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高中数学2015新课标步步高8.4


§ 8.4

直线、平面垂直的判定与性质

1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. ③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个 平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 2.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面所成的角. 3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法. ②利用判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 4.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角:二面角棱上的一点,在两个半平面内分别作与棱垂直的射线,则两射 线所成的角叫做二面角的平面角.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直,则 l⊥α. ( × )

(2)若直线 a⊥平面 α,直线 b∥α,则直线 a 与 b 垂直. π (3)异面直线所成的角与二面角的取值范围均为(0, ]. 2 (4)直线 a⊥α,b⊥α,则 a∥b. (5)若 α⊥β,a⊥β?a∥α. (6)a⊥α,a?β?α⊥β.

( √ ( × ( √ ( × ( √

) ) ) ) ) )

2.(2013· 广东)设 m, n 是两条不同的直线, α, β 是两个不同的平面, 下列命题中正确的是( A.若 α⊥β,m?α,n?β,则 m⊥n B.若 α∥β,m?α,n?β, ,则 m∥n C.若 m⊥n,m?α,n?β,则 α⊥β D.若 m⊥α,m∥n,n∥β,则 α⊥β 答案 D

解析 A 中,m 与 n 可垂直、可异面、可平行;B 中 m 与 n 可平行、可异面;C 中若 α∥β, 仍然满足 m⊥n,m?α,n?β,故 C 错误;故 D 正确. 3.设 a,b,c 是三条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则 a⊥b 的一个充分条件是( A.a⊥c,b⊥c C.a⊥α,b∥α 答案 C 解析 对于选项 C,在平面 α 内作 c∥b,因为 a⊥α,所以 a⊥c,故 a⊥b;A,B 选项中, 直线 a,b 可能是平行直线,也可能是异面直线;D 选项中一定有 a∥b. 4.将图 1 中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 的中线折起得到空间四面体 ABCD(如图 2),则 在空间四面体 ABCD 中,AD 与 BC 的位置关系是 ( ) B.α⊥β,a?α,b?β D.a⊥α,b⊥α )

A.相交且垂直 C.异面且垂直 答案 C 解析

B.相交但不垂直 D.异面但不垂直

在题图 1 中的等腰直角三角形 ABC 中,斜边上的中线 AD 就是斜边上的高,则

AD⊥BC, 翻折后如题图 2, AD 与 BC 变成异面直线, 而原线段 BC 变成两条线段 BD、 CD, 这两条线段与 AD 垂直,即 AD⊥BD,AD⊥CD,故 AD⊥平面 BCD,所以 AD⊥BC. 5.α、 β 是两个不同的平面, m、 n 是平面 α 及 β 之外的两条不同的直线, 给出四个论断: ①m⊥n; ②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α,以其中三个论断作为条件,剩余的一个论断作为结论,写出你

认为正确的一个命题:____________________________. 答案 可填①③④?②与②③④?①中的一个

题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例1 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=

60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. 证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE. 思维启迪 第(1)问通过 DC⊥平面 PAC 证明;也可通过 AE⊥平面 PCD 得到结论;第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线 PD 与平面 ABE 内的两条相交直线垂直. 证明 (1)在四棱锥 P—ABCD 中, ∵PA⊥底面 ABCD,CD?平面 ABCD, ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC. 而 AE?平面 PAC,∴CD⊥AE. (2)由 PA=AB=BC,∠ABC=60° ,可得 AC=PA. ∵E 是 PC 的中点,∴AE⊥PC. 由(1),知 AE⊥CD,且 PC∩CD=C, ∴AE⊥平面 PCD. 而 PD?平面 PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD 且 PA∩AD=A, ∴AB⊥平面 PAD,而 PD?平面 PAD, ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A, ∴PD⊥平面 ABE. 思维升华 (1)证明直线和平面垂直的常用方法: ①判定定理; ②垂直于平面的传递性(a∥b, a⊥α?b⊥α);③面面平行的性质(a⊥α,α∥β?a⊥β);④面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直, 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此, 判 定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直.

