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函数的奇偶性和周期性复习教案


北京梦飞翔教育个性化辅导教案
学生: 教学内容 教师: 时间: 年 月 日_____段 课时:

函数的奇偶性、函数的周期性
函数的奇偶性和函数的周期性的判定及应用 函数的奇偶性的判断和性质、求函数的周期

教学重点 教学难点 教学计划

本次课内容对应教学计划中第 1 2 理解函数的奇偶性的定义 会判断函数的奇偶性 掌握函数奇偶性的性质 了解函数的周期性

次课

教学目标 3 4

一、 教学过程: 函数的奇偶性【知识梳理】1、函数的奇偶性的定义:2.函数的奇偶性的判断:3.函数奇偶性的性质: (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上 若有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若奇函数 f ( x) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 .故 f (0) ? 0 是 f ( x) 为奇函数的既不充分也不必要条 件。 (3)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差) ” 。 如设 f ( x) 是定义域为 R 的任一函数, F ( x) ?

f ( x) ? f ( ? x) f ( x) ? f ( ? x) , G ( x) ? 。 2 2 (4)复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”.
(5)设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=

偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇. 函数的周期性【知识梳理】1.函数的周期性的定义: 2.周期性的性质 ( 1 ) 若 y ? f ( x) 图 像 有 两 条 对 称 轴 x ? a, x ? b(a ? b) , 则 y ? f ( x) 必 是 周 期 函 数 , 且 一 周 期 为

T ? 2| a ?b|; ( 2 )若 y ? f ( x) 图像有两个对称中心 A(a,0), B(b,0)(a ? b) ,则 y ? f ( x) 是周期函数,且一周期为 T ? 2| a ?b|;
(3)如果函数 y ? f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ,则函数 y ? f ( x) 必是周期 函数,且一周期为 T ? 4 | a ? b | ; (4)①若 f(x+a)=f(x+b) ③若 f ( x ? a) ? 则 T=|b-a|;②函数 f ( x) 满足 ? f ?x ? ? f ?a ? x ? ,则 f ( x) 是周期为 2 a 的周期函数;

1 1 (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a ;④若 f ( x ? a) ? ? (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a . f ( x) f ( x)

二、课堂小结:

三、课后反思:

四、学生对于本次课的评价: ○ 差 五、教师评定: 1、 学生上次作业评价: 差或一般的原因 2、 学生本次上课情况评价: ○ 好 差或一般的原因 教师签字: 学管师签字: ___________ ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 ○ 一般 ○ 满意 ○ 特别满意 学生签字:

函数的奇偶性【相关结论】
1、函数的奇偶性的定义: 2.函数的奇偶性的判断: (1)可以利用奇偶函数的定义判断

f ( x) ? ? f ( ? x)
f (? x) ? ?1 ( f ( x) ? 0 ) f ( x)

(2)利用定义的等价形式,

f ( x ) ? f ( ? x) ? 0 ,

(3)图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于

y 轴对称

3.函数奇偶性的性质: (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则 其单调性恰恰相反.

f ( x) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 .故 f (0) ? 0 是 f ( x) 为奇函数的既不充分也不必要条件。 (3)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差) ” 。如设 f ( x) 是定 f ( x) ? f ( ? x) f ( x) ? f ( ? x) 义域为 R 的任一函数, F ( x) ? , G ( x) ? 。 2 2
(2)若奇函数 (4)复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. (5)设

f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶

=偶,奇 ? 偶=奇.

【考点分析】
考点 1 判断函数的奇偶性及其应用 题型 1:判断有解析式的函数的奇偶性 例 1. 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|-|x-1|; (2)f(x)=(x-1)·

1? x ; 1? x

(3) f ( x ) ?

? x(1 ? x) 1? x2 ; (4) f ( x) ? ? | x ? 2 | ?2 ? x(1 ? x)

( x ? 0), ( x ? 0).

