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高三数学一轮巩固与练习:二次函数


练习与巩固
1.(2008 年高考辽宁卷)若函数 y=(x+1)(x-a)为偶函数,则 a 等于( A.-2 C.1 ∴1-a=0,∴a=1,故选 C. 2.若 f(x)=x2-ax+1 有负值,则实数 a 的取值范围是( A.a>2 或 a<-2 C.a≠± 2 B.-2<a<2 D.1<a<3 ) B.-1 D.2 )

解析:选 C.∵y=(x+1)(x-a)=x2+(1-a)x-a 是偶函数

解析:选 A.f(x)有负值,则必须满足 f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点,其充要条件是: Δ=(-a)2-4>0,a2>4 即 a>2 或 a<-2. 3.若 f(x)=x2-x+a,f(-m)<0,则 f(m+1)的值为( A.正数 C.非负数 B.负数 D.与 m 有关 )

1 解析:选 B.法一:∵f(x)=x2-x+a 的对称轴为 x= , 2 1 而-m,m+1 关于 对称,∴f(m+1)=f(-m)<0,故选 B. 2 法二:∵f(-m)<0,∴m2+m+a<0, ∴f(m+1)=(m+1)2-(m+1)+a=m2+m+a<0.故选 B. 4.已知函数 y=ax2+bx+c,如果 a>b>c,且 a+b+c=0,则它的图象是( )

解析:选 D.∵a>b>c,且 a+b+c=0,得 a>0,c<0(用反证法可得),∴f(0)=c<0,∴ 只能是 D. 5 7 5.已知函数 f(x)=x2+ax+b,且 f(x+2)是偶函数,则 f(1),f( ),f( )的大小关系是( 2 2 5 7 A.f( )<f(1)<f( ) 2 2 7 5 B.f(1)<f( )<f( ) 2 2 7 5 C.f( )<f(1)<f( ) 2 2 7 5 D.f( )<f( )<f(1) 2 2 )

解析:选 A.由 f(x+2)是偶函数可知函数 f(x)=x2+ax+b 关于直线 x=2 对称,所以 f(1)= 5 7 f(3),又该函数图象开口向上,当 x>2 时单调递增,故 f( )<f(3)=f(1)<f( ),故答案为 2 2 A.

6.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有 一棵树与两墙的距离分别为 a m(0<a<12)、4 m,不考虑 树的粗细.现在想用 16 m 长的篱笆,借助墙角围成一个 矩形的花圃 ABCD.设此矩形花圃的面积为 S m2,S 的最大 值为 f(a),若将这颗树围在花圃内,则函数 u=f(a)的图象 大致是( )

? ?x≥a 解析: C.据题意设 BC=x, DC=16-x, 选 则 要使树围在花圃内, ? 需 ?a≤x≤12, ? ?16-x≥4

此时花圃的面积 f(x)=x(16-x)=-(x-8)2+64(a≤x≤12),当 8<a<12 时,有 f(a)=-a2
?-a2+16a,8<a<12 ? +16a,当 0<a≤8 时有 f(a)=f(8)=64,综上所述可得:f(a)=? ,作 ? ?64,0<a≤8

出图形易知 C 选项正确. 7.已知函数 f(x)=x2-2x+2 的定义域和值域均为[1,b],则 b=________. 解析:∵f(x)=(x-1)2+1,∴f(x)在[1,b]上是增函数, f(x)max=f(b),∴f(b)=b,∴b2-2b+2=b,∴b2-3b+2=0,∴b=2 或 1(舍). 答案:2 8. 方程 x2-mx+1=0 的两根为 α、 且 α>0,1<β<2, β, 则实数 m 的取值范围是________.
? ?α+β=m, 1 1 解析:∵? ∴m=β+ ,∵β∈(1,2)且函数 m=β+ 在(1,2)上是增函数,∴1+1 β β ?α· β=1, ?

