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福建省龙岩市2014届高三毕业班教学质量检查数学文试题含答案

福建省龙岩市 2014 届高三毕业班 3 月教学质量检查

文 科 数 学
全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.
参考公式: 样本数据 x1 , x2 , L , xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? L ? ( xn ? x) 2 ] n

V?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

4 S ? 4? R2 , V ? ? R 3 3
其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题
只有一项是符合题目要求的)

共 60 分)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,

1.设集合 U ? ?1, 2,3, 4,5? , A ? ?2,3,5? ,则 CU A ? A. {5} B. ?1, 4? C. {2, 3} D. {2, 3, 5}

2.复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 z ? z 的值是 A. 0 B.1 C. 2 D. 2

3.已知 ? 为第二象限角, sin ? ?

A.

3 4

B. ?

3 4

4 ,则 tan ? 的值为 5 4 C. 3

D. ?

4 3

4.如右图是一个算法的程序框图,则输出的结果为 A.

开 始

3 2

B.

2 3

i ? 1, S ? 0
i ? 3?
是 否 输出 S 结 束

i ? i ?1

C.

3 4

D.

1 4

5.高三(3)班共有学生 56 人,现根据座号,用系统抽 样的方法,抽取一个容量为 4 的样本.已知 3 号、31 号、45 号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的 座号是 A.15 6.若函数 f ( x ) ? ? A. 0 B.16 C. 17 D. 18

?1, x ? 0 ,则函数 y ? f ( x) ? x 的零点个数是 ? ?1, x ? 0
B. 1 C. 2 D. 3

?x ? 0 ? 7.已知变量 x 、 y 满足约束条件 ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
A.0 B. 1 C. 3 D. 4

8.在△ ABC 中, “ AB ? AC ? 0 ”是“△ ABC 为钝角三角形”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 9.若双曲线 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

uu u r uuu r

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程式 y ? ? 3x ,则双曲线的离心率为 a 2 b2
B. 3 C. 2 D. 5

A. 2

10.向量 a ? ( x, ?1) , b ? ( , 2) ( x ? 0) ,则 a ? b 的最小值是 A. 3 B. 5 C. 3 D. 5

r

r

1 x

r

r

11.函数 f ( x) ?

x2 的图象大致为 ex

A
3 2

B

C

D

12. 已知 f ( x) ? x ? 3x ? m , 在区间 [1,3] 上任取三个数 a, b, c , 均存在以 f (a), f (b), f (c) 为边长的三角形,则 m 的取值范围是 A. m ? 2 B. m ? 4 C. m ? 6 D. m ? 8

第 II 卷(非选择题
2 2 2

共 90 分)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卷的相应位置上) 13.圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C 到抛物线 y ? 4 x 的准线 l 的距离为 .

14.已知圆台的母线长为 2 ,俯视图是半径分别为 1 和 2 的同心圆,则其侧视图的面积 为 .
2 2

15.在区间 (0, 2) 上随机取两个数 a 和 b ,则关于 x 的方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根的概率 为 .

16.在计算机语言中,有一种函数 y ? INT( x) 叫做取整函数(也叫高斯函数) ,它表示不超 过 x 的 最 大 整 数 , 如 INT(0.9) ? 0 , INT(3.14) ? 3 , 已 知

2 & &, 令 ? 0.285714 7


2 bn ? an ? 10an ?1 (n ? 1 且 n ? N ) , 则 b2014 ? an ? I N T ( ? 1n0 b )1, ? a1 , 7

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 对 一 切 正 整 数 n , 点 Pn (n ,Sn )都 在 偶 函 数

f ( x) ? x 2 ? bx 的图象上.

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? 2 ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
n

18. (本小题满分 12 分) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 1 , AA1 ? 2 ,E 、F 分别是棱 B1C1 、

B1 B 的中点, H 在棱 CC1 上,且 AB ? AH .
(Ⅰ)求证: AB ? 平面 AA1C1C ; (Ⅱ)求三棱锥 A1 ? B1 EF 的体积. (第 18 题图)

19. (本小题满分 12 分) 为了解某校学生暑期参加体育锻炼的情况,对某班 M 名学生暑期参加体育锻炼的次数 进行了统计,得到如下的频率分布表与直方图: 组别 1 2 锻炼次数 频数(人) 2 11 频率 0.04 0.22

[2, 6) [6,10)

3 4 5 6

[10,14)
[14,18) [18, 22)

16 15

c
0.30

d
2

e
0.04 1.00

[22, 26]
合计

M

(Ⅰ)求频率分布表中 M 、 c 及频率分布直方图中 f 的值; (Ⅱ)求参加锻炼次数的众数(直接写出答案,不要求计算过程) ; (Ⅲ)从参加锻炼次数不少于 18 次的学生中任选 2 人,求至少一人参加锻炼的次数在 区间 [22, 26] 内的概率.