题型 2:证明抽象函数的奇偶性 例 1 . ( 09 年 山 东 ) 定 义 在 区 间 (?1,1) 上 的 函 数 f (x) 满 足 : 对 任 意 的 x, y ? (?1,1) , 都 有

x? y f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) . 求证 f (x)为奇函数; 1 ? xy

例 2. (1)函数 f ( x) , x ? R ,若对于任意实数 a, b ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,求证: f ( x) 为奇函数。 (2)设函数 f ( x) 定义在 (?l , l ) 上,证明 f ( x) ? f (? x) 是偶函数, f ( x) ? f (? x) 是奇函数。

考点 2 函数奇偶性、单调性的综合应用 例 1.已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的取值范围。

例 2.设函数 f ( x) 对于任意的 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 x ? 0 时 f ( x) ? 0 , f (1) ? ?2 (1)求证 f ( x) 是奇函数; (2)试问当 ? 3 ? x ? 3 时, f ( x) 是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说出理由。

例 3.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a +a+1)<f(3a -2a+1).求 a 的 取值范围,并在该范围内求函数 y=( 函数的周期性【相关结论】
1.函数的周期性的定义:对于函数

2

2

1 a 2 ?3a ?1 ) 的单调递减区间. 2

f ( x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得定义域内的每一个 x 值,都满足

f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。
2.周期性的性质

y ? f ( x) 图像有两条对称轴 x ? a, x ? b(a ? b) ,则 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为 T ? 2 | a ? b | ; (2) 若 y ? f ( x) 图像有两个对称中心 A(a,0), B(b,0)(a ? b) , 则 y ? f ( x) 是周期函数, 且一周期为 T ? 2 | a ? b | ;
(1)若 (3)如果函数 y ? 一周期为 T

f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ,则函数 y ? f ( x) 必是周期函数,且

? 4| a ?b|;
则 T=|b-a|;②函数

(4)①若 f(x+a)=f(x+b)

f ( x) 满足 ? f ?x ? ? f ?a ? x ? ,则 f ( x) 是周期为 2 a 的周期函数;

③若

f ( x ? a) ?

1 1 (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a ;④若 f ( x ? a) ? ? (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a . f ( x) f ( x)

【考点分析】
考点 1 函数的周期性 例 1.设函数 f ( x) 是定义域 R 上的奇函数,对任意实数 x 有 f ( ? x) ? ? f ( ? x) 成立 (1)证明: y ? f ( x) 是周期函数,并指出周期; (2)若 f (1) ? 2 ,求 f (2) ? f (3) 的值

3 2

3 2

考点 2 函数奇偶性、周期性的综合应用 例1. (09 年江苏题改编) 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 1 对于 x ? R 恒成立, 且 f ( x) ? 0 , 则 f (119) ? ________ 。

【巩固练习】
1.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)· f(x+2)=13,f(1)=2,则 f(99)=( A.13 B.2 13 C. 2 D. 2 13 )

2.(2010· 郑州)定义在 R 上的函数 f(x)满足:对于任意 α,β∈R,总有 f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2010, 则下列说法正确的是( ) B.f(x)+1 是奇函数 C.f(x)-2010 是奇函数 D.f(x)+2010 是奇函数

A.f(x)-1 是奇函数

3. 设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数, 已知 x∈(0,1)时, f(x)=log1(1-x), 则函数 f(x)在(1,2)
2

上(

) A.是增函数,且 f(x)<0 B.是增函数,且 f(x)>0 C.是减函数,且 f(x)<0 D.是减函数,且 f(x)>0 4.(2010· 新课标全国)设偶函数 f(x)满足 f(x)=x -8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<-2 或 x>2}
3

)

5.对于定义在 R 上的函数 f(x),有下述四个命题,其中正确命题的序号为________. ①若 f(x)是奇函数,则 f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称; ②若对 x∈R,有 f(x+1)=f(x-1),则 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③若函数 f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)为偶函数; ④函数 y=f(1+x)与函数 y=f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称.

作业:
1.设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时是单调函数,则满足 f(x)=f? A.-3 B.3 C.-8 D.8 )

?x+3?的所有 x 之和为( ? ?x+4?

)

2.已知奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为 5,那么函数 f(x)在区间[-7,-3]上( A.是增函数且最小值为-5 C.是减函数且最小值为-5 B.是增函数且最大值为-5 D.是减函数且最大值为-5

3.(2010· 江苏)设函数 f(x)=x(e +ae )(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________.

x

-x

4.已知函数 f(x+1)是奇函数,f(x-1)是偶函数,且 f(0)=2,则 f(4)=________.