1 5 <m<2+ ,即 m∈(2, ). 2 2 5 答案:(2, ) 2 9.已知定义在区间[0,3]上的函数 f(x)=kx2-2kx 的最大值为 3,那么实数 k 的取值范围为 ________. 解析:∵f(x)=k(x-1)2-k, (1)当 k>0 时,二次函数图象开口向上,当 x=3 时,f(x)有最大值,f(3)=k·2-2k×3=3k 3 =3?k=1;

(2)当 k<0 时,二次函数图象开口向下,当 x=1 时,f(x)有最大值,f(1)=k-2k=-k=3?k =-3. (3)当 k=0 时,显然不成立.故 k 的取值集合为{1,-3}. 答案:{1,-3} 10.求下列二次函数的解析式: (1)图象顶点坐标为(2,-1),与 y 轴交点坐标为(0,11); (2)已知二次函数 f(x)满足 f(0)=1,且 f(x+1)-f(x)=2x. 解:(1)法一:(一般式)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

? 由题意,得?4ac-b =-1, 4a ?11=c,
-b =2, 2a
2

?a=3, ? 解得?b=-12, ?c=11, ?

所以 y=3x2-12x+11. 法二:(顶点式)设 y=a(x-2)2-1.将(0,11)代入可得:11=4a-1,于是 a=3, 所以 y=3(x-2)2-1=3x2-12x+11. (2)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由 f(0)=1,可知 c=1. 而 f(x+1)-f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+c]-(ax2+bx+c)=2ax+a+b, 由 f(x+1)-f(x)=2x,可得 2a=2,a+b=0.因而 a=1,b=-1, 所以 f(x)=x2-x+1. 11.已知函数 f(x)=x2-4ax+2a+6(a∈R). (1)若函数的值域为[0,+∞),求 a 的值; (2)若函数值为非负数,求函数 f(a)=2-a|a+3|的值域. 解:(1)∵函数的值域为[0,+∞),∴Δ=16a2-4(2a+6)=0 3 ?2a2-a-3=0?a=-1 或 a= . 2 3 (2)∵对一切 x∈R 函数值均为非负数,∴Δ=8(2a2-a-3)≤0?-1≤a≤ , 2 3 3 17 ∴a+3>0,∵f(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2=-?a+2?2+ ?a∈?-1,2??, ? ? 4? ? ?? 3 3 19 ∴二次函数 f(a)在?-1,2?上单调递减.∴f?2?≤f(a)≤f(-1),即- ≤f(a)≤4, ? ? ? ? 4 19 ∴f(a)的值域为?- 4 ,4?. ? ? 12.已知函数 f(x)=ax2+2x+c(a、c∈N*)满足:①f(1)=5;②6<f(2)<11.

(1)求 a、c 的值; 1 3 (2)若对任意的实数 x∈[ , ],都有 f(x)-2mx≤1 成立,求实数 m 的取值范围. 2 2 解:(1)∵f(1)=a+2+c=5,∴c=3-a.① 又∵6<f(2)<11,即 6<4a+c+4<11,② 1 4 将①式代入②式,得- <a< ,又∵a、c∈N*,∴a=1,c=2. 3 3 (2)由(1)知 f(x)=x2+2x+2. 法一:设 g(x)=f(x)-2mx=x2+2(1-m)x+2. 2(1-m) 3 29 29 ①当- ≤1,即 m≤2 时,g(x)max=g( )= -3m,故只需 -3m≤1, 2 2 4 4 25 解得 m≥ ,又∵m≤2,故无解. 12 2(1-m) 1 13 13 ②当- >1,即 m>2 时,g(x)max=g( )= -m,故只需 -m≤1, 2 2 4 4 9 9 9 解得 m≥ .又∵m>2,∴m≥ .综上可知,m 的取值范围是 m≥ . 4 4 4 1 3 法二:∵x∈[ , ], 2 2 1 1 3 ∴不等式 f(x)-2mx≤1 恒成立?2(1-m)≤-(x+ )在[ , ]上恒成立. x 2 2 9 1 5 5 易知[-(x+ )]min=- ,故只需 2(1-m)≤- 即可.解得 m≥ . x 2 2 4


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