-1=4+2Δx. 【答案】4+2Δx

4.一个物体的运动方程为 s=1-t+t2(t≥0),其中 s 的单 位是米,t 的单位是秒,那么该物体在 3 秒末的瞬时速度 是________. 【解析】∵ΔΔst=s(3+ΔΔt)t-s(3)=Δt+5,Δlit→m0 (Δt+5)=5, ∴该物体在 3 秒末的瞬时速度是 5 米/秒. 【答案】5 米/秒

5.求 y=x2+1x+5 在 x=2 处的导数. 解:∵Δy=(2+Δx)2+2+1Δx+5-????22+12+5????

=4Δx+(Δx)2-

Δx +Δx



∴ΔΔyx=4+Δx-4+12Δx,

∴f′(2)= lim Δx→0

Δy Δx

= lim Δx→0

????4+Δx-4+12Δx ????

=4+0-4+12×0=145.


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