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黄冈中学2011年高考数学易错题精选(三)--不等式、直线与圆易错题


年高考数学易错题精选( 年高考数学易错题精选(三)--不等式、直线与圆易错题 --不等式、 不等式
1.设 a、b 为任意为实数,记 | a + b |,| a ? b |,| b ? 1 | 三者中的最大值为 M,则( A. M ≥
1 2



B. M ≥ 1

C. M ≤

1 2

D. M ≤ 1
b 的取值范围 a

2.已知方程 x 2 + (2 + a ) x + 1 + a + b = 0 的两根为 x1 、 x2 ,并且 0 < x1 < 1 < x2 ,则 是( )
1 2

A. (?2, ? ] C. (?2, ? )
2 3

B. (?2, ? ) D. (?2, ? ]
2 3

1 2

3.给出平面区域如图所示,若使目标函数 z = ax + y (a > 0) 取得最 大值的最优解有无穷多个,则 a 的值为( A.
1 4



B. D.

5 3 3 5

C.4

4.过点 A(11, 2) 作圆 x 2 + y 2 + 2 x ? 4 y ? 164 = 0 的弦,其中弦长为整数的共有( A.16 条 B.17 条 C.32 条 D.34 条



5.过圆 C: ( x ? 1) 2 + ( y ? 1)2 = 1 的圆心,作直线分别交 x 、 y 正半轴于点 A、B,△AOB 被圆分成四部分(如图) .若这四部分图形面积满足 SⅠ+ SⅣ=SⅡ+SⅢ,则这样的直线 AB 有( ) A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条
?x + y ≥ 0 ? 6.在平面直角坐标系中,不等式 ? x ? y + 4 ≥ 0 (a 为常数) ,表示的平面 ?x ≤ a ?

区域的面积是 9,那么实数 a 的值是( A. 2 + 3 2 B. ?3 2 + 2

) C. ?5 D.1

? x ? y ≥ 0, ? 2 x + y ≤ 2, ? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( 7.若不等式组 ? ? y ≥ 0, ? x + y ≤ a. ?



A. a ≥

4 3 4 3 1 2 1 3

B. 0 < a ≤ 1 D. 0 < a ≤ 1或a ≥
4 3

C. 1 ≤ a ≤

8.已知实数 a, b 满足 ( )a = ( )b ,下列 5 个关系式:① 0 < b < a ;② a < b < 0 ;③ 0 < a < b ;

1

④ b < a < 0 ;⑤ a = b .其中不可能成立的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个

D.4 个

9.已知关于 t 的方程 t 2 + tx + y = 0 有两个绝对值都不大于 1 的实数根,则点 P( x, y ) 所对应的 区域图形大致是( )

10.已知两点 P(?1,1), Q (2, 2) ,若直线 l : x + my + m = 0 与线段 PQ 没有公共点,则 m 的取值范 围是 . 11.满足 | x | + | y |≤ 4 的整点(横、纵坐标为整数的点)的个数是 .

?x + y ≤ s ? 12 . 已 知 实 数 x, y 满 足 ? 2 x + y ≤ 4, 当 3 ≤ s ≤ 5 时 , 则 z = 3x + 2 y 的 最 大 值 的 变 化 范 围 ? x, y ≥ 0 ?

是 13.不等式


t t+2 ≤ a ≤ 2 在 t ∈ (0, 2] 上恒成立,则 a 的取值范围是 t2 + 9 t



14.对于满足 0 ≤ p ≤ 4 的所有实数 p ,使不等式 x 2 + px > 4 x + p ? 3 恒成立的 x 的取值范围 为 .

15.当 x ∈ R 时,不等式 m + cos 2 x < 3 + 2 sin x + 2m + 1 恒成立,则实数 m 的取值范围为 . 16. (1)求使 log 2 (? x) < x + 1 成立的 x 的取值范围为 ;
1 . 2 17.若三条直线 (m ? 4) x ? 2 y + 3 = 0,3x + 2 y + 1 = 0 及 mx ? y + 6 = 0 能围成三角形,求实数 m 的

(2)不等式 x 2 ? log a x < 0 在 (0, ) 上恒成立,则 a 的取值范围为

取值范围.

