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【名师一号】2016届高考数学一轮总复习 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件练习


第二节

命题及其关系、充分条件与必要条件
时间:45 分钟 分值:100 分 基 础 必 做

一、选择题 1.“(2x-1)x=0”是“x=0”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 解析 由(2x-1)x=0? x=0 或 x= ,所以应选 B. 2 答案 B 2.命题“若 a>b,则 a >b ”的逆否命题是( A.若 a≥b,则 a ≥b C.若 a≤b,则 a ≤b
3 3 3 3 3

) B.若 a>b,则 a ≤b
3 3 3 3

3

D.若 a ≤b ,则 a≤b

解析 由逆否命题的含义知,D 正确. 答案 D 3.命题“若 a<0,则一元二次方程 x +x+a=0 有实根”与其逆命题、否命题、逆否命 题中真命题的个数是( A.0 C.4
2 2

) B.2 D.不确定

解析 当 a<0 时,Δ =1-4a>0,所以方程 x +x+a=0 有实根,故原命题为真;根据 原命题与逆否命题真假一致,可知其逆否命题为真;逆命题为:“若方程 x +x+a=0 有实 1 根,则 a<0”,因为方程有实根,所以判别式 Δ =1-4a≥0,所以 a≤ ,显然 a<0 不一定 4 成立,故逆命题为假;根据否命题与逆命题真假一致,可知否命题为假.故正确的命题有 2 个. 答案 B 4.已知 a,b,c 是实数,则 b ≠ac 是 a,b,c 不成等比数列的( A.充分不必要条件 C.充要条件
2 2 2

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 因为命题“若 b ≠ac,则 a,b,c 不成等比数列”的逆否命题为“若 a,b,c 成等比数列,则 b =ac”,是真命题,所以 b ≠ac 是 a,b,c 不成等比数列的充分条件; 因为“若 b =ac,则 a,b,c 成等比数列”是假命题,所以“若 a,b,c 不成等比数列,则
2 2 2

b2≠ac”是假命题,即 b2≠ac 不是 a,b,c 不成等比数列的必要条件.故选 A.
答案 A
1

5.(2014·东北三省二模)已知 p:x≥k,q: 那么 k 的取值范围是( A.[2,+∞) C.[1,+∞) 解析 q: )

3 <1,如果 p 是 q 的充分不必要条件, x+1

B.(2,+∞) D.(-∞,-1]

3 3 2-x <1? -1<0? <0? (x-2)·(x+1)>0? x<-1 或 x>2. x+1 x+1 x+1

因为 p 是 q 的充分不必要条件,所以 k>2,故选 B. 答案 B 6 .(2015·济宁模拟) 已知函数 f(x)= x - 2ax +b,则“1<a<2”是“f(1)<f(3)”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 函数 f(x)=x -2ax+b,所以 f(1)=1-2a+b,f(3)=9-6a+b,1<a<2,所以 1 -2a<9-6a,即 f(1)<f(3);反过来,f(1)<f(3)时,得 1-2a+b<9-6a+b 得 a<2,不能得 到 1<a<2,所以“1<a<2”是“f(1)<f(3)”的充分不必要条件. 答案 A 二、填空题 7.已知命题“若 a>b,则 ac >bc ”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中 正确命题的个数是________. 解析 其中原命题和逆否命题为假命题,逆命题和否命题为真命题. 答案 2 8.若“x >1”是“x<a”的必要不充分条件,则 a 的最大值为________. 解析 由 x >1, 得 x<-1 或 x>1, 又“x >1”是“x<a”的必要不充分条件, 知由“x<a” 可以推出“x >1”,反之不成立,所以 a≤-1,即 a 的最大值为-1. 答案 -1 9.下面有四个关于充要条件的命题: ①若 x∈A,则 x∈B 是 A? B 的充要条件; ②函数 y=x +bx+c 为偶函数的充要条件是 b=0; ③x=1 是 x -2x+1=0 的充要条件; 1 ④若 a∈R,则 a>1 是 <1 的充要条件;
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a

其中真命题的序号是________.
2

解析 由子集的定义知, 命题①为真. 当 b=0 时, y=x +bx+c=x +c 显然为偶函数, 反之,y=x +bx+c 是偶函数,则(-x) +b(-x)+c=x +bx+c 恒成立,就有 bx=0 恒成 立,得 b=0,因此②为真.当 x=1 时,x -2x+1=0 成立,反之,当 x -2x+1=0 时,x 1 a-1 1 =1,所以③为真.对于④,由于 <1? >0,即 a>1 或 a<0,故 a>1 是 <1 的充分不必要
2 2 2 2 2

2

2

a

a

a

条件,所以④为假. 答案 ①②③ 三、解答题 10.π 是圆周率,a,b,c,d∈Q,已知命题 p:若 aπ +b=cπ +d,则 a=c 且 b=d. (1)写出命题 p 的否定并判断真假; (2)写出命题 p 的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假; (3)“a=c 且 b=d”是“aπ +b=cπ +d”的什么条件?并证明你的结论. 解 (1)原命题 p 的否定是:“若 aπ +b=cπ +d,则 a≠c 或 b≠d”.假命题.

