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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理科预测卷及答案(广东卷)


2015 年全国高考广东卷(理科)数学模拟

2015 年广东高考数学模拟试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 页至第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 答题前,务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形 码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两 位。 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写,要求字体工整、笔迹清晰。作 .... 图题可先用铅笔在答题卡 规定的位置绘出, 确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。 必须在题号 ... 所指示的答题区域作答,超出书写的答案无效 ,在试题卷 、草稿纸上答题无效 。 ......... .... ........ 考试结束后,务必将试题卷和答题卡一并上交。 一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. ) 1. (2015?惠州模拟)已知集合 A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( ) A.﹣3∈A B. 3?B C. A∩B=B D. A∪B=B 2. (2015?绥化一模)若复数 z 满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( ) A.﹣4 B. C. 4 D. 的方向相反的单位向量是( D. ( ,﹣ ) ) )

3. (2015?南充三模)已知点 A(1,3) ,B(4,﹣1) ,则与向量 A. (﹣ , ) B. (﹣ , ) C.

( ,﹣ )

4. (2015?兰州模拟)设 α ,β ,γ 为平面,m,n 为直线,则 m⊥β 的一个充分条件是( A.α ⊥β ,α ∩β =n,m⊥n B. α ∩γ =m,α ⊥γ ,β ⊥γ C.α ⊥β ,β ⊥γ ,m⊥α D. n⊥α ,n⊥β ,m⊥α 5. (2015?河南二模)已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10=( A. 138 B. 135 C. 95 D. 23



6. (2015?中山市校级二模)已知实数 x、y 满足约束条件

,则 z=2x+4y 的最大值为(



A. 24

B. 20

C. 16

D.

12

7. (2015?武清区模拟)已知 P 为抛物线 ,则|PA|+|PM|的最小值是( A. 8 B.

上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M,点 A 的坐标是 ) D.

C. 10

8. (2010?浙江模拟) 定义同时具有性质“①有对称中心②有对称轴③有渐近线”的函数为“美妙函数” 则为“美妙函数”的函数是( ) A. y=2﹣|x| B. y=|lg|x||

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C. y=x+

D.

y=

二.填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) (一)必做题(9~13 题) 9. (2014?南昌一模)曲线 以点(1,﹣ )为切点的切线的倾斜角为 .

10. (2014?东湖区校级模拟)若关于 x 的不等式|a|≥|x+1|+|x﹣2|存在实数解,则实数 a 的取值范围 是 . 11. (2015?台江区校级模拟)某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入 10,则输出的 S 为 .

12. (2015?长宁区一模)五位同学各自制作了一张贺卡,分别装入 5 个空白信封内,这五位同学每人随 机地抽取一封,则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 . 2 2 13. (2014?东莞一模)请阅读下列材料:若两个正实数 a1,a2 满足 a1 +a2 =1,那么 a1+a2 .证明: 2 2 2 构造函数 f(x)=(x﹣a1) +(x﹣a2) =2x ﹣2(a1+a2)x+1,因为对一切实数 x,恒有 f(x)≥0, 2 所以△≤0,从而得 4(a1+a2) ﹣8≤0,所以 a1+a2 .根据上述证明方法,若 n 个正实数满足 2 2 2 a1 +a2 +?+an =1 时,你能得到的结论为 . (二)选做题(14~15 题,考生从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) (2015?衡阳县校级二模)若 P(2,﹣1)为曲线 (0≤θ

<2π )的弦的中点,则该弦所在直线的普通方程为 . 15. (几何证明选讲选做题) (2014?陕西)如图,△ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F,若 AC=2AE,则 EF= . 三.解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 2 16. (2015?南市区校级模拟)已知函数 f(x)=2 sinx?cosx+2cos x,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)已知 f( )= ,α ∈[0,π ],求 cos(α + )的值.

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17. (2015?兰州一模)某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件 的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组[20,25) ,第 2 组[25,30) ,第 3 组[30,35) ,第 4 组[35,40) ,第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示. (1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动,应从第 3,4,5 组各 抽取多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,该县决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少 有一名志愿者被抽中的概率.