函数的奇偶性
【知识梳理】
1 、 函 数 的 奇 偶 性 的 定 义 : ① 对 于 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x , 都 有 f ( ? x) ? ? f ( x) 〔 或 ,则称 f ( x) 为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。②对于函数 f ( x) 的定义域内任意 f ( ? x) ? f ( x) ? 0 〕 一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) 〔或 f (? x) ? f ( x) ? 0 〕 ,则称 f ( x) 为偶函数. 偶函数的图象关于 y 轴对称。 ③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇 函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称) 2.函数的奇偶性的判断: (1)可以利用奇偶函数的定义判断 f ( x) ? ? f (? x) (2)利用定义的等价形式, f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

f (? x) ? ?1 ( f ( x) ? 0 ) f ( x)

(3)图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称 3.函数奇偶性的性质: (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间 上若有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若奇函数 f ( x) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 .故 f (0) ? 0 是 f ( x) 为奇函数的既不充分也不必要 条件。 (3)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差) ” 。 如设 f ( x) 是定义域为 R 的任一函数, F ( x) ?

f ( x) ? f ( ? x) f ( x) ? f ( ? x) , G ( x) ? 。 2 2 (4)复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”.
(5)设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+

偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇.

【考点分析】
考点 1 判断函数的奇偶性及其应用 题型 1:判断有解析式的函数的奇偶性 例 1. 判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=|x+1|-|x-1|; (2)f(x)=(x-1)·

1? x ; 1? x

(3) f ( x ) ?

? x(1 ? x) 1? x2 ; (4) f ( x) ? ? | x ? 2 | ?2 ? x(1 ? x)

( x ? 0), ( x ? 0).

题型 2:证明抽象函数的奇偶性 例 1 . ( 09 年 山 东 ) 定 义 在 区 间 (?1,1) 上 的 函 数 f (x) 满 足 : 对 任 意 的 x, y ? (?1,1) , 都 有

x? y f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) . 求证 f (x)为奇函数; 1 ? xy
[解析]令 x = y = 0,则 f (0) + f (0) = f (

令 x∈(-1, 1) ∴-x∈(-1, 1)∴ f (x) + f (-x) = f ( ∴ f (-x) =-f (x)∴ f (x) 在(-1,1)上为奇函数

0?0 ) ? f (0) ∴ f (0) = 0 1? 0 x?x
1 ? x2

) = f (0) = 0

例 2. (1)函数 f ( x) , x ? R ,若对于任意实数 a, b ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,求证: f ( x) 为奇函数。 (2)设函数 f ( x) 定义在 (?l , l ) 上,证明 f ( x) ? f (? x) 是偶函数, f ( x) ? f (? x) 是奇函数。 考点 2 函数奇偶性、单调性的综合应用 例 1.已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的取值范围。 [解析] ? f ( x) 是定义在 (?2,2) 上奇函数?对任意 x ? (?2,2) 有 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 由条件 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 得 f (m ? 1) ? ? f (2m ? 1) = f (1 ? 2m)

1 2 ? f ( x) 是定义在 (?2,2) 上减函数?-2<m-1<1-2m<2,解得 ? ? m ? 2 3 1 2 ?实数 m 的取值范围是 ? ? m ? 2 3
例 2.设函数 f ( x) 对于任意的 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 x ? 0 时 f ( x) ? 0 , f (1) ? ?2 (1)求证 f ( x) 是奇函数; (2)试问当 ? 3 ? x ? 3 时, f ( x) 是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说出理由。 例 3.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a +a+1)<f(3a -2a+1).求 a 的 取值范围,并在该范围内求函数 y=(
2 2

1 a 2 ?3a ?1 ) 的单调递减区间. 2 [解析]设 0<x1<x2,则-x2<-x1<0,∵f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,

∴f(-x2)<f(-x1),∵f(x)为偶函数,∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1), ∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0,+∞)内单调递减.

