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江苏省启东中学2018高考数学附加题专练习8


附加题 8 1.若点 A(2, 2) 在矩阵 M ? ? ?cos? ?sin ? ? sin ? ? 对应变换的作用下得到的点为 B(?2, 2) ,求矩阵 cos? ? ? M 的逆矩阵 ? 2 ? ? ?2 ? ? 2cos ? ? 2sin ? ? ? ?2? 答案要点:由题意知, M ? ? ? ? ? ,即 ? ??? ?, ?2? ? 2 ? ? 2sin ? ? 2cos ? ? ? 2 ? ?cos ? ? sin ? ? ?1, 所以 ? ?sin ? ? cos ? ? 1, ?1 由 M ?1 M ? ? ?0 ?cos ? ? 0, ?0 ? 1? 解得 ? 所以 M ? ? ?. ?1 0 ? ?sin ? ? 1. 0? 1? ?0 ,解得 M ?1 ? ? ? ?. 1? ? ?1 0 ? 2. 已知直线 l 的极坐标方程为 ? ? 于 A, B 两点,求 AB 的长. 极坐标方程为 ? ? ? ? x ? 1 ? 2cos ? ( ? ? R ),它与曲线 C : ? ,( ? 为参数)相交 4 ? y ? 2 ? 2sin ? ? 4 ( ? ? R )的直角坐标方程为 y ? x , ? x ? 1 ? 2cos ? 曲线 C : ? , ( ? 为参数) 的直角坐标方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 ? y ? 2 ? 2sin ? 所以圆心 (1, 2) 到直线 y ? x 的距离 d ? 1? 2 2 ? 2 1 所以 AB ? 2 4 ? ? 14 . 2 2 3.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ,顶点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为点 B, 且 AB ? AC ? A1B ? 2 . (1)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小; (2)在棱 B1C1 上确定一点 P,使 AP ? 14 ,并求出二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余 弦值. 答案要点(1)如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系, 则 C ? 2,, 0 0?,B ? 0,, 2 0?,A1 ? 0,, 2 2?,B1 ? 0,, 4 2 ? , AA1 ? ? 0,, 2 2? , C1 B1 A1 BC ? B1C1 ? ? 2, ? 2, 0? . cos? AA1,BC ? ? 故 AA1 与棱 BC 所成的角是 π . 3 AA1 ? BC AA1 ? BC ? 1 ?? , 2 8? 8 ?4 C B A (第 4 题) (2)设 B1P ? ? B1C1 ? ? 2?, 4 ? 2?, 2? . ? 2?, 0? ,则 P ? 2?, 于是 AP ? 4? 2 ? ? 4 ? 2? ? 2 C1 P B1 A1 z 1 3 , ? 4 ? 14 ? ? ? ( ? ? 舍去) 2 2 x 则 P 为棱 B1C1 的中点,其坐标为 P ?1 ,, 3 2? . 设平面 P ? AB ? A1 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? , C B A ? ?n1 ? AP ? 0, ? x ? 3 y ? 2 z ? 0, ? x ? ?2 z, ?? ?? 则? ?2 y ? 0. ? y ? 0. ? ?n1 ? AB ? 0 故 n1 ? ? ?2, 0, 1? . 而 平 面 ABA1 的 法 向 量 是 y n2=(1,0,0) , 则 cos? n1 , n2 ? ? n1 ?

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