18.设 a、b、c ∈ R ,函数 f ( x) = ax 2 + bx + c, g ( x ) = ax + b ,当 ?1 ≤ x ≤ 1 时, | f ( x) |≤ 1 . (1)求证: | c |≤ 1 ; (2)求证:当 ?1 ≤ x ≤ 1 时, | g ( x) |≤ 2 .

2

19.已知 f ( x) = x 2 + ax + b(a, b ∈ R), x ∈ [?1,1] . (1)若 | f ( x) | 的最大值为 M,求证: M ≥ (2)当 M =
1 时,求 f ( x) 的表达式. 2 1 ; 2

20. 过圆 x 2 + y 2 = 25 上一点 A(?3, 4) 作两直线 l1 , l2 , 分别与圆相交于另一点 P、 若直线 l1 , l2 Q, 的倾斜角互补,试推断直线 PQ 的斜率是否为定值.

21.方程 x 2 + ax + a = 0 在(0,1]上有解,求 a 的取值范围.

3

22.若不等式 x 2 + ax + 3 ? a > 0 对于满足 ?2 ≤ x ≤ 2 的一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范 围.

?x > 0 ?y > 0 ? 23.已知 x, y 满足约束条件 ? ,且 z = ax + y 的最大值为 7,求 a 的值. ? x + 4 y ? 16 ≤ 0 ?3x + y ? 15 ≤ 0 ?

? ? 24.设 m 为实数,若 ?( x, y ) ? ?

? x ? 2 y + 5 ≥ 0? ? ? 2 2 ?3 ? x ≥ 0 ? ? {( x, y ) | x + y ≤ 25} , 求m的取值范围 . ? mx + y ≥ 0 ? ? ?

25. 设满足 y ≥| x ? a | 的点 ( x, y ) 的集合为 A, 满足 y ≤ ? | x | +b 的点 ( x, y ) 的集合为 B, 其中 a, b 是正数,且 A I B ≠ ? . (1)问 a, b 之间有什么关系? (2)求 A I B 表示的图形面积.

4

26.已知集合 A = {( x, y ) | y ≥

1 | x ? 2 |} , B = {( x, y ) | y ≤ ? | x | +b} ,且 A I B ≠ ? . 2

(1)求 b 的取值范围; (2)若 ( x, y ) ∈ A I B ,且 x + 2 y 的最大值为 8,求 b 的值.

27.已知 a ∈ R ,二次函数 f ( x) = ax 2 ? 2 x ? 2a ,设不等式 f ( x) > 0 的解集为 A,又知集合
B = {x | 1 < x < 3} ,若 A I B ≠ ? ,求 a 的取值范围.

28.设 f ( x) = x 2 + bx + c (b, c都为常数) ,方程 f ( x) = x 的两个实数根为 x1 、 x2 ,且满足 x1 > 0 ,
x2 ? x1 > 1 .

(1)求证: b 2 > 2(b + 2c) ; (2)设 0 < t < x1 ,试比较 f (t ) 与 f ( x)1 的大小.

5

29. 设二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c(a > 0) , 方程 f ( x) ? x = 0 的两个根 x1 、 2 满足 0 < x1 < x2 < x 当 x ∈ (0, x1 ) 时,证明: x < f ( x) < x1 .

1 , a

30.已知直线 l : y = kx 和抛物线 C : ( y + 1) 2 = 3( x ? 1) .当 k 变化 (k ≠ 0) 且直线 l 与抛物线 C 有 公共点时,点 P(a, 0) 关于直线 l 的对称点 Q( x0 , y0 ) .请写出 x0 关于 k 的函数关系式 x0 = f (k ) ,并求出点 Q 直线 x = 1 上时 a 的取值范围.

