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2013秋期高中一年级期终质量评估数学试题

2013 年秋期高中一年级期终质量评估 数学试题
第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 4 个选 项中,只有 1 项是符合题目要求的) 1.已知集合 M ={0,1,2,3,4} ,集合 N ={0,2,4} ,则 CM N 为 A.{2,4} 2.函数 f ( x) ?
2

B.{1,3}

C.{0,2,4}

D.{0,1,3}

3x ? lg(3x ? 1) 的定义域是 1? x 1 1 1 1 A. ( ??, ? ) B. ( ? , ) C. ( ? ,1) 3 3 3 3

D. ( ? , ?? )

1 3

3.一个长方体去掉一角的直观图如右图所示。关于它的三视图,下列画 法正确的是

4.已知直线 l1:ax﹣y+a=0,l2: (2a﹣3)x+ay﹣a=0 互相平行,则 a 的值是 A.1 B. ?3 B ? 2,3 ? C.1 或 ?3 C ?1, 2 ? D ? 3, 4 ? D.0 5.函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? 1 在下列区间内一定有零点的是 A (0,1)

6.在同一坐标系中画出函数 y ? log a x , y ? a x , y ? x ? a 的图象,可能正确的是

7.M(x0,y0)为圆 x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a2 与该 圆的位置关系为 A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相切或相交

e2 x ? 1 8.函数 f ( x) ? 的图象 ex
1

A.关于原点对称 C.关于 x 轴对称

B.关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称

9.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A﹣BD﹣C, 如下四个结论中错误的是: A.AC⊥BD; C.AB 与平面 BCD 成 60°的角
2

B.△ACD 是等边三角形; D.AB 与 CD 所成的角为 60°

10.关于 x 的函数 y ? log 1 ? ?ax ? a 2 ? 2a ? 在 [1, ??) 上为减函数, 则实数 a 的取值范 围是 A. ? ??,0 ? B. ? ?1,0 ? C. (0, 2] D. ? ??, ?1?

11.将函数 y=f(2x-1)的图象向右平移 1 个单位后得到曲线 C, 如果曲线 C 与函 数 y=2x 的图象关于直线 y=x 对称,则 f(5)等于 A.-2 B.0 C.2 D.4

12.若直线 l : y ? kx ? 1 被圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 截得的弦最短,则直线 l 的方程 是 A. x ? 0 B. y ? 1 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 f ( x ) ? ?
?log0.5 x ?2
x

( x ? 1) ( x ? 1)

,则 f ( f (4)) ?

.

1 14.当α∈{-1, ,1,3}时,幂函数 y=xα的图像不可能经过__________象限. 2 15.棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 被以 A 为球心,AB 为半径的球所截,则被 截得几何体的表面积为 . 16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且只有四个点到直线 12x -5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)已知集合 A ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1} , B ? {x | 0 ? x ? 1} , 若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。

2

18.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? x (1)求 f ( x) 的解析式; (2)画出 f ( x) 的图象; (3)若方程 f ( x) ? k 有 2 个解,求 k 的范围。 19. (本题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥
DC,∠ABC ? 45° ,DC ? 1,AB ? 2,PA⊥平面 ABCD,PA ? 1。

(1)求证:AB∥平面 PCD; (2)求证:BC⊥平面 PAC; (3)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 M ACD 的体积。

20.(本小题满分 12 分)某地发生特大地震和海啸,使当地的自来水受到了 污染,某部门对水质检测后,决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放 质量为 m 的药剂后,经过 x 天该药剂在水中释放的浓度 y(毫克/升)满足 y=

mf(x), 其中

x ? ?4+2? f(x)=? 6 ? ?x-2?

0<x≤4?

, 当药剂在水中释放的浓度不低于

x>4? ,

4(毫克/升)时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于 4(毫克/升)且不 高于 10(毫克/升)时称为最佳净化. (1)如果投放的药剂质量为 m=4,试问自来水达到有效净化一共可持续几 天? (2)如果投放的药剂质量为 m,为了使在 7 天(从投放药剂算起包括 7 天)之 内的自来水达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量 m 的值.
?3x ? a 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ?1 是定义在 R 上的奇函数, 3 ?3

①求函数解析式;
3

②判断函数在 R 上的单调性并加以证明. 22. (本小题满分 12 分)已知点 P (2, 0) 及圆 C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 4 ? 0 . (Ⅰ)若直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设过 P 直线 l1 与圆 C 交于 M、N 两点,当 MN ? 4 时,求以 MN 为直径的圆 的方程.

4


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