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2018 年重庆一中高 2018 级高三下期五月月考理科数学

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2018 年重庆一中高 2018 级高三下期五月月考

数 学 试 题 卷(理科)

2018.5

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? {x ? 4 ? x ? 4} , B ? {x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B ? ( (A) (?3,1) (B) ( ?1,3) (C) [ ?4,?3) ? (1,4] )

(D) [ ?4,?1) ? (3,4] )象限.

2.已知 i 为虚数单位,则复数 (A)一 (B)二

2?i 对应复平面上的点在第( 1? i
(C)三

3.已知平面向量 a ? b ? 2 ,且 ( 2a ? b ) ? b ,则向量 a , b 的夹角为( (A)

?

?

?

?

?

?

(D)四

?



5? 6

(B)

2? 3

(C)

? 3

(D)

? 6


4.已知 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项之和,若 S 5 ? 30 ,则 a2 ? a4 ? ( (A)3 (B)6 (C)9 (D)12

5.若将函数 f ( x ) ?

1 ? cos 2 x 的图像向左平移 个单位长度,则平移后图像的 2 6


一个对称中心可以为( (A) (

? ,0 ) 12

(B) (

? ,0 ) 6

( C) (

? ,0 ) 3

(D) (

? ,0 ) 2

6.如图,网格纸上的小正方形边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积为( ) (A) 5 7.已知 a ? 1.9
0.4

(B)

13 2

(C) 7

( D)

15 2

, b ? log0.41.9 , c ? 0.41.9 ,则(
(B) b ? c ? a

) (D) c ? a ? b

(A) a ? b ? c

(C) a ? c ? b

8.在 ?ABC 中,点 D 为边 BC 的中点,点 E 为边 AC 上任意一点,则 ?ABC 的面积不大于 ?CDE 的面积的 6 倍的 概率为( ) (A)

1 6

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

5 6

9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说: “我没有获奖” ,乙说: “是丙获奖” ,丙说: “是丁获奖” ,丁说: “我没有获奖” .在以上问题中只有一人回答正确,根据以上的判断,获 奖的歌手是( (A)甲 ) (B)乙 (C)丙 (D)丁

1

10.我国南宋时期的数学家秦九韶是普州(现四川省安岳县)人,秦九韶在所著的《数书九章》中提出的多项式求 值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,其算法如下:多项 式函数 f ( x ) ? an x ? an ?1 x
n n ?1

? ? ? a1 x ? a0 写为

开始

f ( x) ? (an x n ?1 ? an ?1 x n ? 2 ? ? ? a1 ) x ? a0 ? (( an x
n?2

? an ?1 x

n ?3

? ? ? a2 ) ? a1 ) x ? a0 ? ???

输入: a0 , a1 , a2 , a3 , a4 及 x0

? ((( an x ? an ?1 ) x ? an ? 2 ) x ? ?? ? a1 ) x ? a0 ,即可用如图所示
的程序框图来求某多项式的值.若输入

S ? 0, i ? 0


a0 ? 1, a1 ? 4, a2 ? 6, a3 ? 4, a4 ? 1 及 x0 ,运行程序可以输出

i ? 4?


16 ,则 x0 的值为(
(A) ? 3

) (C) 1 (D) 2 或 ? 2
输出 S

(B) 1 或 ? 3
2

S ? x0 ? S ? a4?i

11.如图,F 为抛物线 x ? 2 y 的焦点,直线 y ? kx ? 3( k ? 0) 与 抛物线相交于 A, B 两点,若四边形 AOFB 的面积为 7 ,则 k ? ( )
结束

i ? i ?1

(A)

1 2

(B)

3 2

(C)

29 30

(D)

3 14 2

12.已知关于 x 的方程为

( x 2 ? 3) 2 ? 12e x ? 2 ? m( x 2 ? 3) (其中 m ? R ) ,则此方 ex
(C)3 (D)3 或 4

程实根的个数为( ) (A)2 (B)2 或 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的方程为 y ? 2 x ,则其离心率为__________. a 2 b2

?x? y?2?0 ? 14.已知实数 x, y 满足条件 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ,函数 z ? 3 x ? 2 y 的最小值为__________. ?x? y?4?0 ?
15.高三即将毕业之际,5 名学生邀请两位老师站成一排合影留念,则两位老师不相邻且都不站在两端的方法种数为

__________.
16.已知 S n 为正项数列 {an } 的前 n 项和, 2 S n ? an ? 值为__________.
2

T ?5 1 2 的最小 (n ? N ? ) ,记数列 {Sn } 的前 n 项和为 Tn ,则 n 5n an

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,向量 m ? ( a, cos A) , n ? (3b ? c, cos C ) ,且满足 m / / n . (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)若边 BC 上的高为 2 2 ,且 ?ABC 的面积为 2 ,求 b ? c .

??

?