1 7 1 2 又2a 2 ? a ? 1 ? 2(a ? ) 2 ? ? 0,3a 2 ? 2a ? 1 ? 3(a ? ) 2 ? ? 0. 4 8 3 3 2 2 2 2 由 f(2a +a+1)<f(3a -2a+1)得:2a +a+1>3a -2a+1.解之,得 0<a<3. 3 2 5 2 又 a -3a+1=(a- ) - . 2 4 3 1 2 ∴函数 y=( ) a ?3a ?1 的单调减区间是 [ , ?? ) 2 2 3 2 3 结合 0<a<3,得函数 y=( ) a ?3a ?1 的单调递减区间为[ ,3). 2 2

函数的周期性
【知识梳理】
1.函数的周期性的定义:对于函数 f ( x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得定义域内的每一个 x 值,都满 足 f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。 2.周期性的性质 ( 1 ) 若 y ? f ( x) 图 像 有 两 条对 称轴 x ? a, x ? b(a ? b) , 则 y ? f ( x) 必 是 周 期 函数 ,且 一 周 期为

T ? 2| a ?b|; ( 2 )若 y ? f ( x) 图像有两个对称中心 A( a, 0), B (b , 0)( a ? b ),则 y ? f ( x) 是周期函数,且一周期为 T ? 2 | a ? b |;
(3)如果函数 y ? f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ,则函数 y ? f ( x) 必是周 期函数,且一周期为 T ? 4 | a ? b | ; (4)①若 f(x+a)=f(x+b) 数; ③若 f ( x ? a) ? 则 T=|b-a|;②函数 f ( x) 满足 ? f ?x ? ? f ?a ? x ? ,则 f ( x) 是周期为 2 a 的周期函

1 1 (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a ;④若 f ( x ? a) ? ? (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a . f ( x) f ( x)

【考点分析】
考点 1 函数的周期性 例 1.设函数 f ( x) 是定义域 R 上的奇函数,对任意实数 x 有 f ( ? x) ? ? f ( ? x) 成立 (1)证明: y ? f ( x) 是周期函数,并指出周期; (2)若 f (1) ? 2 ,求 f (2) ? f (3) 的值 考点 2 函数奇偶性、周期性的综合应用

3 2

3 2

例1. (09 年江苏题改编) 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 1 对于 x ? R 恒成立, 且 f ( x) ? 0 , 则 f (119) ? ________ 。

[解析]由 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 1 得到 f ( x ? 2) ?

1 ,从而得 f ( x ? 4) ? f ( x) ,可见 f ( x) 是以 4 为周期的函 f ( x) 1 f (1)

数,从而 f (119 ) ? f (4 ? 29 ? 3) ? f (3) ,又由已知等式得 f (3) ?

又由 f ( x) 是 R 上的偶函数得 f (1) ? f (?1) 又在已知等式中令 x ? ?1 得 f (1) ? f (?1) ? 1 ,即 f (1) ? 1 所以

f (119 ) ? 1

【巩固练习】
1.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)· f(x+2)=13,f(1)=2,则 f(99)=( A.13 C. 13 2 B.2 D. 2 13 )

解析:由 f(x)· f(x+2)=13,知 f(x+2)· f(x+4)=13,所以 f(x+4)=f(x),即 f(x)是周期函数,周期 为 4.所以 f(99)=f(3+4×24)=f(3)= 答案:C 2.(2010· 郑州)定义在 R 上的函数 f(x)满足:对于任意 α,β∈R,总有 f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2010, 则下列说法正确的是( A.f(x)-1 是奇函数 B.f(x)+1 是奇函数 C.f(x)-2010 是奇函数 D.f(x)+2010 是奇函数 解析:依题意,取 α=β=0,得 f(0)=-2010;取 α=x,β=-x,得 f(0)-f(x)-f(-x)=2010,f(- ) 13

f(1)

13 = . 2

x)+2010=-[f(x)-f(0)]=-[f(x)+2010],因此函数 f(x)+2010 是奇函数,选 D.
答案:D 3.设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x∈(0,1)时,f(x)=log1(1-x),则函数 f(x)在(1,2)
2