18. (2015?鹰潭一模)在如图所示的几何体中,AE⊥平面 ABC,CD∥AE,F 是 BE 的中点,AC=BC=1, ∠ACB=90°,AE=2CD=2. (Ⅰ)证明 DF⊥平面 ABE; (Ⅱ)求二面角 A﹣BD﹣E 的余弦值.

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19. (2015?德阳模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 满足:Sn= an+n﹣3. (Ⅰ)求证:数列{an﹣1}是等比数列; * (Ⅱ)令 cn=log3(a1﹣1)+log3(a2﹣1)+?+log3(an﹣1) ,对任意 n∈N ,是否存在正整数 m,使 + +?+ ≥ 都成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

20. (2015?惠州模拟)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 线 l:y=x+m 交椭圆于不同的两点 A,B. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)若直线 l 不过点 M,求证:直线 MA、MB 与 x 轴围成一个等腰三角形.

,且经过点 M(4,1) ,直

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21. (2015?梅州一模)已知函数 f(x)=lnx,g(x)= ax ﹣bx,设 h(x)=f(x)﹣g(x) (1)若 g(2)=2,讨论函数 h(x)的单调性; (2)若函数 g(x)是关于 x 的一次函数,且函数 h(x)有两个不同的零点 x1,x2. 2 ①求 b 的取值范围;②求证:x1x2>e .

2

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2015 年广东高考数学模拟试卷(理科) 参考答案与试题解析 一.选择题(共 8 小题) 1. (2015?惠州模拟)已知集合 A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( A.﹣3∈A B. 3?B C. A∩B=B D. A∪B=B 考点: 专题: 分析: 解答: 元素与集合关系的判断.菁优网版权所有 集合. 先求出集合 A,从而找出正确选项. 解:∵|x|≥0,∴|x|﹣1≥﹣1; ∴A={y|y≥﹣1},又 B={x|x≥2} ∴A∩B={x|x≥2}=B. 故选 C. 点评: 注意描述法所表示集合的元素. 2. (2015?绥化一模)若复数 z 满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( A.﹣4 B. C.4 ) D.



考点: 复数代数形式的乘除运算;复数求模.菁优网版权所有 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由题意可得 z= = ,再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为 + i,由此可

得 z 的虚部. 解答: 解:∵复数 z 满足(3﹣4i)z=|4+3i|, ∴z= = = = + i,

故 z 的虚部等于 , 故选:D. 点评: 本题主要考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题.

3. (2015?南充三模)已知点 A(1,3) ,B(4,﹣1) ,则与向量 A. (﹣ , ) B. (﹣ , ) C. ( ,﹣ ) D.

的方向相反的单位向量是( ( ,﹣ )



考点: 单位向量.菁优网版权所有 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用与向量 的方向相反的单位向量= 即可得出.

解答: 解:

=(4,﹣1)﹣(1,3)=(3,﹣4) ,

=

=5.

∴与向量

的方向相反的单位向量=

=

=



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2015 年全国高考广东卷(理科)数学模拟

故选:A. 点评: 本题考查了与向量 的方向相反的单位向量= ,属于基础题.

4. (2015?兰州模拟)设 α ,β ,γ 为平面,m,n 为直线,则 m⊥β 的一个充分条件是( A.α ⊥β ,α ∩β =n,m⊥n B. α ∩γ =m,α ⊥γ ,β ⊥γ C.α ⊥β ,β ⊥γ ,m⊥α D. n⊥α ,n⊥β ,m⊥α



考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.菁优网版权所有 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据面面垂直的判定定理可知选项 A 是否正确,根据平面 α 与平面 β 的位置关系进行判定可 知选项 B 和 C 是否正确,根据垂直于同一直线的两平面平行,以及与两平行平面中一个垂直则 垂直于另一个平面,可知选项 D 正确 解答: 解: 对于选项 A:α ⊥β ,α ∩β =n,m⊥n,根据面面垂直的判定定理可知,缺少条件 m?α ,故 不正确; 对于选项 B:α ∩γ =m,α ⊥γ ,β ⊥γ ,而 α 与 β 可能平行,也可能相交,则 m 与 β 不 一定垂直,故不正确; 对于选项 C:α ⊥β ,β ⊥γ ,m⊥α ,而 α 与 β 可能平行,也可能相交,则 m 与 β 不一定 垂直,故不正确; 对于选项 D:因为 n⊥α ,n⊥β ,所以 α ∥β ,又因为 m⊥α ,所以 m⊥β .正确, 故选:D. 点评: 本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断,根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的 关键. 5. (2015?河南二模)已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10=( A. 138 B. 135 C. 95 D. 23 )