??

?

18.如图, 边长为 3 的正方形 ABCD 所在的平面与等腰直角三角形 ABE 所在 的平面互相垂直, AE ? AB ,设 EM ? 2 MD , AB ? 3 AN . (Ⅰ)求证: MN / / 平面 BEC ; (Ⅱ)求二面角 E ? MC ? B 的余弦值.

???? ?

???? ?

??? ?

????

19.随着支付宝、微信等支付方式的上线,越来越多的商业场景可以实现手机支付.为了解各年龄层的人使用手机 支付的情况,随机调查了 50 个人,并把调查结果制成下表: 年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75)

人数 使用手机支付

5 2

10 8

15 10

10 6

5 2

5 0

(Ⅰ)把年龄在[15,45)称为中青年,年龄在[45,75)称为中老年,请根据上表完成 2×2 列联表,是否有 95% 以 上的把握判断使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有关联? 使用手机支付 中青年 中老年 总计 (Ⅱ)若分别从年龄在[15,25)、[55,65)的被调查者中各随机选取 2 人进行调查,记选中的 4 人中使用手机支 付的人数记为 ? ,求 E? . 附:可能用到的公式: k ? 独立性检验临界值表:
2

未使用手机支付

总计

n(ad ? bc)2 ,n ? a ? b ? c ? d ; (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879

P (k 2 ? m)

0.100 2.706

m

3

20.已知过椭圆 C :

x2 y2 椭圆 C ? 2 ? 1 的右焦点 F 作直线 l 与圆 O :x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切于点 M , FM ? 1 , 4 b

上的点与圆 O 上的点的最小距离为 2 ? 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线与椭圆 C 交于 P, Q 两点,若点 ( ? 2, 0) 不在以 PQ 为直径的圆的内部,求 ?OPQ 的面积的 取值范围.

21.已知函数 f ( x ) ? ( x ? 2 x ) ln x ?

1 2

2

3 2 x ? (a ? 1) x ? 1 . 4

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 (1, ?? ) 为增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 ?1 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) 在 (1, ?? ) 上的最小值为 g ( a ) ,求 g ( a ) 的值域.

选做题(请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分) 22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x?t ( t 为参数, m ? R ) ,以原点 O 为极点, x 轴的非负 ?y ? m ?t
2

半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ?

3 ? 0 ? ? ? ?? . 3 ? 2cos 2?

(Ⅰ)写出曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)已知点 P 是曲线 C2 上一点,若点 P 到曲线 C1 的最小距离为 2 2 ,求 m 的值. 23.已知函数 f ( x) ? 2 x ? x ? 3 . (Ⅰ)求不等式 f ( x ) ? ?4 x ? 3 的解集 A ; (Ⅱ)设 a, b, c ? A ,集合 B ? {x ? A f ( x) ? 6} 中的最小元素为 p ,若 abc ? p ,求证:

a? b? c?

3p 1 1 1 ( ? ? ). 3 a b c

命题人:张志华 审题人:杨明飞,邹发明

4

2018 年重庆一中高 2018 级高三下期第五月月考

数 学 试 题 卷(理科) (参考答案)
选择 答案 填空 答案 1 C 2 D 13 3 B 4 D 5 A 14 -7 6 C 7 C 8 C 15 1440 9 A 10 B 11 A 16 12 C

5 ?? ?

11 15

17.【解析】 (Ⅰ) m / / n ? a cos C ? (3b ? c ) cos A ……2 分

? sin A cos C ? (3sin B ? sin C ) cos A 即 sin A cos C ? cos A sin C ? 3sin B cos A ,即 sin( A ? C ) ? 3sin B cos A ……4 分 1 所以 sin B ? 3sin B cos A ,所以 cos A ? ……6 分 3 2 2 1 1 (Ⅱ)由 cos A ? ? sin A ? 由 S ?ABC ? a ? 2 2 ? 2 ? a ? 1. ……8 分 . ……7 分 3 2 3 1 再由 S ?ABC ? bc sin A ? 2 ? bc ? 3. ……10 分 2
由余弦定理: 1 ? b ? c ? 2bc ?
2 2 2

1 3

即1 ? (b ? c) ?