6

不等式、直线与圆易错题参考答案
1.解析:由题设, M ≥| a + b | , M ≥| a ? b | , M ≥| b ? 1| , 于是 4 M ≥| a + b | + | a ? b | +2 | b ? 1 | ≥| (a + b) ? (a ? b) ? 2(b ? 1) |= 2 ,所以 M ≥ 2.解析:令 f ( x) = x 2 + (2 + a) x + 1 + a + b ,因为 0 < x1 < 1 < x2 , 所以 ?
? f (0) > 0 ?a + b + 1 > 0 ,即 ? ,此不等式组表示的平面区域, f (1) < 0 ? ? 2a + b + 4 < 0

1 ,故选 A. 2

如图所示. 又
b b?0 = 的几何意义是原点和点 (a, b) 所在直线的斜率, 由图可 a a?0 b 2 < ? ,故选 C. a 3

知: ?2 <

3 . 解 析 : 依 据 题 意 , 直 线 ax + y = z 与 直 线 AC 平 行 , 所 以
? a = k AC 22 5 = ? 3 ,即 a = 3 ,故选 D. = 5 ?1 5 5 2?

4 . 解 析 : 因 为 圆 x 2 + y 2 + 2 x ? 4 y ? 164 = 0 的 标 准 方 程 为 :
( x + 1) 2 + ( y ? 2)2 = 132 ,即此圆是一个以点 O(?1, 2) 为圆心,以 R=13 为半径的圆.

因为 | OA |= 11 ? (?1) = 12 ,而 R=13, 所以经过 A 点且垂直于 OA 的弦是经过 A 点的最短的弦,其长度为 2 132 ? 122 = 10 ; 而经过 OA 的弦则是经过 A 点的最长的弦,其长度为圆的直径,即 2R=26; 所以经过 A 点且为整数的弦长还可取 11,12,13,14,15,…,25 共 15 个值,又由于圆内弦的 对称性,经过某一点的弦的长若介于最大值与最小值之间,则一定有 2 条,而经过某一 点的圆的最长弦与最短弦各有 1 条,故一共有 15×2+2=32 条,故选 C. 5.解析:由已知得 SⅣ- SⅡ= SⅢ-SⅠ,第Ⅱ,Ⅳ部分的面积是定值,所以 SⅣ- SⅡ为定值, 即 SⅢ-SⅠ为定值.当直线 AB 绕着圆心 C 移动时,只可能有一个位置符合题意,即直线 AB 只有一条,故选 B. 6.解析:作出可行域,可知当 a < ?2 时,可行域就是 ?
?x + y ≥ 0 构成的 ?x ? y + 4 ≥ 0

区域,其面积是一个无穷大的值,不可能是 9,故 a > ?2 (以下同上述错 解) .答案 D. 7.解析:先把前三个不等式表示平面区域画出来,如图所示. 故当 x + y = a 过 B 时 此时可行域为△AOB 及其内部, 交点 B 为 ( , ) ,
a=

2 2 3 3

4 , 3

所以 a ≥

4 时可行域仍为△AOB, x + y = a 过 A 点时, = 1 + 0 = 1 . 当 a 3

7

故当 0 < a ≤ 1 时,此时可行域也为三角形,故 0 < a ≤ 1或a ≥ 8.解析:作 y = ( ) x , y = ( ) x 的图象,如图所示. 当 x < 0 时, ( )a = ( )b ,则有 a < b < 0 ; 当 x > 0 时, ( )a = ( )b ,则有 0 < b < a ; 当 x = 0 时,( )a = ( )b ,则有 a = b = 0 .答案:B.
1 2 1 3 1 2 1 3

4 .答案:D. 3

1 3

1 2

1 2

1 3

? ? = x 2 ? 4 y ≥ 0, ? ? ?1 ≤ ? x ≤ 1, ? 9.解析:依题意,方程有两个在区间[-1,1]上的实根,因而有 ? 作出可行 2 ? f (?1) = 1 ? x + y ≥ 0, ? ? f (1) = 1 + x + y ≥ 0. ?