考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和.菁优网版权所有 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是等差数列的性质,及等差数列前 n 项和,根据 a2+a4=4,a3+a5=10 我们构造 关于基本量(首项及公差)的方程组,解方程组求出基本量(首项及公差) ,进而代入前 n 项 和公式,即可求解. 解答: 解:∵(a3+a5)﹣(a2+a4)=2d=6, ∴d=3,a1=﹣4, ∴S10=10a1+ =95.

故选 C 点评: 在求一个数列的通项公式或前 n 项和时,如果可以证明这个数列为等差数列,或等比数列,则 可以求出其基本项(首项与公差或公比)进而根据等差或等比数列的通项公式,写出该数列的 通项公式,如果未知这个数列的类型,则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关,间接求 其通项公式.

6. (2015?中山市校级二模)已知实数 x、y 满足约束条件 A.24 B. 20 C.
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,则 z=2x+4y 的最大值为( 16 D. 12



考点: 简单线性规划.菁优网版权所有 分析: ①画可行域②z 为目标函数纵截距四倍③画直线 0=2x+4y,平移直线过(0,2)时 z 有最大值 解答: 解:画可行域如图,z 为目标函数 z=2x+4y,可看成是直线 z=2x+4y 的纵截距四倍, 画直线 0=2x+4y,平移直线过 A(2,4)点时 z 有最大值 20 故选 B.

点评: 本题考查线性规划问题,难度较小.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题,这类问题一 般要分三步:画出可行域、求出关键点、定出最优解.

7. (2015?武清区模拟)已知 P 为抛物线 ,则|PA|+|PM|的最小值是( A. 8 B. C.

上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M,点 A 的坐标是 ) 10 D.

考点: 抛物线的简单性质.菁优网版权所有 专题: 计算题. 分析: 先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程,延长 PM 交准线于 H 点推断出|PA|=|PH|,进而 表示出|PM|,问题转化为求 PF|+|PA|的最小值,由三角形两边长大于第三边可知,|PF|+|PA| >|FA|,直线 FA 与 抛物线交于 P0 点,可得 P0,分析出当 P 重合于 P0 时,①可取得最小值,进 而求得|FA|,则|PA|+|PM|的最小值可得. 解答: 解:依题意可知焦点 F(0, ) ,准线 y=﹣ ,延长 PM 交准线于 H 点.则|PF|=|PH| |PM|=|PH|﹣ =|PF|﹣ |PM|+|PA|=|PF|+|PA|﹣ ,我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可. 由三角形两边长大于第三边可知,|PF|+|PA|≥|FA|,① 设直线 FA 与 抛物线交于 P0 点,可计算得 P0 (3, ) ,另一交点(﹣ , 当 P 重合于 P0 时,①可取得最小值,可得|FA|=10. 则所求为|PM|+|PA|= 故选 B 点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了考生分析问题的能力,数形结合的思想的运用. 舍去.

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2015 年全国高考广东卷(理科)数学模拟

8. (2010?浙江模拟) 定义同时具有性质“①有对称中心②有对称轴③有渐近线”的函数为“美妙函数” 则为“美妙函数”的函数是( ) A. y=2﹣|x| B. y=|lg|x|| C. y=x+ D. y=

考点: 图形的对称性.菁优网版权所有 专题: 新定义. 分析: y=2﹣|x|有对称轴 x=0,没有对称中心,没有渐近线;y=|lg|x||有对称轴 x=0,没有对称中心, 没有渐近线; y=x+ 没有对称轴, 有对称中心 (0, 0) , 有渐近线 x=0, y=0; y= =