如图,在△ABC 中,∠ABC=90° ,D 是 AC 的中点,S 是 △ABC 所在平面外一点,且 SA=SB=SC. (1)求证:SD⊥平面 ABC; (2)若 AB=BC,求证:BD⊥平面 SAC. 证明 (1)因为 SA=SC,D 是 AC 的中点,所以 SD⊥AC. 在 Rt△ABC 中,AD=BD,又 SA=SB,SD=SD, 所以△ADS≌△BDS,所以 SD⊥BD. 又 AC∩BD=D,所以 SD⊥平面 ABC. (2)因为 AB=BC,D 为 AC 的中点,所以 BD⊥AC. 由(1)知 SD⊥BD,又 SD∩AC=D,所以 BD⊥平面 SAC. 题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例2 (2013· 北京)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,

CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD、PC 的中点.求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD. 思维启迪 (1)平面 PAD⊥底面 ABCD,可由面面垂直的性质证 PA⊥底面 ABCD; (2)由 BE∥AD 可得线面平行; (3)证明直线 CD⊥平面 BEF. 证明 (1)∵平面 PAD∩平面 ABCD=AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA⊥AD. ∴PA⊥底面 ABCD. (2)∵AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, ∴AB∥DE,且 AB=DE. ∴四边形 ABED 为平行四边形.∴BE∥AD. 又∵BE?平面 PAD,AD?平面 PAD, ∴BE∥平面 PAD. (3)∵AB⊥AD,且四边形 ABED 为平行四边形. ∴BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD,则 PA⊥CD, ∴CD⊥平面 PAD,从而 CD⊥PD, 又 E、F 分别为 CD、CP 的中点, ∴EF∥PD,故 CD⊥EF.

由 EF,BE 在平面 BEF 内,且 EF∩BE=E, ∴CD⊥平面 BEF. ∴平面 BEF⊥底面 PCD. 思维升华 (1)判定面面垂直的方法: ①面面垂直的定义; ②面面垂直的判定定理(a⊥β,a?α?α⊥β). (2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直. (2012· 江西)如图所示,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E、F 是线段 AB 上的两 点,且 DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4 2,DE=4.现将△ADE,△CFB 分 别沿 DE,CF 折起,使 A,B 两点重合于点 G,得到多面体 CDEFG.

(1)求证:平面 DEG⊥平面 CFG; (2)求多面体 CDEFG 的体积. (1)证明 因为 DE⊥EF,CF⊥EF, 所以四边形 CDEF 为矩形. 由 GD=5,DE=4,得 GE= GD2-DE2=3. 由 GC=4 2,CF=4,得 FG= GC2-CF2=4, 所以 EF=5. 在△EFG 中,有 EF2=GE2+FG2, 所以 EG⊥GF. 又因为 CF⊥EF,CF⊥FG,所以 CF⊥平面 EFG. 所以 CF⊥EG,所以 EG⊥平面 CFG. 又 EG?平面 DEG,所以平面 DEG⊥平面 CFG. (2)解 如图,在平面 EGF 中,

过点 G 作 GH⊥EF 于点 H, EG· GF 12 则 GH= = . EF 5 因为平面 CDEF⊥平面 EFG, 所以 GH⊥平面 CDEF, 1 所以 V 多面体 CDEFG= S 矩形 CDEF· GH=16. 3

题型三 直线、平面垂直的综合应用 例3 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,

AB∥DC, △PAD 是等边三角形, 已知 BD=2AD=8, AB=2DC=4 5. (1)设 M 是 PC 上的一点,求证:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积. 思维启迪 (1)因为两平面垂直与 M 点位置无关, 所以在平面 MBD 内 一定有一条直线垂直于平面 PAD,考虑证明 BD⊥平面 PAD. (2)四棱锥底面为一梯形,高为 P 到面 ABCD 的距离. (1)证明 在△ABD 中,∵AD=4,BD=8,AB=4 5, ∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD. 又∵面 PAD⊥面 ABCD,面 PAD∩面 ABCD=AD, BD?面 ABCD,∴BD⊥面 PAD. 又 BD?面 MBD, ∴面 MBD⊥面 PAD. (2)解 过 P 作 PO⊥AD, ∵面 PAD⊥面 ABCD, ∴PO⊥面 ABCD, 即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高. 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形, ∴PO=2 3. 在底面四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB=2DC, ∴四边形 ABCD 为梯形. 4×8 8 5 在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 = , 5 4 5 此即为梯形的高. ∴S 四边形 ABCD= 2 5+4 5 8 5 × =24. 2 5