(2)逆命题:“若 a=c 且 b=d,则 aπ +b=cπ +d”,真命题. 否命题:“若 aπ +b≠cπ +d,则 a≠c 或 b≠d”,真命题. 逆否命题:“若 a≠c 或 b≠d,则 aπ +b≠cπ +d”,真命题. (3)“a=c 且 b=d”是“aπ +b=cπ +d”的充要条件. 证明如下: 充分性:若 a=c,则 aπ =cπ , ∵b=d,∴aπ +b=cπ +d. 必要性:∵aπ +b=cπ +d,∴aπ -cπ =d-b, 即(a-c)π =d-b. ∵d-b∈Q,∴a-c=0,d-b=0,即 a=c,b=d. ∴“a=c 且 b=d”是“aπ +b=cπ +d”的充要条件.

? ? 3 ?3 ? 2 11.已知集合 A=?y?y=x - x+1,x∈? ,2? 2 ?4 ? ? ?

? ?,B={x|x+m2≥1}.条件 p:x∈A, ?

条件 q:x∈B,并且 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 解 3 ? 3?2 7 2 化简集合 A,由 y=x - x+1,得 y=?x- ? + . 2 ? 4? 16

7 ?3 ? ∵x∈? ,2?,∴ymin= ,ymax=2. 16 ?4 ?
? ? ?7 ? ?7 ∴y∈? ,2?,∴A=?y? ≤y≤2 ?16 ? ? ?16 ?
2

? ? ?. ? ?
2 2

化简集合 B,由 x+m ≥1,得 x≥1-m ,B={x|x≥1-m }. ∵p 是 q 的充分条件,∴A? B.
3

7 3 3 2 ∴1-m ≤ ,解得 m≥ 或 m≤- . 16 4 4 3? ?3 ? ? ∴实数 m 的取值范围是?-∞,- ?∪? ,+∞?. 4? ?4 ? ? 培 优 演 练 )

1.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 根据等价命题,便宜? 没好货,等价于,好货? 不便宜,故选 B. 答案 B 2.(2014·天津卷)设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 )

解析 先证“a>b”? “a|a|>b|b|”.若 a>b≥0,则 a >b ,即 a|a|>b|b|;若 a≥0>b, 则 a|a|≥0>b|b|;若 0>a>b,则 a <b ,即-a|a|<-b|b|,从而 a|a|>b|b|. 再证“a|a|>b|b|”? “a>b”.若 a,b≥0,则由 a|a|>b|b|,得 a >b ,故 a>b;若 a,
2 2 2 2

2

2

b≤0,则由 a|a|>b|b|,得-a2>-b2,故 a>b;若 a≥0,b<0,则 a>b.
综上,“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件. 答案 C 3.(2014·福建卷)直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点,则“k=1” 1 是“△OAB 的面积为 ”的( 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 1 解析 当 k=1 时,l:y=x+1,由题意不妨令 A(-1,0),B(0,1),则 S△AOB= ×1×1 2 1 1 = ,所以充分性成立;当 k=-1 时,l:y=-x+1,也有 S△AOB= ,所以必要性不成立. 2 2 答案 A
4
2 2

)

4.已知集合 A={x|x -4mx+2m+6=0},B={x|x<0},若命题“A∩B=?”是假命题, 求实数 m 的取值范围. 解 因为“A∩B=?”是假命题,所以 A∩B≠?.
2

2

设全集 U={m|Δ =(-4m) -4(2m+6)≥0},
? 3? 则 U=?m|m≤-1或m≥ ?. 2? ?

假设方程 x -4mx+2m+6=0 的两根 x1,x2 均非负,则有

2

m∈U, ? ? ?x1+x2≥0, ? ?x1x2≥0
? ? ? 3 又集合?m?m≥ 2 ? ? ?

m∈U, ? ? ? ?4m≥0, ? ?2m+6≥0

3 ? m≥ . 2

? ? ?关于全集 U 的补集是{m|m≤-1}, ? ?

所以实数 m 的取值范围是{m|m≤-1}.

5


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