有对称轴 x+y﹣2009=0,有对称中心(﹣2010,﹣1) ,有渐近线 x=﹣2010 和 y=﹣1. 解答: 解:在 A 中,y=2﹣|x|有对称轴 x=0,没有对称中心,没有渐近线, 故 A 不是“美妙函数”; 在 B 中,y=|lg|x||有对称轴 x=0,没有对称中心,没有渐近线, 故 B 不是“美妙函数”; 在 C 中,y=x+ 没有对称轴,有对称中心(0,0) , 故 C 不是“美妙函数”; 在 D 中,y= ∵ 把 得到 y= ∴y= = = .

的对称轴方程是 y=x 和 y=﹣x,对称中心是(0,0) ,渐近线是 x=0 和 y=0. 的图象沿 x 轴向左平移 2010 个单位,再沿 y 轴向下平移 1 个单位, . 的对称轴方程是 x+y﹣2009=0 和 x﹣y+2010=0

有对称中心(﹣2010,﹣1) ,有渐近线 x=﹣2010 和 y=﹣1, 故 D 是“美妙函数”. 故选 D. 点评: 本题考查图形的对称性,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,正确理解“美妙函数”的 定义. 二.填空题(共 4 小题) 9. (2014?南昌一模)曲线 以点(1,﹣ )为切点的切线的倾斜角为 45° .

考点: 导数的几何意义.菁优网版权所有 专题: 计算题. 分析: 根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x=1 处的导数,得到切线的斜率,从而求出切线的倾斜 角. 2 解答: 解:y′=x ,当 x=1 时,y′=1,从而切线的倾斜角为 45°,故答案为 45°. 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,考查运算求解能力,属于中档题. 10. (2014?东湖区校级模拟)若关于 x 的不等式|a|≥|x+1|+|x﹣2|存在实数解,则实数 a 的取值范围 是 a≥3 或 a≤﹣3 .
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考点: 其他不等式的解法.菁优网版权所有 专题: 计算题. 分析: 观察原不等式的右边|x+1|+|x﹣2|表示数轴上表示 x 的点到﹣1 的距离与它到 2 的距离之和, 求出|x+1|+|x﹣2|的最小值为 3,故关于 x 的不等式|a|≥|x+1|+|x﹣2|存在实数解,|a|大于 等于 3,列出关于 a 的不等式,求出不等式的解集即可得到 a 的取值范围. 解答: 解:|x+1|+|x﹣2|表示数轴上的 x 到﹣1 的距离与它到 2 的距离之和, 而|x+1|+|x﹣2|≥3,即最小值为 3, ∴不等式|a|≥|x+1|+|x﹣2|存在实数解时,|a|≥3, 解得:a≥3 或 a≤﹣3, 则实数 a 的取值范围是 a≥3 或 a≤﹣3. 故答案为:a≥3 或 a≤﹣3 点评: 此题是以绝对值不等式为平台,考查了其他不等式的解法,求解本题的关键是正确理解题意, 区分存在问题与恒成立问题的区别,本题是一个存在问题,解决的是有的问题,故取|a|≥3, 即大于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即满足题意,本题是一个易错题,主要错误就是出在把存在 问题当成恒成立问题求解,因思维错误导致错误. 11. (2015?台江区校级模拟) 某程序的框图如图所示, 执行该程序, 若输入 10, 则输出的 S 为 1033 .

考点: 循环结构.菁优网版权所有 专题: 图表型. 分析: 由已知中的程序框图及已知中输入 10,可得:进入循环的条件为 n<10,即 n=0,1,2,?,9, 模拟程序的运行结果,即可得到输出的 S 值. 0 解答: 解:当 n=0 时,S=0+2 +1; 1 当 n=1 时,S=2+2 +1; 2 当 n=2 时,S=5+2 +1; 3 当 n=3 时,S=10+2 +1; ? 1 2 7 8 当 n=8 时,S=2°+1+2 +1+2 +1+?+2 +1+2 +1; 1 2 8 9 当 n=9 时,S=2°+1+2 +1+2 +1+?+2 +1+2 +1; 当 n=10 时,退出循环,

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2015 年全国高考广东卷(理科)数学模拟

则输出的 S 为:2 +1+2 +1+2 +1+?+2 +1+2 +1=2 +2 +2 +?+2 +2 +10=

0

1

2

8

9

0

1

2

8

9

+10=1033.