域,易得答案为 A. 10.解析:由线性规划知识得,点 P、Q 在直线的同侧,故 (?1 + m + m)(2 + 2m + m) > 0 , 即 (2m ? 1)(3m + 2) > 0 ,解得 m >
1 2 或m < ? . 2 3

11.解析:坐标轴上有 9 × 2 ? 1 = 17 个整点,第一象限有 6 个整数,根据对称性四个象限有 6 × 4 = 24 个整点,故满足条件下整点有 17+24=41 个,故填 41. 12.解析:当 4 ≤ s ≤ 5 时,约束条件表示的区域为 y + 2 x = 4 与 x 轴, y 轴在第一象限围成的 三角形区域. 所以直线 z = 3x + 2 y 过点(0,4)时, z 的最大值取值为最大, z = 8 ; 当 3 ≤ s < 4 时,直线 z = 3x + 2 y 过 y + x = s 与 y + 2 x = 4 的交点时最大,此时 z = 4 + s ,显 然 s = 3 , z 的最大值的取值为最小. 由?
?y + x = 3 ?x = 1 ,得 ? ,所以 z = 7 .所以 7 ≤ z ≤ 8 ,即 z 的最大值变化范围是[7,8] . y + 2x = 4 ? ?y = 2 t+2 1 2 1 1 1 = + 2 = 2( + )2 ? ,它在(0,2]上为减函数, t2 t t t 4 8

13.解析:设 f (t ) =
a 要小于等于

t+2 ,即 a 要小于或等于 f (t ) 在(0,2]上的最小值 f (2) = 1 . t2

设 g (t ) =

t t ,它在(0,2]上为增函数, a 要大于或等于 2 ,即 a 要大于或等于 g (t ) t +9 t +9
2

在 (0, 2]上的最大值. [ g (t )]max = g (2) = 而

2 2 2 2 = , 所以 ≤ a ≤ 1 , 故应填入的答案是 [ ,1] . 4 + 9 13 13 13

14.解析:已知不等式可化为 x 2 + ( x ? 1) p ? 4 x + 3 > 0 . 设 f ( p ) = ( x ? 1) p + x 2 ? 4 x + 3 ,则 ?
? 2 ? f (0) > 0 ? x ? 4 x + 3 > 0, ?? 2 ? x > 3 或 x < ?1 . ? f (4) > 0 ? x ? 1 > 0 ?

15. 解析: + cos 2 x < 3 + 2 sin x + 2m + 1 恒成立 ? m ? 2m + 1 < 3 + 2 sin x ? cos 2 x 的解集为 R, m 求 m 的范围,即 m ? 2m + 1 小于 (3 + 2 sin x ? cos 2 x) 的最小值.

8

令 f ( x) = 3 + 2 sin x ? cos 2 x = (sin x + 1) 2 + 1, x ∈ R . 当 sin x = ?1 时, f ( x) 的最小值为 1.
?m ? 1 ≥ 0 ? m ? 1 < 0, m ? 2m + 1 < 1 ? 2m + 1 > m ? 1 ? ? 或? . 2 ? 2m + 1 ≥ 0; ? 2m + 1 > (m ? 1) ??
1 ? 1 ? ≤ m < 1 或 1 ≤ m < 4 ? m ∈ ?? , 4 ? . 2 ? 2 ?

16.解析:(1) 由图可知, x 的取值范围是 (?1, 0) .

(2) 原不等式等价于 x 2 < log a x . a > 1 时, 当 显然在 (0, )
log a x < 0 ,而 x 2 ≥ 0 ,故不符合条件.于是 0 < α < 1 .

1 2



画出 y = x 2 和 y = log a x(0 < a < 1) 的图象,如图所示. 由图可知,在 (0, ) 范围内,要使函数 y = log a x(0 < a < 1) 的图象在函数
1 2

1 ,1) . 16 17.解:三条直线能围成三角形必须这三条直线两两相交,且不共点.
y = x 2 的上方, a 的取值范围是 [
?m ≠ 1 ? 2(m ? 4) ? 3 × (?2) ≠ 0 ? 3 ? ? ? ?m ≠ ? . ?3 × (?1) ? 2m ≠ 0 2 ? ?(m ? 4) ? (?2) m ≠ 0 ? ? ? m ≠ ?4 ? 4 ? x=? (m ? 4) x ? 2 y + 3 = 0 ? ? m ?1 ? ?? . 由? 3x + 2 y + 1 = 0 ? ? y = ? m ? 13 ? 2(m ? 1) ?