上(

) A.是增函数,且 f(x)<0 B.是增函数,且 f(x)>0 C.是减函数,且 f(x)<0 D.是减函数,且 f(x)>0 解析:由题意得当 x∈(1,2)时,0<2-x<1,0<x-1<1,f(x)=f(-x)=f(2-x)=log1[1-(2-x)]=log1(x
2 2

-1)>0,则可知当 x∈(1,2)时,f(x)是减函数,选 D. 答案:D 4.(2010· 新课标全国)设偶函数 f(x)满足 f(x)=x -8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<-2 或 x>2} 解析:当 x<0 时,-x>0, ∴f(-x)=(-x) -8=-x -8, 又 f(x)是偶函数, ∴f(x)=f(-x)=-x -8,
? ?x -8,x≥0 ∴f(x)=? 3 ? ?-x -8,x<0
3 3 3 3 3 3

)

.

?(x-2) -8,x≥2 ? ∴f(x-2)=? 3 ?-(x-2) -8,x<2 ? ? ?x≥2 ? 3 ?(x-2) -8>0 ?



? ?x<2 或? 3 ?-(x-2) -8>0 ?



解得 x>4 或 x<0.故选 B. 答案:B

5.对于定义在 R 上的函数 f(x),有下述四个命题,其中正确命题的序号为________. ①若 f(x)是奇函数,则 f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称; ②若对 x∈R,有 f(x+1)=f(x-1),则 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③若函数 f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)为偶函数; ④函数 y=f(1+x)与函数 y=f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称. 解析: f(x-1)的图象是由 f(x)的图象向右平移一个单位而得到, 又 f(x)是奇函数, 其图象关于原点对称, 所以 f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称,故①正确;

由 f(x+1)=f(x-1)可知 f(x)的周期为 2,无法判断其对称轴,故②错误;

f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)关于 y 轴对称,故 f(x)为偶函数,③正确; y=f(1+x)的图象是由 y=f(x)的图象向左平移一个单位后得到,y=f(1-x)是由 y=f(x)的图象关于 y
轴对称后再向右平移一个单位而得到,两者图象关于 y 轴对称,故④错误. 答案:①③

作业:
1.设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时是单调函数,则满足 f(x)=f? A.-3 B.3 C.-8 D.8 解析:因为 f(x)是连续的偶函数,且 x>0 时是单调函数,由偶函数的性质可知若 f(x)=f? 种情况:①x=
2

?x+3?的所有 x 之和为( ? ?x+4?

)

?x+3?,只有两 ? ?x+4?

x+3 x+3 ;②x+ =0. x+4 x+4

由①知 x +3x-3=0,故两根之和为 x1+x2=-3. 由②知 x +5x+3=0,故其两根之和为 x3+x4=-5. 因此满足条件的所有 x 之和为-8. 答案:C 2.已知奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为 5,那么函数 f(x)在区间[-7,-3]上( A.是增函数且最小值为-5 B.是增函数且最大值为-5 C.是减函数且最小值为-5 D.是减函数且最大值为-5 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称. )
2

∵f(x)在[3,7]上是增函数,

∴f(x)在[-7,-3]上也是增函数. ∵f(x)在[3,7]上的最小值为 5, ∴由图可知函数 f(x)在[-7,-3]上有最大值-5. 答案:B 评析:本题既涉及到函数的奇偶性,又涉及到函数的单调性,还涉及到函数的最值,是一道综合性较强的 题目,由于所给的函数没有具体的解析式,因此我们画出函数 f(x)在区间[3,7]上的示意图,由图形易得结论. 3.(2010· 江苏)设函数 f(x)=x(e +ae )(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________. 解析:设 g(x)=x,h(x)=e +ae ,因为函数 g(x)=x 是奇函数,则由题意知,函数 h(x)=e +ae 为奇 函数,又函数 f(x)的定义域为 R,∴h(0)=0,解得 a=-1. 答案:-1 4.已知函数 f(x+1)是奇函数,f(x-1)是偶函数,且 f(0)=2,则 f(4)=________. 解析:依题意有 f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=f(x-1),所以 f(4)=f(-(-3)+1)=-f(-2)= -f(-1-1)=-f(0)=-2. 答案:-2
x
-x

x

-x

x

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