故答案为:1033. 点评: 本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程序 的循环体中变量比较多时,要用表格法对数据进行管理. 12. (2015?长宁区一模)五位同学各自制作了一张贺卡,分别装入 5 个空白信封内,这五位同学每人随 机地抽取一封,则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 .

考点: 专题: 分析:

等可能事件的概率.菁优网版权所有 概率与统计. 根据题意,首先由排列数公式分析可得 5 位同学每人随机地抽取 1 张卡片的情况;进而分两 步分析 5 人中恰好有 2 人抽取到的贺卡是其本人制作的情况数目,①先在 5 人中抽出 2 人, 使其抽取到的贺卡是其本人制作的,②分析抽到的都不是其本人制作的 3 人,由分步计数原 理可得其情况数目,由等可能事件的概率公式,计算可得答案. 5 解答: 解:根据题意,共 5 张贺卡,5 位同学每人随机地抽取 1 张,有 A5 =120 种情况, 要满足 5 人中恰好有 2 人抽取到的贺卡是其本人制作, 2 可以先在 5 人中抽出 2 人,使其抽取到的贺卡是其本人制作的,有 C5 =10 种情况, 则剩余的 3 人,抽到的都不是其本人制作的,有 2 种情况, 则 5 人中恰好有 2 人抽取到的贺卡是其本人制作的情况有 10×2=20 种, 其概率 P= 故答案为 . 点评: 本题考查等可能事件概率计算,关键是正确理解“恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作 的”的含义.
2 2

= .

13. (2014?东莞一模)请阅读下列材料:若两个正实数 a1,a2 满足 a1 +a2 =1,那么 a1+a2 .证明: 2 2 2 构造函数 f(x)=(x﹣a1) +(x﹣a2) =2x ﹣2(a1+a2)x+1,因为对一切实数 x,恒有 f(x)≥0, 2 所以△≤0,从而得 4(a1+a2) ﹣8≤0,所以 a1+a2 .根据上述证明方法,若 n 个正实数满足 2 2 2 a1 +a2 +?+an =1 时,你能得到的结论为 a1+a2+?+an≤ . 考点: 类比推理.菁优网版权所有 专题: 常规题型;压轴题. 2 2 2 2 分析: 由类比推理知识可构造函数 f(x)=(x﹣a1) +(x﹣a2) +?+(x﹣an) =nx ﹣2(a1+a2+?+an) x+1,由对一切实数 x,恒有 f(x)≥0,所以△≤0,即可得到结论. 2 2 2 2 解答: 解:构造函数 f(x)=(x﹣a1) +(x﹣a2) +?+(x﹣an) =nx ﹣2(a1+a2+?+an)x+1, 由对一切实数 x,恒有 f(x)≥0,所以△≤0,得 a1+a2+?+an≤ 故答案为:a1+a2+?+an≤ 点评: 本题考查类比推理、二次函数恒成立知识,考查利用所学知识解决问题的能力. (0≤θ <2π )的弦的中点,则该

14. (2015?衡阳县校级二模)若 P(2,﹣1)为曲线 弦所在直线的普通方程为 x﹣y﹣3=0 . 考点: 参数方程化成普通方程.菁优网版权所有
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专题: 计算题. 分析: 由曲线 (0≤θ <2π ) , 知 (x﹣1)+y =25, 再由 P (2, ﹣1) 为曲线
2 2

(0≤θ <2π )的弦的中点,利用点差法能够求出该弦所在直线的普通方程. 解答: 解:∵曲线 ∴(x﹣1) +y =25, ∵P(2,﹣1)为曲线
2 2 2

(0≤θ <2π ) ,

(0≤θ <2π )的弦的中点,
2

设过点 P(2,﹣1)的弦与(x﹣1) +y =25 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 ,
2 2

