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北师大 正弦定理(两课时)


正弦定理

正弦定理

引入
引例:

正弦定理

为了测定河岸A点到对岸C点的距 离,在岸边选定1公里长的基线AB, 并测得∠ABC=120o,∠BAC=45o,如 何求A、C两点的距离?

.C .A .B

一、教学目标:1、知识与技能:通过对任意三角形边长和角 度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法; 正弦定理
会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问 题。2、过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究 在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推 导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应 用的实践操作。3、情感态度与价值观:培养学生在方程思想 指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索 数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向 量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证 统一。 二、教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个 数。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 2015年1月9日星期五 四、教学过程

3

正弦定理 想一想 ?

a a sin A ? ? c ? sin A c b b sin B ? ? c ? sin B c c c sin C ? 1 ? ? c? sin C c
问题

在一个直角三角形 ?ABC中
A

b

c

C

a

B

a b c ? ? (1)你有何结论? sin A sin B sin C
(2)上述结论是否可推广到任意三角形?若成立,如何证明?

4

在锐角三角形中 B 正弦定理

两边同取与j的数量积, 得 j ? AC ? CB ? j ? AB j ? AC ? j ? CB ? j ? AB (根据向量的数量积的 定义)

jc
A
于 AC,

a
b

?

?

证明:过点A作单位向量 j垂直
? 90 j与AC的夹角为? ? ? ? ? ? ? ? ? ,

C

j ? AC ? cos90? ? j ? CB ? cos(90? ? C ) ? j ? AB ? cos(90? ? A)

?C j与CB的夹角为? ?90 ? ? ? ? ? ? ? ?,
? ? 90 ?A j与AB的夹角为? ? ???????? .

即a ? sinC ? c ? sin A a c ? ? sin A sinC

由向量加法的三角形法则
AC ? CB ? AB

同理, 过C点作 j垂直于CB,可得 c b ? ,? 在锐角三角形中 sinC sinB a b c 也有 ? ? sin A sin B sin 5C

正弦定理 在钝角三角形中
设?A ? 900 过点A作与AC垂直的单位向量 j, ?
A ? 90

则 j与AB的夹角为
B

90? ? C

j与CB的夹角为

j
A
A ? 90?

同样,可证明 C
a b c ? ? sin A sin B sin C

6

正弦定理

在直角三角形ABC中的边角关系有:

a 形是否也有这个 b c c= , c = 关系? ,c = sin A sinB sinC

a b c sin A = , sinB = , sinC = 1 = 对于一般的三角 c c c
c

B a C

a b c A = = sin A sin B sin C

b

正弦定理

B
'

? ?BAB ? 90?, ?C ? ?B c ' ? sin C ? sin B ? 2R c A ? ? 2R sin C
'

c O b B/

a C

a b 同理 ? 2 R, ? 2R sin A sin B a b c ? ? ? ? 2R sin A sin B sin C

正弦定理
A A C O b B` B b =2R sinB a b c = = =2R. sinA sinB sinC A b

B

O B`

b

C
B

O

C

正弦定理
正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等,即
a b c   ? ? ? 2R sin A sin B sin C

(1)已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角;

(2)已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形 的其他的边和角.

正弦定理 正弦定理的应用
利用正弦定理,可解决以下两类有关三角形的 问题: (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角。 (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角。 (从而进一步求出其他的边和角)

11

正弦定理 定理的应用

已知两角和任意边, 求其他两边和一角

例 1 在△ABC 中,已知c = 10,A = 45。, C = 30。 求 b (保留两位有效数字)。 解: ∵ b
c ? sin B sin C

且 B ? 180? ? (A ? C) ? 105?

c ? sin B 10 ? sin 105? ∴ b= = sin C sin 30?

?

19

正弦定理 变式训练:
(1) 在△ABC中,已知b= 3,A= 45 ? ,B= 60 ?,求a。

b ? sin A a b 3 ? sin 45 ? = = 2 ? 解: ∵ ∴ a? sin B sin A sin B sin 60 ?
,A= 75 ?,B= 60 ?,求b。 (2) 在△ABC中,已知c= 3 解: ∵ C ? 1800 ? ( A ? B) = 180 ? ? (75 ? ? 60 ?) ? 45 ? b c 3 ? sin 60 ? 3 2 c ? sin B ? ∴b ? 又∵ ? ? sin B sin C sin 45 ? 2 sin C

例 2 在?ABC中,已知a=20,b=28,

A=40°,求B和c. b sinA 解: ∵ sinB= a ≈0.8999
∴ B1=64°,B2=116°

C

b 40° A B 2

B1

已知两边和其中一边的对角,可以求出三 角形的其他的边和角.

在例 2 中,将已知条件改为以下几种 情况,结果如何? (1) b=20,A=60°,a=20√3 ;
(2) b=20,A=60°,a=10√3 ; (3) b=20,A=60°,a=15. A b 60° C

B

(1) b=20,A=60°,a=20√3
1 b sinA sinB= = 2 , a B=30°或150°, C 20 A 60° B 20√3

∵ 150°+60°> 180°,
∴ B=150°应舍去.

(2) b=20,A=60°,a=10√3

C

b sinA sinB= =1 , a
B=90°. A

20 60° B

(3) b=20,A=60°,a=15. b sinA sinB= = 2√3 , 3 a 20 2√3 ∵ > 1, 3
∴ 无解. A C

60°

已知边a,b和角A,求其他边和角.

正弦定理
C b A a B

A为锐角
C b A a C b a B1 A C

b

a




B2

a<bsinA 无解
C b A a

a=bsinA 一解
C b B A

bsinA<a<b 两解

a≥b 一解

A为直角或钝角
a

a>b 一解

a≤b 无解

正弦定理
△ABC中, (1)已知c=√3,A=45°,B=75°, 2 则a=√ ____. (2)已知c=2,A=120°,a=2√3,

则B=____. 30°
(3)已知c=2,A=45°,a= 2√6 3 75°或15° B=_____________. ,则

小结
1. 正弦定理 a b c = = =2R sinA sinB sinC

是解斜三角形的工具之一.
2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形:

(1)已知两角及一边;

(2)已知两边及其中一边的对角.


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