2

8 bc ? b ? c ? 3 ……12 分 3

18.【解析】 (Ⅰ) 证明:过 M 作 MF // DC 交 CE 于 F ,连接 MF , BF . 因为

2 MF // DC , EM ? 2 MD ,所以 MF // DC . ……2 分 3 2 又 AB ? 3 AN ,所以 NB // DC. 故 MF // NB ,……4 分 3 所以四边形 NBFM 为平行四边形,故 MN / / BF ,……5 分
而 BF ? 平面 BEC , MN ? 平面 BEC ,所以 MN / / 平面 BEC .……6 分 (Ⅱ)以 A 为原点, AE , AB, AD 为 x 轴, y 轴, z 轴正方向,建立空间直角坐标系,则

E (3,0,0), B (0,3,0), C (0,3,3), M (1,0,2) ,……7 分

故 MC ? ( ?1,3,1), EC ? ( ?3,3,3) ,设面 EMC 的一个法向量为 n ? ( x, y , z ) ,则 ? 个法向量为 n ? (1,0,1). ……8 分 又 MC ? ( ?1,3,1), BC ? (0,0,3) , 设面 BMC 的一个法向量为 m ? ( x, y , z ) , 则? 法向量为 m ? (3,1,0). ……10 分
5

?? x ? 3 y ? z ? 0 ? 面 EMC 的一 ??x? y?z ?0

?? x ? 3 y ? z ? 0 ? 面 BMC 的一个 z?0 ?

故 cos ? ?

n?m nm

?

3 5 3 3 5 . ……12 分 ? . 从而求二面角 E ? MC ? B 的余弦值为 10 10 2 ? 10

19.【解析】 (Ⅰ)2×2 列联表如图所示 手机支付 中青年 中老年 总计 ……3 分 20 8 28 未使用手机支付 10 12 22 总计 30 20 50

k2 ?

50 ? (20 ? 12 ? 8 ? 10) 2 50 ? 100 ? (24 ? 8) 2 50 ? 16 800 ? ? ? ? 3.463? 3.841 20 ? 30 ? 28 ? 22 20 ? 30 ? 4 ? 7 ? 2 ? 11 3 ? 7 ? 11 231

没有 95% 以上的把握判断使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有关联……6 分 (Ⅱ) ? 的取值为 0,1,2,3,4…………………7 分 则有:

P (? ? 0) ?

C32 C32 9 ? 2 ? , 2 C5 C5 100

P (? ? 1) ?

1 1 C2 C3 C32 36 ? 2 ?2 ? , 2 C5 C5 100 1 1 2 C2 C3 C 2 12 P (? ? 3) ? ? 2 ?2 ? , 2 C5 C5 100

1 1 1 1 2 C32 C2 C3 C 2 C C2 42 P (? ? 2) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 ? , C5 C5 C5 C5 100 2 C 2 C2 1 P (? ? 4) ? 2 ? ? 2 2 C5 C5 100

…………………10 分

从而 ? 的分布列为:

?
P


0

1

2

3

4

9 100 E? ?

36 100

42 100

12 100

1 100

0 ? 9 ? 1? 36 ? 2 ? 42 ? 3 ? 12 ? 4 ? 1 8 ………………12 分 ? . 100 5
2 2

20.【解析】(Ⅰ) FM ? 1 ? c ? r ? 1 ……1 分 解之可得: r ? 1, b ? 则椭圆 C 的方程为

又b ? r ?

2 ?1,

b2 ? c 2 ? 4 ……2 分

2, c ? 2. ……3 分

x2 y2 ? ? 1 ……4 分 4 2

6

(Ⅱ)①若 PQ 的斜率不存在时,则可知 PQ 为 x ?

2 ,由对称性,不妨取 P ( 2,1),Q ( 2, ?1) ,此时 PQ ? 2 ,

S ?OPQ ? 2. ……5 分
②若 PQ 的斜率存在时,则可设直线 PQ 为 y ? k ( x ? 2) ,设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 联立椭圆 C 方程 .

x2 y2 ? ? 1 可得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4 2k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0. 4 2

? 4 2k 2 x ?x ? ? ? 1 2 1 ? 2k 2 2 则 ? ? 16( k ? 1) ? 0, ? ……7 分 2 4 k ? 4 (*) ? xx ? ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
又点 F1 ( ? 2, 0) 不在以 PQ 为直径的圆的内部 ? F1 P ? F1Q ? 0 ? ( x1 ? 2 )( x2 ? 2 ) ? y1 y 2 ? 0 , 即 (1 ? k ) x1 x2 ? 2(1 ? k )( x1 ? x2 ) ? 2(1 ? k ) ? 0.
2 2 2

将(*)代入上式,化简整理得 k ? 又点 O 到 PQ 的距离 d ?

2

1 . ……9 分 7

PQ ? 1 ? k 2 ?

? 4 k 2 ? 1 4( k 2 ? 1) ? 1? k 2 ? ? . a 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

2k 1? k 2

.