1 ∴VP—ABCD= ×24×2 3=16 3. 3 思维升华 垂直关系综合题的类型及解法 (1)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. (3)垂直与体积结合问题,在求体积时,可根据线面垂直得到表示高的线段,进而求得体积. (2013· 江西)如图, 直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AB∥CD, AD⊥AB, AB=2, AD= 2,AA1=3,E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3.

(1)证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离. (1)证明 过 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F,则 BF=AD= 2,EF=AB-DE=1,FC=2. 在 Rt△BFE 中,BE= 3. 在 Rt△CFB 中,BC= 6. 在△BEC 中,因为 BE2+BC2=9=EC2,故 BE⊥BC. 由 BB1⊥平面 ABCD 得 BE⊥BB1, 所以 BE⊥平面 BB1C1C. (2)解 1 三棱锥 E-A1B1C1 的体积 V= AA1· S△A1B1C1= 2. 3

2 在 Rt△A1D1C1 中,A1C1= A1D2 1+D1C1=3 2.

同理,EC1= EC2+CC2 1=3 2, A1E= A1A2+AD2+DE2=2 3. 故 S?A1C1E =3 5. 设点 B1 到平面 A1C1E 的距离为 d, 则三棱锥 B1-A1C1E 的体积 1 V= · d· = 5d, 3 S?A1C1E 从而 5d= 2,d= 10 . 5

题型四 线面角、二面角的求法 例4 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,

AC⊥CD,∠ABC=60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. (1)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小; (2)证明:AE⊥平面 PCD; (3)求二面角 A—PD—C 的正弦值. 思维启迪 (1)先找出 PB 和平面 PAD 所成的角,线面角的定义要能灵活运用;(2)可以利用 线面垂直根据二面角的定义作角. (1)解 在四棱锥 P—ABCD 中,

因为 PA⊥底面 ABCD,AB?平面 ABCD, 故 PA⊥AB.又 AB⊥AD,PA∩AD=A, 从而 AB⊥平面 PAD, 故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA,

从而∠APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角. 在 Rt△PAB 中,AB=PA,故∠APB=45° . 所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45° . (2)证明 在四棱锥 P—ABCD 中, 因为 PA⊥底面 ABCD,CD?平面 ABCD, 故 CD⊥PA.由条件 CD⊥AC,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC. 又 AE?平面 PAC,∴AE⊥CD. 由 PA=AB=BC,∠ABC=60° ,可得 AC=PA. ∵E 是 PC 的中点,∴AE⊥PC. 又 PC∩CD=C,综上得 AE⊥平面 PCD. (3)解 过点 E 作 EM⊥PD,垂足为 M,连接 AM,如图所示.

由(2)知,AE⊥平面 PCD,AM 在平面 PCD 内的射影是 EM, 则可证得 AM⊥PD. 因此∠AME 是二面角 A—PD—C 的平面角. 由已知,可得∠CAD=30° . 设 AC=a,可得 2 3 21 2 PA=a,AD= a,PD= a,AE= a. 3 3 2 在 Rt△ADP 中,∵AM⊥PD,∴AM· PD=PA· AD, 2 3 a· a 3 PA· AD 2 7 则 AM= = = a. PD 7 21 a 3 AE 14 在 Rt△AEM 中,sin∠AME= = . AM 4 所以二面角 A—PD—C 的正弦值为 14 . 4

思维升华 求线面角、二面角的常用方法. (1)线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,要把线面角转化到 一个三角形中求解. (2)二面角的大小求法:二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有①定义 法;②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.

