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2017-2018学年高中数学苏教版必修四课件:第2章2.3 第1课时 平面向量基本定理


问题 1:在物理中,我们学习了力的分解,即一个力可以分 解为两个不同方向的力, 试想平面内的任一向量是否可以分解为 其他两个向量的和? 提示:可以. 问题 2:如图,以 a 为平行四边形一条对角线作 平行四边形,四边形确定吗? 提示:不确定. 问题 3:如图,已知向量 e1、e2、a,仍以 a 为平行四边形一 条对角线且平行四边形相邻边所在直线平行于 e1 和 e2,这样的平 行四边形唯一吗?你能作出来吗? 提示:唯一,作法为: 将 a,e1,e2 均平移到同一个起点 O,且令 e1= OA ,e2= OB , 然后过 C 点分别作 OA 与 OB 的平行线, 交 OB ,OA 的延长线于 N, M 点,则 OMCN 为所作平行四边形. 问题 4:根据问题 2 的作图过程,你认为如何用 e1 和 e2 表示 a? 提示:因 OM =λ1e1, ON =λ2e2, OC = OM + ON ,则 a=λ1e1+λ2e2,λ1、λ2 是常数. 1.平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内两个 不共线 的向量,那么对于这一 平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 2.基底 不共线 的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基 底. 3.正交分解 一个平面向量用一组基底 e1、e2 表示成 a=λ1e1+λ2e2 的形式, 我们称它为向量的 分解 .当 e1、e2 互相 垂直 时,就称为向量的 正交分解. 1.定理中,要求作为基底的两个向量 e1,e2 不共线,即作为 基底的向量一定是非零向量.因此,只要是同一平面内的两个不共 线的向量都可以作为基底. 2.平面向量基本定理中,实数 λ1,λ2 的唯一性是相对于基底 e1,e2 而言的.一旦选定一组基底,则给定向量沿着基底的分解是 唯一的. [例 1] 若向量 a,b 不共线,且 c=2a-b,d=3a-2b,试判 断 c,d 能否作为基底. [思路点拨] 要判断 c,d 能否作为基底,只需看 c,d 是否 共线,若共线,则不能作为基底;否则可以作为基底. [精解详析] 设存在实数 λ 使得 c=λd,则 2a-b=λ(3a-2b), 即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0. 由于 a,b 不共线,从而 2-3λ=2λ-1=0,这样的 λ 是不存在 的,从而 c,d 不共线,故 c,d 能作为基底. [一点通] 基底具备两个主要特征: (1)基底是两个不共线向量; (2)基底的选择是不唯一的. 1.e1,e2 是表示平面内所有向量的一组基底,则下列各组向量 中,不能作为一组基底的序号是________. ①e1+e2,e1-e2 ④e2,e1+e2 ②3e1-2e2,4e2-6e1 ③e1+2e2,e2+2e1 1 1 ⑤2e1- e2,e1- e2 5 10 解析: AC + CB = AB ; OB - OA = AB . 答案:①④ 2.如果 e1,e2 是平面 α 内所有向量的一组基底,λ,μ 是实数, 则下列说法正确的有________. ①若 λ,μ 满足 λe1+μe2=0,则 λ=μ=0; ②对于平面 α 内任意一个向量 a,使得 a=λe1+μe2 成立的实 数 λ,μ 有无数对; ③线性组合 λe1+μe2 可以表示平面 α 内的所有向量; ④当 λ,μ 取不同的值时,向量 λe1+μe2 可能表示同一向量. μ 解析:①正确.若 λ≠0,则 e1=- λ e2,从

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