把 A(x1,y1) ,B(x2,y2)代入(x﹣1) +y =25,









①﹣②,得 4(x1﹣x2)﹣2(x1﹣x2)﹣2(y1﹣y2)=0, ∴k= =1,

∴该弦所在直线的普通方程为 y+1=x﹣2, 即 x﹣y﹣3=0. 故答案为:x﹣y﹣3=0. 点评: 本题考查参数方程的应用,是基础题.解题时要认真审题,注意参数方程和普通方程的相互转 化和点差法的合理运用. 15. (2014?陕西)如图,△ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F,若 AC=2AE, 则 EF= 3 .

考点: 与圆有关的比例线段.菁优网版权所有 专题: 选作题;立体几何. 分析: 证明△AEF∽△ACB,可得 ,即可得出结论.

解答: 解:由题意,∵以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F, ∴∠AEF=∠C, ∵∠EAF=∠CAB, ∴△AEF∽△ACB,

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∵BC=6,AC=2AE, ∴EF=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查三角形相似的判定与运用,考查学生的计算能力,属于基础题. 三.解答题(共 6 小题) 16. (2015?南市区校级模拟)已知函数 f(x)=2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)已知 f( )= ,α ∈[0,π ],求 cos(α +

sinx?cosx+2cos x,x∈R.

2

)的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;两角和与差的余弦函数;三角函数的周期性及其求法.菁优网版 权所有 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用三角恒等变换化简 f(x) ,求出它的最小正周期; (2)由 f( )= 求出 sin(α + )的值.
2

)的值,考虑 α 的取值范围,求出 α +

的取值范围,从而求出

cos(α +

解答: 解: (1)f(x)=2 sinx?cosx+2cos x = sin2x+cos2x+1 =2( sin2x+ cos2x)+1 )+1,x∈R =π .

=2sin(2x+

∴f(x)的最小正周期为 T=

(2)∵f( =2sin(α + = , ∴

)=2sin[2( )+1

)+

]+1



∵α ∈[0,π ], ∴ ∴ ∴ ∴ , , 时, . ,

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点评: 本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的求值问题,解题时应注意三角函数的化简以及 由值求角和由角求值时角的范围,是中档题. 17. (2015?兰州一模)某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件 的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组[20,25) ,第 2 组[25,30) ,第 3 组[30,35) ,第 4 组[35,40) ,第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示. (1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动,应从第 3,4,5 组各 抽取多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,该县决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少 有一名志愿者被抽中的概率.

考点: 频率分布直方图;古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有 专题: 概率与统计. 分析: (1)先分别求出这 3 组的人数,再利用分层抽样的方法即可得出答案; (2)利用古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式即可得出. 解答: 解: (1) 第 3, 4, 5 组中的人数分别为 0.06×5×100=30, 0.04×5×100=20, 0.02×5×100=10. 从第 3, 4, 5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者, 应从第 3, 4, 5 组各抽取人数为 , =1; ,

(2)设“第 4 组至少有一名志愿者被抽中”为事件 A,则 P(A)=

= .

点评: 熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立 事件的概率计算公式是解题的关键. 18. (2015?鹰潭一模)在如图所示的几何体中,AE⊥平面 ABC,CD∥AE,F 是 BE 的中点,AC=BC=1, ∠ACB=90°,AE=2CD=2. (Ⅰ)证明 DF⊥平面 ABE; (Ⅱ)求二面角 A﹣BD﹣E 的余弦值.

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2015 年全国高考广东卷(理科)数学模拟

考点: 平面与平面之间的位置关系;直线与平面垂直的判定.菁优网版权所有 分析: (1)将 DF 平移到 CG 的位置,欲证 DF⊥平面 ABE,即证 CG⊥平面 ABE,根据线面垂直的判定定理 可知,只需证 CG 与平面 ABE 内的两相交直线垂直即可; (2) 过点 A 作 AM⊥BE 于 M, 过点 M 作 MN⊥BD 于 N, 连接 AN, ∠ANM 是二面角 A﹣BD﹣E 的平面角, 在 Rt△AMN 中利用余弦定理求出此角. 解答: 解: (Ⅰ)取 AB 的中点 G,连接 CG、FG. 因为 CD∥AE,GF∥AE,所以 CD∥GF. 又因为 CD=1, ,所以 CD=GF.