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin(? x ?

?
3

)(? ? 0, x ? R) 图象的相邻两条对称轴之间的距离为

?.
(Ⅰ)求 ? 的值及 f ( x) 图象的对称中心; (Ⅱ)在 ?ABC 中,若 f ( A) ? 3 ,且 BC ? 3 ,求 ?ABC 面积的最大值.

21. (本小题满分 12 分)

x2 3 2 设椭圆 2 ? y ? 1(a ? 1) 的离心率为 ,过点 Q (1, 0) 任作一条弦交椭圆于 C 、 D 两 a 2
点.

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 P 为直线 x ? 4 上任意一点,k PC , k PQ , k PD 分别为直线 PC , PQ, PD 的斜率. 是 否存在实数 ? , 使 kP C ?k P D

?? k P Q

恒成立?若存在, 求出 ? 的值; 若不存在, 请说明理由.

(第 21 题图) 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1(a ? R) . x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在点 (1, ?2) 处的切线方程;

1 时,讨论 f ( x) 的单调性; 2 1? a ( Ⅲ ) 设 g ( x) ? f ( x) ? ? 1 , 在 函 数 g ( x) 的 图 象 上 取 两 定 点 A( x1 , g ( x1 )) , x
(Ⅱ)当 a ?

B( x2 , g ( x2 )) ( x1 ? x2 ) ,设直线 AB 的斜率为 k ,证明:存在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使 g ( ' x0 ) ?k 成
立.

福建省龙岩市 2014 届高三毕业班 3 月教学质量检查

文科数学答案
一、选择题:1-5.BDDBC 6-10. CAACB 11-12.AD 15. 二、填空题: 13. 2 14. 3

1 2

16. 7

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分 12 分) 考查意图:本小题主要考查偶函数的性质、数列通项公式的求法及数列前 n 项和求法中 的分组求和、 公式求和法, 考查了学生运算求解能力和函数与方程思想、 分类与整合思想等. 解: (Ⅰ)∵函数 f ( x) ? x ? bx 是偶函数,∴ b ? 0 ???????????????2 分
2

∴ f ( x) ? x

2

2 ∵点 Pn (n, Sn ) 在函数 f ( x) ? x 的图象上,∴ S n ? n ??????????????3 分
2

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n ? (n ? 1) ? 2n ? 1 ???????????????4 分
2 2

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 也符合上式 ?????????????????????5 分 所以 an ? 2n ? 1
n n

??????????????????????????6 分

(Ⅱ) bn ? 2 ? an ? 2 ? 2n ? 1

2(1? 2n ) (1? 2 n ? 1) n 所以 Tn ? ? ? 2n ?1 ? 2 ? n 2 ? 2n ? 1 ? n 2 ? 2 ????????? 12 1? 2 2
分 18. (本小题满分 12 分) 考查意图:本小题主要考查直线和直线、直线和平面的垂直关系、几何体的体积等基础 知识,考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力,考查了数形结合和化归与转化 的数学思想方法.满分 12 分. (Ⅰ)证明:∵在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC ∴ AA1 ? AB ,即 AB ? AA1 ???????????????????????2 分 又∵ AB ? AH , AA1 ? AH ? A ,∴ AB ? 平面 AA1C1C ??????????5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: ?B1 A1C1 ? 90? ∵ AB ? AC ? 1 , BB1 ? 2 ,∴ S?A1B1C1 ?
A1 A F B C

1 1 ? 1? 1 ? 2 2
E C1

B1

∵ E 、 F 分别是棱 B1C1 、 B1 B 的中点, BB1 ? 2 , ∴ S ?A1B1E ?

