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上海市虹口区2015届高三第三次模拟考试数学理试卷 Word版无答案]


2015 年虹口区第三次模拟考试(理科试卷)
满分 150 分,时间 120 分钟 2015.05.19 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共 14 题,只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果,每个空格填 对得 4 分,否则一律得零分. 1.若 A ? a , a
2

14.关于曲线 C :

1 1 ? ? 1 ,有如下结论: x2 y 2

①曲线 C 关于原点对称; ②曲线 C 关于直线 x ? y ? 0 对称; ③曲线 C 是封闭图形,且封闭图形的面积大于 2? ; ④曲线 C 不是封闭图形,且它与圆 x ? y ? 2 无公共点; ⑤曲线 C 与曲线 D : x ? y ? 2 2 有 4 个交点,这 4 点构成正方形. 其中所有正确结论的序号为__________. 二、选择题(本题共 4 题,满分 20 分)每题只有一个正确答案,考生在答题纸的相应题号上,将所选答案的代 号涂黑,选对得 5 分,否则一律零分. 15.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取
2 2

?

2

?, B ? ?0, 2, 4?,且 A ? B ,则实数 a 的值为_________.

2.不等式

x ?2 ? 0 的解集为_________. x
? 2 ? 3i
6

3.已知

z 1 i 2

2015

( i 为虚数单位) ,则复数 z 的值为_______.

开始 n ? 1, S ? 0
n ? 2015?

4. ? x ?

? ?

1 ? ? 展开式的常数项为___________. x?


输出S 结束

样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是 p1 、 p2 、 p3 ,则( A. p1 ? p2 ? p3 B. p3 ? p2 ? p1 C. p1 ? p3 ? p2

) D. p1 ? p2 ? p3

5.已知数列 1, a1, a2 ,9 是等差数列,数列 1, b1, b2 , b3 ,9 是等比数列, 则



a1 ? a2 的值为_______. b2

S ? S ? sin
n ? n ?1

n? 4

16.对于函数 f ? x ? ,若存在 a ? 0 ,使得 x 取定义域内的每一个值,都有 f ? x ? ? f ? 2a ? x ? ,则称 f ? x ? 为准偶函数, 下列函数是准偶函数的是( A. f ? x ? ? cos ? x ? 1? ) C. f ? x ? ? tan x D. f ? x ? ? x3

6.一个算法的程序框图如右,则其输出结果为_________. 7.随机投掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之积为 6 的倍数的概率为_________. 8. 设 函 数 f ? x ? ? loga ? x ? b?? a ? 0, a ? 1? 的 图 象 过 点 ? 2, 1 ? , 其 反 函 数 的 图 象 过 点 ? 2,8? , 则 a ? b 等 于 _________. 9.已知向量 m ? ?1,cos ? x ? , n ? ?sin ? x, ?1??? ? 0? ,函数 f ? x ? ? m ? n ,且 f ? x ? 图象上一个最高点的坐标为

B. f ? x ? ? x

17. 点 A, B, C , D 是 半 径 为 1 的 球 面 上 的 四 个 点 , 线 段 AB, AC , AD 两 两 垂 直 , 若 用 S1 , S 2, S 3 分 别 表 示
?ABC , ?ABD, ?ACD 的面积,则 S1 ? S2 ? S3 的最大值为(



D
O C

A.

? 3? ? ? ? ? ? ,2 ? ,与之相邻的一个最低点的坐标为 ? ? ,- 2 ? ,则 f ? x ? 的解析式为__________. ? 8 ? ? 8 ?
10.如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的 3 倍,那么圆锥侧面积和球面积的比为___________. 11.在极坐标系中,若直线 ? sin ? ? ?

1 2

B.2

C.4

D.8

? ?

??

B 2 y 18.已知 F1 , F2 是双曲线 C : x2 ? 2 ? 1? b ? 0? 的两个焦点, P 是双曲线 C 左支上的一点且 PF1 ? PF2 , PF2 与两渐近 b y M , N 线相交于 两点(如图) ,
若点 N 恰好平分线段 PF2 ,则双曲线 C 的焦距为( A. 2 2 B. 2 3 C. 2 5 D.4
F1
O

A

? ? a 被圆 ? ? 2 截得的弦长为 2 3 ,则实数 a ? __________. 4?



12. 已知 a , b 为平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 c ? a ? ? c ? b ? ? ? R? ,则 c 的最小值为 _________. 13.关于 x 的实系数一元二次方程 x ? px ? 3 ? 0 的两个虚根为 z1 、 z2 ,若 z1 、 z2 在复平面上对应的点是经过原 点的椭圆的两个焦点,则该椭圆的长轴长为_______.
2

?

?

P

M
N

F2 x

三、解答题(本大题共 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须 在答题纸的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分. 如图,在所有棱长为 2 的正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D 为 A1C1 的中点,求 (1)直线 AD 与平面 B1 DC 所成角的大小;
A1

22.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分. 定 义 非 零 向 量 OM ? ? a, b ? 的 “ 相 伴 函 数 ” 为 f ? x? ? a ( x?R ) , 向 量 OM ? ? a, b ? 称 为 函 数 sin x ? bc o s x (其中 O 为坐标原点) ,记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 S . f ? x ? ? a sin x ? b cos x 的“相伴向量”
C1 B1

D

(1)已知点 M ? a, b ? 满足 a ? 2b ? 5 ? 0 ,求向量 OM 的模的最小值;

(2)点 A 到平面 B1 DC 的距离.

?? ? (2)设 h ? x ? ? cos ? x ? ? ? 2 cos ? x ? a ? ( a ? R ) ,求证: h ? x ? ? S ,并求函数 h ? x ? 的“相伴向量”模的取值范 6? ? 围;
(3)已知点 M ? a, b ? ( b ? 0 )满足 a ? 3

C

?

?

2

? ? b ? 1? ? 1 ,向量 OM 的“相伴函数” f ? x ? 在 x ? x0 处取得最大值,
2

A
20.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分. ?? ? ?? ? ? 已知函数 f ? x ? ? 2sin 2 ? x ? ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . 4? ? ?4 2? (1)求函数 f ? x ? 的最大值与最小值;
?? ? ? (2)若不等式 f ? x ? ? m ? 2 在 x ? ? , ? 恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?

B
当 M 点运动时,求 tan 2 x0 的取值范围.

23.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 7 分. 某 情 报 部 门 获 取 一 些 信 息 密 码 需 要 破 译 , 密 码 可 以 看 成 一 个 数 列 , 记 为 ?an ? , 并 且 满 足 a1 ? 1 ,

6Sn ? ? an ? 1?? an ? 2? ? n ? N* ? ,其中 Sn 表示该数列的前 n 项和.
21.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 已知抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F . (1)点 A, F 满足 AP ? 2 AF ,当点 A 在抛物线上运动时,求动点 P 的轨迹方程; (2)在 x 轴上是否存在点 Q ,使得点 Q 关于直线 y ? 2 x 的对称点在抛物线 C 上?如果存在,求出所有满足条件 的点 Q 的坐标,若不存在,请说明理由. 由数列的前 10 项组成,且 S10 ? 100 ,试问组成的密码是否唯一确定?并说明理由. (1)求出 a1 的值,对任意的 n ? N* ,写出 an ?1 与 a n 的关系的各种表达式; (2)有一条密码可由数列 ?an ? 的前 100 项组成,试问共可组成多少条不同的密码,为什么?(3)若一条密码可


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