由 m (?

m ? 13 4 )+( )+6 = 0? m =5, m ?1 2(m ? 1)

即 m = 5 时三线共点,
3 2 18.证明: (1)因为当 ?1 ≤ x ≤ 1 时, | f ( x) |≤ 1 ,所以 | f (0) |≤ 1 ,即 | c |≤ 1 .

所以 m ≠ ?4, m ≠ ? , m ≠ 1 且 m ≠ 5 时,三条直线能围成三角形.

(2)由于 ?1 ≤ x ≤ 1 时, | f ( x) |≤ 1 ,所以 | f (1) |=| a + b + c |≤ 1 , | f (?1) |=| a ? b + c |≤ 1 . 所以 | a + b |=| a + b + c ? c |≤| a + b + c | + | c |≤ 1 + 1 = 2 . | a ? b |=| a ? b + c ? c |≤| a ? b + c | + | c |≤ 1 + 1 = 2 , 即 | g (1) |≤ 2 , | g (?1) |≤ 2 .而 g ( x ) = ax + b 在[-1,1]上单调,所以 ?1 ≤ x ≤ 1 时, | g ( x) |≤ 2 . 19. (1)证明:因为 M ≥| f (0) |, M ≥| f (1) | , M ≥| f (?1) | , 所以 4 M ≥ 2 | f (0) | + | f (1) | + | f (?1) |≥| 2 f (0) ? f (1) ? f (?1) |= 2 ,所以 M ≥
1 . 2

9

(2)因为 M ≥| f (0) |, M ≥| f (1) |, M ≥| f (?1) | ,又 M =

1 , 2

1 ? 1 ?? 2 ≤ b ≤ 2 1 ? 1 ? ?? 2 ≤ b ≤ 2 1 1 ? ? 1 所以 ? ? ≤ 1 + a + b ≤ ,即 ? ,故 b = ? . 2 2 ?? 3 ≤ b ≤ ? 1 ? 2 ? 2 1 ? 1 ? 2 ?? 2 ≤ 1 ? a + b ≤ 2 ?

代入得 ?1 ≤ a ≤ 0 ,且 0 ≤ a ≤ 1 ,所以 a = 0 ,故 f ( x) = x 2 ? . 20.解:过点 A 作 x 轴的垂线交圆 O 于 B 点,设直线 l1 , l2 分别与 x 轴相交 于 M、N 点, 依据题意△AMN 为等腰三角形,所以 AB 为∠PAQ 的平分线. 所以 B 为 PQ 的中点. 连结 OB, OB⊥PQ. 则 由对称性知, B(?3, ?4) , 点 所以 kOB =
4 1 3 ,所以 k PQ = ? = ? ,为定值. 4 kOB 3

1 2

21.解:方法 1:设 f ( x) = x 2 + ax + a , (1)若 f ( x) = 0 在(0,1]上有两解,如图,
?? ≥ 0 ? f (0) > 0 ? ? 则有 ? f (1) ≥ 0 ,所以此不等式无解. ? ?0 < ? a < 1 ? ? 2

(2)若 f ( x) = 0 在(0,1]上有且仅有一解, 则有 ?
? f (0) f (1) ≤ 0 ? a(2a + 1) ≤ 0 1 ,即 ? ,解得 ? ≤ a < 0 . f (0) ≠ 0 a≠0 2 ? ?

综上所述得 a 的取值范围为 [? , 0) .

1 2 方法 2:因为 x ∈ (0,1] ,所以 x ≠ ?1 , x2 1 1 =? =? . 1 1 1 1 2 1 x +1 + ( + ) ? x 2 4 x2 x 1 ≥1 x

原方程可变为 a = ?