H

1 1 S?A1B1C1 ? , B1 F ? 1 ??????????????????8 分 2 4

又∵ BB1 ? 平面 A1 B1C1 ,∴ VA1 ? B1EF ? VF ? A1B1E ? ∴三棱锥 A1 ? B1 EF 的体积为 19. (本小题满分 12 分)

1 1 1 1 S?A1B1E ? B1F ? ? ?1 ? 3 3 4 12

1 ????????????????????12 分 12

考查意图:本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图、众数及中位数、概率等相关基础 知识,考查运算求解能力、推理能力,考查了函数与方程、数形结合、转化与化归、必然与 或然的数学思想方法.满分 12 分. 解 : ( I )

?

2 ? 0.04,? M ? 50 M
?d ? 4


???????????????????????1 分

? 2 ?11 ?16 ?15 ? d ? 2 ? M

∵ ???????????????????????3 分

c?

16 ? 0.32 50


f ?

0.32 ? 0.08 4


???????????????????????4 分 II ) 众 数 为

12

???????????????????????6 分 (III)参加次数不少于 18 次的学生共有: d ? 2 ? 6 人 设在 [18, 22) 内的 4 人为:A、B、C、D,在 [22, 26) 内的 2 人为 m 、 n ,在这 6 人 中 任取 2 人共有:AB、AC、AD、A m 、A n 、BC、BD、B m 、B n 、CD、C m 、C n 、 D m 、D n 、 m n 共 15 种,

??????????????8 分

其中至少一人参加锻炼的次数在区间 [22, 26) 内 A m 、A n 、B m 、B n 、C m 、 C 种.

n



D

m



D

n



m

n



9

???????????????????????10 分

?P ?

9 3 ? 15 5
3 5
???????????????????????12 分

答:所求的概率为

20. (本小题满分 12 分) 考查意图:本小题主要考查三角函数的图像及性质、解三角形、重要不等式等基础知识, 考查运算求解能力、推理论证能力,考查了数形结合、函数与方程和化归与转化的数学思想 方法.满分 12 分. (Ⅰ)解:依题意, f ( x) 的周期为 2? , 则? ? ??????????????????1 分

2? ?1 T

??????????????????????????????2 分

∴ f ( x) ? 2 3 sin( x ? 令x? 分

?
3

)

?
3

? k? ,得 x ? k? ?

?
3

,k?Z

???????????????????? 4

∴ f ( x) 的对称中心为 (k? ? 分

?
3

, 0), k ? Z

??????????????????5

(Ⅱ) (法一)在 ?ABC 中,由 f ( A) ? 2 3 sin( A ?

?

? 3 ) ? 3 ,得 sin( A ? ) ? 3 2 3
??????????????6

? 0 ? A ? ? ,? A ?
分 由正弦定理

?
3

a b c 得 ? ? sin A sin B sin C

b?

a sin B 3 sin B a sin C 3 sin C ? ? 2sin B , c ? ? ? 2sin C ??????7 分 sin A sin A 3 3 2 2
1 3 bc sin A ? bc 2 4
??????????????8 分

∴ ?ABC 的面积为 S ?ABC ?

?

3 2? ? 2sin B ? 2sin C ? 3 sin B sin C ? 3 sin B sin( ? B) 4 3 3 1 3 3 2 cos B ? sin B) ? sin B cos B ? sin B 2 2 2 2

? 3 sin B(

3 3 1 ? cos 2 B 3 3 3 ? sin 2 B ? ? ? sin 2 B ? cos 2 B ? 4 2 2 4 4 4

?

3 3 1 3 3 ? 3 ??11 分 ( sin 2 B ? cos 2 B) ? ? sin(2 B ? ) ? 2 2 2 4 2 6 4

∵0 ? B ?

3 3 ? 2? ? ? 7? ,∴ ? ? 2 B ? ? ,∴当 B ? 时, ( S ?ABC ) max ? 4 3 3 6 6 6
3 3 .????????????????12 分 4

∴ ?ABC 的面积的最大值为

(法二)在 ?ABC 中,由 f ( A) ? 2 3 sin( A ?

?