所以四边形 CDFG 是平行四边形,DF∥CG. (2 分) 在等腰 Rt△ACB 中,G 是 AB 的中点,所以 CG⊥AB. 因为 EA⊥平面 ABC,CG?平面 ABC,所以 EA⊥CG. 而 AB∩EA=A,所以 CG⊥平面 ABE. 又因为 DF∥CG,所以 DF⊥平面 ABE. (6 分) (Ⅱ)因为 DF⊥平面 ABE,DF? 平面 BDE,所以平面 BDE⊥平面 ABE. 过点 A 作 AM⊥BE 于 M,则 AM⊥平面 BDE,所以 AM⊥BD. 过点 M 作 MN⊥BD 于 N,连接 AN,则 BD⊥平面 AMN,所以 BD⊥AN. 所以∠ANM 是二面角 A﹣BD﹣E 的平面角. (10 分) 在 Rt△ABE 中, 因为 在 Rt△AMN 中, 所以二面角 A﹣BD﹣E 的余弦值是 . (12 分) . ,所以△ABD 是等边三角形.又 AN⊥BD,所以 . ,NM= .

点评: 本题主要考查线面关系及面面关系的基础知识,同时考查空间想象能力和逻辑推理能力.

19. (2015?德阳模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 满足:Sn= an+n﹣3. (Ⅰ)求证:数列{an﹣1}是等比数列; * (Ⅱ)令 cn=log3(a1﹣1)+log3(a2﹣1)+?+log3(an﹣1) ,对任意 n∈N ,是否存在正整数 m,使 + +?+ ≥ 都成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

考点: 数列与不等式的综合;数列的求和.菁优网版权所有 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)根据条件,求出相应数列的第一项,再利用前 n 项和与第 n 项的关系,求出要证数列的 第 n 项与第 n﹣1 项的比值为为定值;

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(Ⅱ)根据条件,对不等式左边求和,再求出最值,利用恒成立的情况,得到 m 的取值范围, 从而求出满足条件的值. 解答: (Ⅰ)证明:当 n=1 时, 当 n≥2 时,由 两式相减,得 得 ,解得 a1=4, , ,即 an=3an﹣1﹣2,

则 an﹣1=3(an﹣1﹣1) , 故数列{an﹣1}是以 a1﹣1=3 为首项,公比为 3 的等比数列. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 , , 所以 则 由 即 ∵ ∴m≤3. * 又∵m∈N , ∴m 的值为 1,2,3. 故对任意 n∈N ,存在正整数 m=1,2,3,使
*

, , 对任意 n∈N 都成立,得 对任意 n∈N 都成立, ,
* *



+

+?+

≥ 都成立.

点评: 本题考查的是数列和不等式的知识,具体有:等比数列定义,数列前 n 项和与第 n 项的关系, 数列的求和,代数式的最值,不等式的解,本题的知识容量较大,属于难题.

20. (2015?惠州模拟)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 线 l:y=x+m 交椭圆于不同的两点 A,B. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)若直线 l 不过点 M,求证:直线 MA、MB 与 x 轴围成一个等腰三角形. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版权所有 专题: 计算题;压轴题. 分析: (I)设出椭圆的标准方程,根据椭圆的离心率为
2 2

,且经过点 M(4,1) ,直

,得出 a =4b ,再根据 M(4,1)在椭圆上,

2

2

解方程组得 b =5,a =20,从而得出椭圆的方程; (II)因为直线 l:y=x+m 交椭圆于不同的两点 A,B,可将直线方程与椭圆方程消去 y 得到关于 x 的方 程,有两个不相等的实数根,从而△>0,解得﹣5<m<5;

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2015 年全国高考广东卷(理科)数学模拟

(III)设出 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,对(II)的方程利用根与系数的关系得: . 再计算出直线 MA 的斜率 k1= , MB 的斜率为 k2= ,