(2012· 浙江)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面是边长 为 2 3的菱形,∠BAD=120° ,且 PA⊥平面 ABCD,PA=2 6,M, N 分别为 PB,PD 的中点. (1)证明:MN∥平面 ABCD; (2)过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A-MN-Q 的平面 角的余弦值. (1)证明 连接 BD,因为 M,N 分别是 PB,PD 的中点, 所以 MN 是△PBD 的中位线,所以 MN∥BD. 又因为 MN?平面 ABCD,BD?平面 ABCD, 所以 MN∥平面 ABCD. (2)解 如图所示,在菱形 ABCD 中,

∠BAD=120° , 得 AC=AB=BC=CD=DA, BD= 3AB. 又因为 PA⊥平面 ABCD, 所以 PA⊥AB, PA⊥AC,PA⊥AD. 所以 PB=PC=PD. 所以△PBC≌△PDC. 而 M,N 分别是 PB,PD 的中点, 1 1 所以 MQ=NQ,且 AM= PB= PD=AN. 2 2 取线段 MN 的中点 E,连接 AE,EQ, 则 AE⊥MN,QE⊥MN, 所以∠AEQ 为二面角 A-MN-Q 的平面角. 由 AB=2 3,PA=2 6, 1 故在△AMN 中,AM=AN=3,MN= BD=3, 2 3 3 得 AE= . 2 在 Rt△PAC 中,AQ⊥PC,得 AQ=2 2,QC=2,PQ=4. PB2+PC2-BC2 5 在△PBC 中,cos∠BPC= = , 2PB· PC 6 得 MQ= PM2+PQ2-2PM· PQcos∠BPC= 5. 在等腰△MQN 中,MQ=NQ= 5,MN=3,

得 QE= MQ2-ME2=

11 . 2

3 3 11 在△AEQ 中,AE= ,QE= ,AQ=2 2, 2 2 AE2+QE2-AQ2 33 得 cos∠AEQ= = . 2AE· QE 33 所以二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值为 33 . 33

立体几何证明问题中的转化思想

典例:(12 分)如图所示,M,N,K 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 AB,CD,C1D1 的中点. 求证:(1)AN∥平面 A1MK; (2)平面 A1B1C⊥平面 A1MK. 思维启迪 (1)要证线面平行,需证线线平行.(2)要证面面垂直,需证 线面垂直,要证线面垂直,需证线线垂直. 规范解答 证明 (1)如图所示,连接 NK. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, ∵四边形 AA1D1D,DD1C1C 都为正方形, ∴AA1∥DD1,AA1=DD1,C1D1∥CD,C1D1=CD.[2 分] ∵N,K 分别为 CD,C1D1 的中点, ∴DN∥D1K,DN=D1K, ∴四边形 DD1KN 为平行四边形.[3 分] ∴KN∥DD1,KN=DD1,∴AA1∥KN,AA1=KN. ∴四边形 AA1KN 为平行四边形.∴AN∥A1K.[4 分] ∵A1K?平面 A1MK,AN?平面 A1MK, ∴AN∥平面 A1MK.[6 分] (2)如图所示,连接 BC1.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AB∥C1D1,AB=C1D1. ∵M,K 分别为 AB,C1D1 的中点,∴BM∥C1K,BM=C1K. ∴四边形 BC1KM 为平行四边形.∴MK∥BC1.[8 分] 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,A1B1⊥平面 BB1C1C, BC1?平面 BB1C1C,∴A1B1⊥BC1. ∵MK∥BC1,∴A1B1⊥MK.

∵四边形 BB1C1C 为正方形,∴BC1⊥B1C.[10 分] ∴MK⊥B1C.∵A1B1?平面 A1B1C,B1C?平面 A1B1C,A1B1∩B1C=B1,∴MK⊥平面 A1B1C. 又∵MK?平面 A1MK, ∴平面 A1B1C⊥平面 A1MK.[12 分] 温馨提醒 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互 转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理; (2)线线关系是线面关系、 面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论, 如证明平 行时常用的中位线、平行线分线段成比例;证明垂直时常用的等腰三角形的中线等; (3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.

方法与技巧 1.证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义:a 与 α 内任何直线都垂直?a⊥α; (2)判定定理 1:
? m、n?α,m∩n=A? ??l⊥α; ? l⊥m,l⊥n ?