? 3 ) ? 3 ,得 sin( A ? ) ? 3 2 3
??????????????6 分

? 0 ? A ? ? ,? A ?
2 2

?
3
2

由余弦定理得 b ? c ? ( 3) ? 2bc cos
2 2

?
3

,??????????????7 分

∴ b ? c ? bc ? 3 ??????????????????????????8 分 ∵ b ? c ? 2bc (当且仅当 b ? c 时,等号成立)
2 2

∴ bc ? 3 ? 2bc ,∴ bc ? 3 ??????????????????????10 分 ∴ S?ABC ?

1 1 ? 3 bc sin A ? bc ? sin ? bc 2 2 3 4

???????????11 分

?

3 3 (当且仅当 b ? c 时等号成立) 4
3 3 .????????????????????12 分 4

∴ ?ABC 的面积的最大值为 21. (本小题满分 12 分)

命题意图:本题主要考查椭圆的有关计算、性质以及探究性问题的解法,考查运算求解能 力及数形结合和化归与转化思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ)依题意, c ?

a 2 ? 1, e ?

a2 ?1 3 2 ? ,∴ a ? 4 a 2

x2 ? y 2 ? 1 .??????????????????????4 分 ∴椭圆方程为 4
(Ⅱ) (法一)∵点 P 在直线 x ? 4 上,∴可设点 P (4, n)

①当直线 CD 垂直于 x 轴时,可求 C (1,

3 3 ), D(1, ? ) 2 2

∴ k PC ? k PD

3 3 n? 2 ? 2 ? 2n , k ? n ? 0 ? n ? PQ 4 ?1 4 ?1 3 4 ?1 3 n?

∴ kPC ? kPD ? 2kPQ ,此时 ? ? 2 ??????????????????????6 分 ②当直线 CD 的斜率存在时,设斜率为 k ,则直线 CD 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入椭圆

方程

x2 ? y 2 ? 1 ,整理得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 4
8k 2 4k 2 ? 4 , ??????????7 分 x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

设 C ( x1 , y1 ) , D ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

∴ k PC ? k PD ?

n ? y1 n ? y2 n ? k ( x1 ? 1) n ? k ( x2 ? 1) ? ? ? 4 ? x1 4 ? x2 4 ? x1 4 ? x2

?

8(n ? k ) ? (n ? k )( x1 ? x2 ) ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 2kx1 x2 8(n ? k ) ? (n ? 5k )( x1 ? x2 ) ? 2kx1 x2 ? (4 ? x1 )(4 ? x2 ) 16 ? 4( x1 ? x2 ) ? x1 x2

?

8(n ? k ) ? (n ? 5k ) ?

8k 2 4k 2 ? 4 ? 2 k ? 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? 8n ? 24nk ? 8n(1 ? 3k ) ? 2n ? ? ? 10 8k 2 4k 2 ? 4 12 ? 36k 2 12(1 ? 3k 2 ) 3 16 ? 4 ? ? 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2



k PQ ?

n?0 1 ? n 4 ?1 3

∴ kPC ? kPD ? 2kPQ ,∴ ? ? 2 ????????????????????????11 分 综上知,存在实数 ? ? 2 ,使 k PC ? k PD ? 2k PQ 恒成立。????????????12 分 (法二)设过点 Q (1, 0) 的直线方程为 x ? my ? 1 ,????????????????5 分

x2 ? y 2 ? 1 ,整理得 (m2 ? 4) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 ????????6 分 代入椭圆方程 4
设 C ( x1 , y1 ) , D ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ?

2m 3 , y1 y2 ? ? 2 ????????7 分 2 m ?4 m ?4

设点 P (4, n) , 则 k PC ? k PD ?

n ? y1 n ? y2 n ? y1 n ? y2 6n ? (mn ? 3)( y1 ? y2 ) ? 2my1 y2 ? ? ? ? 4 ? x1 4 ? x2 3 ? my1 3 ? my2 9 ? 3m( y1 ? y2 ) ? m2 y1 y2

(mn ? 3) ? 2m 6m ? 2 2 2 2 2 m ?4 m ? 4 ? 6nm ? 24n ? 2m n ? 6m ? 6m ? 8m n ? 24n ? 2m 3m2 9m2 ? 36 ? 6m2 ? 3m2 12m2 ? 36 9 ? 3m ? 2 ? m ? 4 m2 ? 4 6n ?
?
又∵ k PQ ?