因为 0 < x ≤ 1 ,所以 故 ( + )2 ? 即0 <
1 x 1 2

1 1 1 ≥ (1 + ) 2 ? = 2 , 4 2 4

1 1 1 ≤ ,所以 a ∈ [? , 0) . 1 1 2 1 2 2 ( + ) ? x 2 4

22. 设 f ( x) = x 2 + ax + 3 ? a , 解: 其函数图象为开口向上的抛物线, 要使得对于满足 ?2 ≤ x ≤ 2 的一切实数 x 恒有 f ( x) > 0 ,只需满足:

10

(1) = a 2 ? 4(3 ? a ) < 0 ,∴ ?6 < a < 2 .
? ? ? ≥ 0, ? a 2 ? 4(3 ? a) ≥ 0, ? a ? ? ∴ a∈? . (2) ? ? < ?2, 即 ? a > 4, ? 2 ? 7 ? f (?2) > 0, ? a < . ? 3 ? ? ? ≥ 0, ? a 2 ? 4(3 ? a) ≥ 0, ? a ≥ 2或a ≤ ?6, ? a ? ? ? (3) ? ? > 2, 即 ? a < ?4, ∴ ? a < ?4, ∴ ?7 < a ≤ ?6 . 2 ? a > ?7, ? a > ?7, ? ? ? f (2) > 0, ? ?

综合①、②、③得,当 ?7 < a < 2 时,不等式 x 2 + ax + 3 ? a > 0 对一切 x ∈ [?2, 2] 均成立. 23.解:画出可行域,如图. 直线 l : ax + y = 0 的斜率为 ? a .若 ?3 ≤ ? a ≤ ? ,即
1 1 ≤a≤3, 4 4 = 4a + 3 = 7 ,得 a = 1 ;

则直线 ax + y = z 过点 B(4,3)时, zmax 若 ? a < ?3 , a > 3 , 即 则直线 ax + y = z 过点 C (5, 0) 时, max = 5a = 7 , z 得a =
7 (不符) ; 5 1 4 1 , 则直线 ax + y = z 过点 A(0, 4) 时,zmax = 4(不 4

若 ?a > ? , a < 即 符) .故 a = 1 .

24.解:画出可行域及圆,如图. 直线 l : mx + y = 0 恒过原点, 所以当直线 l 与线段 AB 有交点时, 可行域在圆内,满足题意,则 kOA ≤ ? m ≤ 0 ,解得 0 ≤ m ≤
4 . 3

25.解: (1)作函数 y =| x ? a | 及 y = ? | x | +b 的图象,画出 y ≥| x ? a | 及 y ≤ ? | x | +b 表示的区域,如图.可知, A I B ≠ ? ,则 b ≥ a .

(2) b > a 时,A I B 表示一矩形区域, 当 各边所在直线方程为 x ? y ? a = 0 ,x ? y + b = 0 , x + y ? a = 0 , x + y ? b = 0 ,矩形两边长分别是两平行线间的距离. 即 d1 =
| a+b| 2 , d2 = | a ?b| 2

,所以 S矩形 = d1 d 2 =

| a 2 ? b 2 | b2 ? a 2 = . 2 2

11

当 b = a 时,面积 S = 0 .综上,所求面积 S = (b 2 ? a 2 ) . 26.解: (1)分别画出不等式 y ≥
1 | x ? 2 | 和 y ≤ ? | x | +b 所表示的平面区域,如图. 2

1 2

因为 A I B ≠ ? ,由图可知, b ≥ 1 ,所以 b 的取值范围是 [1, +∞) . (2)平移直线 x + 2 y = 0 ,当这条直线经过点 (0, b) 时, x + 2 y 取得最大值. 所以 0 + 2b = 8 ,所以 b = 4 . 27. 由 f ( x) = ax 2 ? 2 x ? 2a 为二次函数, 解: 所以 a ≠ 0 . f ( x) = 0 , 令 因为 ? = 22 ? 4a(?2a ) > 0 , 所以方程有两个不等实数根.设为 x1 < x2 ,则 x1 =
1 1 1 1 ? 2 + 2 < 0, x2 = + 2 + 2 > 0 . a a a a ①若 a > 0 ,则 A = {x | x < x1或x > x2 } .由 A I B ≠ ? 的充要条件得 x2 < 3 , 1 a