将式子 K1+K2 通分化简,最后可得其分子为 0,从而得出 k1+k2=0,得直线 MA,MB 的倾斜角互补,命 题得证. 解答: 解: (Ⅰ)设椭圆的方程为 ,

∵椭圆的离心率为 ∴a =4b , 又∵M(4,1) , ∴
2 2



,解得 b =5,a =20,故椭圆方程为

2

2

.?(4 分)

(Ⅱ)将 y=x+m 代入

并整理得 5x +8mx+4m ﹣20=0,

2

2

∵直线 l:y=x+m 交椭圆于不同的两点 A,B 2 2 ∴△=(8m) ﹣20(4m ﹣20)>0,解得﹣5<m<5.?(7 分) (Ⅲ)设直线 MA,MB 的斜率分别为 k1 和 k2,只要证明 k1+k2=0. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 根据(Ⅱ)中的方程,利用根与系数的关系得: .

上式的分子=(x1+m﹣1) (x2﹣4)+(x2+m﹣1) (x1﹣4) =2x1x2+(m﹣5) (x1+x2)﹣8(m﹣1) = 所以 k1+k2=0,得直线 MA,MB 的倾斜角互补 ∴直线 MA、MB 与 x 轴围成一个等腰三角形.?(12 分) 点评: 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系等知识点,属于难题.解题时注意设而不求和转化化归 等常用思想的运用,本题的综合性较强对运算的要求很高.
2

21. (2015?梅州一模)已知函数 f(x)=lnx,g(x)= ax ﹣bx,设 h(x)=f(x)﹣g(x) (1)若 g(2)=2,讨论函数 h(x)的单调性; (2)若函数 g(x)是关于 x 的一次函数,且函数 h(x)有两个不同的零点 x1,x2. ①求 b 的取值范围; 2 ②求证:x1x2>e . 考点: 利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)根据 g(2)=2,求出 h(x)的表达式,求函数的导数,即可讨论函数 h(x)的单调性;
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(2)根据函数 g(x)是关于 x 的一次函数,确定 a=0,根据函数 h(x)有两个不同的零点 x1, x2.即可得到结论. 解答: 解: (1)∵g(2)=2,∴a﹣b=1,即 b=a﹣1, ∴h(x)=f(x)﹣g(x)=lnx﹣ ax +(a﹣1)x,其定义域为(0,+∞)
2

h′(x)=

+(a﹣1)=

=



(Ⅰ)若 a≥0,则函数 h(x)在区间(0,1)上单调增;在区间(1,+∞)上单调减. (Ⅱ)若 a<0,令 h′(x)=0 得 ①当 a<﹣1 时,则 调增;在区间( ,则函数 h(x)在区间(0, ,1)上单调减. )上单调增;在区间(1,+∞)上单

②当 a=﹣1 时,h′(x)<0,则函数 h(x)在区间(0,+∞)单调减. ③当﹣1<a<0 时,则 调增;在区间(1, ,则函数 h (x)在区间(0,1)上单调增;在区间( )上单调减. ,+∞)上单

(2)∵函数 g(x)是关于 x 的一次函数 ∴h(x)=lnx+bx,其定义域为(0,+∞) ①由 h(x)=0 得 ,记 ,则

∴ ∴当 x=e 时

在(0,e)单调减,在(e,+∞)单调增, 取得最小值

又 φ (1)=0,所以 x∈(0,1)时 φ (x)>0,而 x∈(1,+∞)时 φ (x)<0 ∴b 的取值范围是( ,0)

②由题意得 lnx1+bx1=0,lnx2+bx2=0 ∴lnx1x2+b(x1+x2)=0,lnx2﹣lnx1+b(x2﹣x1)=0 ∴ ,不妨设 x1<x2

要证

,只需要证

即证

,设



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2015 年全国高考广东卷(理科)数学模拟

∴ ∴函数 F(t)在(1,+∞)上单调增,而 F(1)=0, ∴F(t)>0 即 ∴ .

点评: 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系,以及不等式的证明,综合性较强,运算量较大.

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