8n(m 2 ? 3) 2n ? 12(m 2 ? 3) 3

??????????????????????10 分

n?0 1 ? n ,??????????????????????????11 分 4 ?1 3

∴存在 ? ? 2 ,使 k PC ? k PD ? 2 k PQ 恒成立.????????????????? 12 分 22. (本小题满分 14 分) 考查意图:本小题主要考查函数导数的几何意义、函数的单调性与极值、最值等基础知 识,考查运算求解能力、推理论证能力、分析问题解决问题的能力,考查了分类讨论、数形 结合、函数与方程、化归转化的数学思想方法.满分 14 分. ( Ⅰ ) 当

a ?1





f(

? x)

?l x n ? x,

1

f '( x) ?

1 ? 1 ??????????????????1 分 x

∵点 (1, ?2) 在函数图象上 ∴ 在 点

( ?

1

的 ,

切 2

线 )







k ? f '(1) ? 0
∴ 所

????????????????????2 分 求 切 线 方 程 为

y ? ?2 .
(Ⅱ)∵ f ( x) ? ln x ? ax ? ∴

????????????????????3 分

1? a ? 1(a ? R) x

f '( x) ?

1 1? a ax 2 ? x ? 1 ? a ?a? 2 ? ? , x ? (0, ??) x x x2

???????? 4

分 令 h( x) ? ax ? x ? 1 ? a, x ? (0, ??)
2

1 时 , 由 f ' x (? ) , 0 则 ax2 ? x ? 1 ? a ? 0 , 解 得 2 1 x1 ? 1, x2 ? ? 1 ????????5 分 a 1 ① 当 a ? 时, x1 ? x2 , h( x) ? 0 恒成立,此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上 2


a?

单调递减; ?????? ??6 分 ②当

1 1 ? a ? 1 时, 0 ? ? 1 ? 1 2 a 1 x ? (0, ? 1) 时, h( x) ? 0 ,此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; a 1 x ? ( ? 1,1) 时, h( x) ? 0 ,此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; a
x ? (1, ??) 时 , h( x ? )
, 此 时 f' x 0 ( ?) , 0 函 数 f ( x) 单 调 递

减;

????????7 分

③当 a ? 1 时,由于

1 ?1 ? 0 a

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减;
综上所述:

1 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减; 2 1 1 1 当 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 在 (0, ? 1) 单调递减,在 ( ? 1,1) 单调递增,在 (1, ??) 上 2 a a
当a ? 单调递减; 当 a ?1 时 , 函 数 减. ( Ⅲ

f ( x) 在 (0,1) 单 调 递 增 , 在 (1, ??) 单 调 递

????????9 分 ) 由 已 知 得

g ( x) ? ln x ? ax



k?

g ( x2 ) ? g ( x1 ) ln x2 ? ln x1 ? ?a x2 ? x1 x2 ? x1
令 ? ( x) ? g '( x) ? k ?

??????10 分

1 ln x2 ? ln x1 , ? x x2 ? x1

则 ? ( x1 ) ?

x x 1 ln x2 ? ln x1 1 ? ? ( 2 ? 1 ? ln 2 ) x1 x2 ? x1 x2 ? x1 x1 x1
??????????

? ( x2 ) ?
??12 分

x x 1 ln x2 ? ln x1 1 ? ?? ( 1 ? 1 ? ln 1 ) x2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 x2

令 F (t ) ? t ? 1 ? ln t ,则 F '(t ) ? 1 ? ?

1 t

t ?1 (t ? 0) t

当 0 ? t ? 1 时, F '(t ) ? 0 , F (t ) 单调递减; 当 t ? 1 时, F '(t ) ? 0 , F (t ) 单调递增 故 当

t ?1





F( ?

t) ?

F, (

1即

)

0

t ?1 ?

t? l

?????????????? 13 分 n 0

从而

x2 x x x ? 1 ? ln 2 ? 0 , 1 ? 1 ? ln 1 ? 0 ,所以 ? ( x1 ) ? 0 , ? ( x2 ) ? 0 x1 x1 x2 x2

因为函数 ? ( x) 在区间 ? x1 , x2 ? 上的图象是连续不断的一条曲线, 所以存在 x0 ? ( x1 , x2 ) , 使 立.

? ( x0 ) ? 0







f '( x0 ) ? k



?????????????????????14 分


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