即 + 2+

1 6 < 3 ,解这一无理不等式得 a > . 2 a 7 ②若 a < 0 ,则 A = {x | x1 < x < x2 } .由 A I B ≠ ? 的充要条件得 x2 > 1 ,

即 + 2+

1 a

1 > 1 ,解这一无理不等式得 a < ?2 . a2 6 7

综合知所求 a 的取值范围是 (?∞, ?2) U ( , +∞ ) . 28.解: (1)由 f ( x) = x ,得 x 2 + (b ? 1) x + c = 0 ,所以 x1 + x2 = 1 ? b , x1 x2 = c , 所以 ( x2 ? x1 ) 2 = ( x1 + x2 )2 ? 4 x1 x2 = (1 ? b 2 ) ? 4c > 1 ,即 b 2 ? 2b + 1 ? 4c > 1 , 所以 b 2 > 2b + 4c = 2(b + 2c) ,证毕. (2)由 0 < t < x1 ,知 t ? x1 < 0 .又 x2 ? x1 > 1 ,且 x1 + x2 = 1 ? b , 所以 1 + x1 < x2 ,1 + x1 ? x2 < 0,1 + t ? x2 < 1 + x1 ? x2 < 0 , 所以 f (t ) ? f ( x1 ) = t 2 + bt + c ? ( x12 + bx1 + c)
= (t + x1 )(t ? x1 ) + b(t ? x1 ) = (t ? x1 )(t + x1 + b) = (t ? x1 )(t + 1 ? x2 ) > 0 ,

所以 f (t ) > f ( x1 ) . 29.证明:令 F ( x) = f ( x ) ? x = ax 2 + (b ? 1) x + c , 依题意有 F ( x) = a( x ? x1 )( x ? x2 ) , 当 x ∈ (0, x1 ) 时, 因为 x1 < x2 ,所以 ( x ? x1 )( x ? x2 ) > 0 . 又 a > 0 ,所以 F ( x) = a( x ? x1 )( x ? x2 ) > 0 . 即 f ( x) > x .又 x1 ? f ( x) = x1 ? [ F ( x) + x] = x1 ? x ? a ( x ? x1 )( x ? x2 )

12

= ( x1 ? x)[1 + a( x ? x2 )] ,因为 0 < x < x1 < x2 <

1 ,所以 x1 ? x > 0 , ax2 < 1 , a

即 1 + a( x ? x2 ) = 1 + ax ? ax2 > 1 ? ax2 > 0 , 所以 x1 ? f ( x) > 0 ,即 f ( x) < x1 .综上, x < f ( x) < x1 . 30.解:由 ?
? y = kx ?( y + 1) = 3( x ? 1)
2

,知 k 2 x 2 + (2k ? 3) x + 4 = 0 .
3 2 1 且k ≠ 0 . 2

因为 l 与 C 有公共点,且 k ≠ 0 ,所以 ? ≥ 0 ,于是可得 ? ≤ k ≤ 因为点 Q ( x0 , y0 ), P (a, 0) 关于 y = kx 对称,
x0 + a ? y0 ? 2 =k 2 a(1 ? k 2 ) 3 1 ? ,所以 x0 = .而 ? ≤ k ≤ , k ≠ 0 , 所以 ? 2 2 2 1+ k ? y0 = ? 1 ? x0 ? a k ?

所以 x0 =

a(1 ? k 2 ) 3 1 (? ≤ k ≤ , k ≠ 0) . 2 1+ k 2 2 a ?1 9 a(1 ? k 2 ) = 1 ,则 k 2 = ,而 0 ≤ k 2 ≤ , 2 4 a +1 1+ k

当点 Q 在直线 x = 1 上时, 所以 0 <

a ?1 9 13 13 ≤ ,解得 a ≤ ? 或 a > 1 .故实数 a 的取值范围是 (?∞, ? ] U (1, +∞) . a +1 4 5 5

13


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