(3)判定定理 2:a∥b,a⊥α?b⊥α; (4)面面平行的性质:α∥β,a⊥α?a⊥β; (5)面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β. 2.证明线线垂直的方法 (1)定义:两条直线所成的角为 90° ; (2)平面几何中证明线线垂直的方法; (3)线面垂直的性质:a⊥α,b?α?a⊥b; (4)线面垂直的性质:a⊥α,b∥α?a⊥b. 3.证明面面垂直的方法 (1)利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; (2)判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β. 4.转化思想:垂直关系的转化 判定 线线垂直
判定 性质

线面垂直

判定 性质

面面垂直

性质 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在, 则可通过作辅助线来解决.

失误与防范 1.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定 理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化. 2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先 找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1.已知 m 是平面 α 的一条斜线,点 A?α,l 为过点 A 的一条动直线,那么下列情形可能出现 的是 A.l∥m,l⊥α C.l⊥m,l∥α 答案 C 解析 设 m 在平面 α 内的射影为 n,当 l⊥n 且与 α 无公共点时,l⊥m,l∥α. 2.如图,已知△ABC 为直角三角形,其中∠ACB=90° ,M 为 AB 的中点, PM 垂直于△ABC 所在平面,那么 A.PA=PB>PC C.PA=PB=PC 答案 C 解析 ∵M 为 AB 的中点,△ACB 为直角三角形, ∴BM=AM=CM, 又 PM⊥平面 ABC, ∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC, 故 PA=PB=PC. 3.在空间内,设 l,m,n 是三条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,则下列命题中为假 命题的是 A.α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则 l⊥γ B.l∥α,l∥β,α∩β=m,则 l∥m C.α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,若 l∥m,则 l∥n D.α⊥γ,β⊥γ,则 α⊥β 或 α∥β 答案 D ( ) B.PA=PB<PC D.PA≠PB≠PC ( ) B.l⊥m,l⊥α D.l∥m,l∥α ( )

解析 对于 A,∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个 平面,∴该命题是真命题; 对于 B,∵如果一条直线平行于两个相交平面,那么该直线平行于它们的交线,∴该命题 是真命题; 对于 C,∵如果三个平面两两相交,有三条交线,那么这三条交线交于一点或相互平行, ∴该命题是真命题; 对于 D,当两个平面同时垂直于第三个平面时,这两个平面可能不垂直也不平行,∴D 是 假命题.综上所述,选 D. 4.正方体 ABCD—A′B′C′D′中,E 为 A′C′的中点,则直线 CE 垂直于 A.A′C′ 答案 B 解析 连接 B′D′, ∵B′D′⊥A′C′,B′D′⊥CC′,且 A′C′∩CC′=C′, ∴B′D′⊥平面 CC′E. 而 CE?平面 CC′E, ∴B′D′⊥CE. 又∵BD∥B′D′,∴BD⊥CE. 5. 如图所示,直线 PA 垂直于⊙O 所在的平面,△ABC 内接于⊙O,且 AB 为⊙O 的直径,点 M 为线段 PB 的中点.现有结论:①BC⊥PC; ②OM∥平面 APC;③点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长,其 中正确的是 A.①② 答案 B 解析 对于①,∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC, ∵AB 为⊙O 的直径,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面 PAC, 又 PC?平面 PAC,∴BC⊥PC; 对于②,∵点 M 为线段 PB 的中点,∴OM∥PA, ∵PA?平面 PAC,∴OM∥平面 PAC; 对于③,由①知 BC⊥平面 PAC,∴线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离,故①②③ 都正确. 二、填空题 6.已知 P 为△ABC 所在平面外一点,且 PA、PB、PC 两两垂直,则下列命题: ①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC. 其中正确的个数是________. B.①②③ C.① D.②③ ( ) B.BD C.A′D′ D.AA′ ( )