S ?POQ

1 1 k 2 (k 2 ? 1) 1 8 4 ? PQ ? d ? 2 2 ?2 2 ? ? [ , 2). ……11 分 2 2 2 2 2 (2k ? 1) 4 (2k ? 1) 9 8 9

综上, S ?OPQ ? [ , 2 ]. ……12 分

21.【解析】(Ⅰ) f ?( x ) ? ( x ? 2) ln x ? 2 x ? a ? 3 ? 0 ? ( x ? 2) ln x ? 2 x ? 3 ? a 在 (1, ?? ) 上恒成立,……2 分

3x ? 2 ? 0 ? F ( x ) 在 (1, ?? ) 为增函数; a ? ?1 .……4 分 x 3x ? 2 (Ⅱ) f ?( x ) ? ( x ? 2) ln x ? 2 x ? a ? 3 ? f ??( x ) ? ln x ? ? 0 ,……5 分 x
设 F ( x ) ? ( x ? 2) ln x ? 2 x ? 3 ? F ?( x ) ? ln x ? 可得 f ?( x ) ? ( x ? 2) ln x ? 2 x ? a ? 3 在 (1, ?? ) 上是增函数,又 f ?(1) ? ? a ? 1 ? 0, f ?(2) ? ? a ? 1 ? 0 ,……6 分 则存在唯一实数 m ? (1, 2) ,使得 f ?( m) ? 0 即 ( m ? 2) ln m ? 2m ? a ? 3 ? 0 ,……7 分 则有 x ? [1, m) ? f ?( x ) ? 0 ? f ( x ) 在 (1, m] 上递减; x ? [ m, ?? ) ? f ?( x ) ? 0 ? f ( x ) 在 [ m, ??) 上递增; 故当 x ? m 时, f ( x ) 有最小值 f ( m) ? ( m ? 2m) ln m ?
2

则 f ( x ) 的最小值 g ( a ) ? ( m ? 2m) ln m ?

1 2

1 2

2

3 2 m ? (a ? 1)m ? 1 ,又 a ? (m ? 2) ln m ? 2m ? 3 , 4
7

3 2 m ? (a ? 1)m ? 1 .……9 分 4

令 a ( m) ? ( m ? 2) ln m ? 2m ? 3, m ? (1,2). 求导得 a ( m) ? ln m ? 3 ? 而 a (1) ? ?1,a ( 2) ? 1 ,故 a ? ( ?1,1) 可等价转化为 m ? (1,2) . 故求 f ( x ) 的最小值 g ( a ) 的值域,可转化为:求 h( m) ? ? ……10 分 易得: h( m) ? ?

/

2 ? 0 ,故 a (m) 在 m ? (1,2) 上递增, m

1 2 5 m ln m ? m 2 ? 2m ? 1 在 m ? (1,2) 上的值域. 2 4

1 2 5 7 m ln m ? m 2 ? 2m ? 1 在 (1, 2) 上为减函数,则其值域为 (?2 ln 2, ) ……12 分 2 4 4

22.【解析】(Ⅰ)由曲线 C1 的参数方程,消去参数 t , 可得 C1 的普通方程为: x ? y ? m ? 0 .·····2 分 由曲线 C2 的极坐标方程得 3? ? 2 ? cos
2 2 2

? ? 3 , ? ? ?0, ?? ,

∴曲线 C2 的直角坐标方程为

x2 ? y 2 ? 1? 0 ? y ? 1? .·····5 分 3

(Ⅱ)设曲线 C2 上任意一点 P 为

?

3 cos ? , sin ? , ? ? ? 0, ?? ,则点 P 到曲线 C1 的距离为

?

d?

?? ? 2 cos ? ? ? ??m 3 cos ? ? sin ? ? m 6? ? .·····7 分 ? 2 2

?? ?? ? 3? ? ? ∵ ? ? ? 0, ?? ,∴ cos ? ? ? ? ? ? ?1, , ?2, 3 ? ? , 2cos ? ? ? ? ? ? ? 6? ? 6? ? 2 ? ? ?

当 m ? 3 ? 0 时, m ? 3 ? ?4 ,即 m ? ?4 ? 3 ; 当 m ? 2 ? 0 时, m ? 2 ? 4 ,即 m ? 6 .∴ m ? ?4 ? 3 或 m ? 6 .·····10 分
23. 【解析】 (Ⅰ)原不等式等价于 2 x ? x ? 3 ? ?4 x ? 3 , 当 x ? 0 时,? 3x ? 3 ? ?4 x ? 3 , 解得 x ? ? ; 当0 ? x ? 3 时, x ? 3 ? ?4 x ? 3 ,解得 x ? (0,3] ;当 x ? 3 时, 3x ? 3 ? ?4 x ? 3 ,解得 x ? (3,?? ) . 综上解集 A ? (0,?? ). ……5 分 (Ⅱ) B ? {x ? A f ( x) ? 6} ? [3,??) ,故 abc ? 3 ,且 a, b, c ? 0 ,则待证不等式等价于

3 3 3 ? ? ? 3 ( a ? b ? c )(*). ……7 分 a b c 3 3 3 3 3 3 又 ? ? bc ? ca ? 2 abc ? c ? 2 3 c ,同理: ? ? 2 3 a , ? ? 2 3 b , a b b c c a
三式累加即得(*)式.……10 分
8


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