答案 3 解析 如图所示.∵PA⊥PC、PA⊥PB,PC∩PB=P, ∴PA⊥平面 PBC. 又∵BC?平面 PBC, ∴PA⊥BC. 同理 PB⊥AC、PC⊥AB.但 AB 不一定垂直于 BC. 7.在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)P-ABC 中,D,E 分别是 AB,BC 的中点,有下 列三个论断:①AC⊥PB;②AC∥平面 PDE;③AB⊥平面 PDE. 其中正确论断的序号为 ________. 答案 ①② 解析 如图,∵P-ABC 为正三棱锥, ∴PB⊥AC; 又∵DE∥AC,DE?平面 PDE,AC?平面 PDE, ∴AC∥平面 PDE.故①②正确. 8.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为________. 答案 6 3

解析 画出图形,如图,BB1 与平面 ACD1 所成的角等于 DD1 与平面 ACD1 所成的角,在三棱锥 D-ACD1 中,由三条侧棱两两垂直得点 D 在底面 ACD1 内的射影为等边三角形 ACD1 的垂心即中心 H, 连接 D1H, DH,则∠DD1H 为 DD1 与平面 ACD1 所成的角,设正方体的棱长为 a, 6 a 3 6 则 cos∠DD1H= = . a 3

三、解答题 9.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是直角梯形,AD∥BC, AB⊥BC,AD=2,AB=3,BC=BE=7,△DCE 是边长为 6 的正三 角形. (1)求证:平面 DEC⊥平面 BDE; (2)求点 A 到平面 BDE 的距离. (1)证明 因为四边形 ABCD 为直角梯形, AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,AB=3,所以 BD= 13, 又因为 BC=7,CD=6,所以根据勾股定理可得 BD⊥CD, 因为 BE=7,DE=6,同理可得 BD⊥DE. 因为 DE∩CD=D,DE?平面 DEC,CD?平面 DEC, 所以 BD⊥平面 DEC.因为 BD?平面 BDE, 所以平面 DEC⊥平面 BDE. (2)解 如图,取 CD 的中点 O,连接 OE,

因为△DCE 是边长为 6 的正三角形, 所以 EO⊥CD,EO=3 3, 易知 EO⊥平面 ABCD, 1 1 则 VE-ABD= × ×2×3×3 3=3 3, 3 2 1 又因为直角三角形 BDE 的面积为 ×6× 13=3 13, 2 设点 A 到平面 BDE 的距离为 h,则由 VE-ABD=VA-BDE, 1 3 39 得 ×3 13h=3 3,所以 h= , 3 13 3 39 所以点 A 到平面 BDE 的距离为 . 13 10.(2012· 江苏)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. 求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE. 证明 (1)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC.又 AD?平面 ABC,所以 CC1⊥AD. 又因为 AD⊥DE,CC1,DE?平面 BCC1B1,CC1∩DE=E, 所以 AD⊥平面 BCC1B1.又 AD?平面 ADE,

所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1. (2)因为 A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点, 所以 A1F⊥B1C1. 因为 CC1⊥平面 A1B1C1,且 A1F?平面 A1B1C1, 所以 CC1⊥A1F. 又因为 CC1,B1C1?平面 BCC1B1,CC1∩B1C1=C1, 所以 A1F⊥平面 BCC1B1. 由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1,所以 A1F∥AD. 又 AD?平面 ADE,A1F?平面 ADE, 所以 A1F∥平面 ADE. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1.已知平面 α 与平面 β 相交,直线 m⊥α,则 A.β 内必存在直线与 m 平行,且存在直线与 m 垂直 B.β 内不一定存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 C.β 内不一定存在直线与 m 平行,但必存在直线与 m 垂直 D.β 内必存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 答案 C 解析 如图,在平面 β 内的直线若与 α,β 的交线 a 平行,则有 m 与 之垂直.但却不一定在 β 内有与 m 平行的直线, 只有当 α⊥β 时才存在. 2.(2012· 江苏)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥 A-BB1D1D 的体积为________ cm3. 答案 6 解析 连接 AC 交 BD 于 O,在长方体中, ∵AB=AD=3,∴BD=3 2且 AC⊥BD. 又∵BB1⊥底面 ABCD,∴BB1⊥AC. 又 DB∩BB1=B,∴AC⊥平面 BB1D1D, 1 3 2 ∴AO 为四棱锥 A-BB1D1D 的高且 AO= BD= . 2 2 ∵ S矩形BB1D1D =BD×BB1=3 2×2=6 2, 1 ∴VA-BB1D1D= S矩形BB1D1D · AO 3 1 3 2 = ×6 2× =6(cm3). 3 2 ( )

3.如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC, PA=2AB,则下列结论中:①PB⊥AE;②平面 ABC⊥平面 PBC;③ 直线 BC∥平面 PAE;④∠PDA=45° . 其中正确的有________(把所有正确的序号都填上). 答案 ①④ 解析 由 PA⊥平面 ABC,AE?平面 ABC,得 PA⊥AE, 又由正六边形的性质得 AE⊥AB,PA∩AB=A, 得 AE⊥平面 PAB, 又 PB?平面 PAB,∴AE⊥PB,①正确; ∵平面 PAD⊥平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 PBC 不成立,②错; 由正六边形的性质得 BC∥AD, 又 AD?平面 PAD,BC?平面 PAD,∴BC∥平面 PAD, ∴直线 BC∥平面 PAE 也不成立,③错; 在 Rt△PAD 中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45° , ∴④正确. 4.如图,A,B,C,D 为空间四点,在△ABC 中,AB=2,AC=BC= 2, 等边三角形 ADB 以 AB 为轴转动. (1)当平面 ADB⊥平面 ABC 时,求 CD 的长; (2)当△ADB 转动时,是否总有 AB⊥CD?证明你的结论. 解 (1)取 AB 的中点 E,连接 DE,CE. ∵△ADB 是等边三角形,∴DE⊥AB. 当平面 ADB⊥平面 ABC 时, ∵平面 ADB∩平面 ABC=AB, ∴DE⊥平面 ABC,可知 DE⊥CE. 由已知可得 DE= 3,EC=1. 在 Rt△DEC 中,CD= DE2+EC2=2. (2)当△ADB 以 AB 为轴转动时,总有 AB⊥CD.证明如下: ①当 D 在平面 ABC 内时,∵AC=BC,AD=BD, ∴C,D 都在线段 AB 的垂直平分线上,即 AB⊥CD. ②当 D 不在平面 ABC 内时,由(1)知 AB⊥DE. 又∵AC=BC,∴AB⊥CE. 又 DE,CE 为相交直线,∴AB⊥平面 CDE. 由 CD?平面 CDE,得 AB⊥CD. 综上所述,总有 AB⊥CD.

5.如图 1 所示,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60° .点 E、F 分别在边 CD、CB 上,点 E 与点 C、D 不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O.沿 EF 将△CEF 翻 折到△PEF 的位置,使平面 PEF⊥平面 ABFED,如图 2 所示.

(1)求证:BD⊥平面 POA; (2)当 PB 取得最小值时,求四棱锥 P-BDEF 的体积. (1)证明 因为菱形 ABCD 的对角线互相垂直, 所以 BD⊥AC.所以 BD⊥AO. 因为 EF⊥AC,所以 PO⊥EF. 因为平面 PEF⊥平面 ABFED, 平面 PEF∩平面 ABFED=EF, 且 PO?平面 PEF, 所以 PO⊥平面 ABFED. 因为 BD?平面 ABFED,所以 PO⊥BD. 因为 AO∩PO=O,所以 BD⊥平面 POA. (2)解 设 AO∩BD=H. 因为∠DAB=60° , 所以△BDC 为等边三角形. 故 BD=4,HB=2,HC=2 3. 设 PO=x, 则 OH=2 3-x,OA=4 3-x. 连接 PH,OB,由 OH⊥BD,得 OB2=(2 3-x)2+22. 又由(1)知 PO⊥平面 BFED,则 PO⊥OB. 所以 PB= OB2+OP2= ?2 3-x?2+22+x2 = 2?x- 3?2+10. 当 x= 3时,PBmin= 10,此时 PO= 3=OH, 1 所以 V 四棱锥 P-BDEF= ×S 梯形 BDEF×PO 3 1 3 3 = ×( ×42- ×22)× 3=3. 3 4 4


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