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高二第一学期(理科)数学期末复习专题训练(空间向量)


高二第一学期(理科 数学期末复习专题训练 高二第一学期 理科)数学期末复习专题训练 理科
(空间向量与立体几何 空间向量与立体几何) 空间向量与立体几何 1、结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图.其 中实点·代 表钠原子,黑点 代表氯原子.建立空间直角坐标 系 O-xyz 后,图中 最上层中间的钠原子所在位置的坐标是 ( ) 1 1 1 1 1 A.(2,2,1) B.(0,0,1) C.(1,2,1) D.(1,2,2) 1 2、若向量 a=(1,λ,2),b=(-2,1,1),a,b 夹角的余弦值为6,则 λ 等于( ) A.1 B.-1 C.±1 D.2 3、若 A、B 两点的坐标是 A(3cosα,3sinα,1),B(2cosθ,2sinθ,1),则|AB|的取 值范围是( ) A.[0,5] B.[1,5] C.(1,5) D.[1,25] 4、已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E、F 分别是 BC、 → → AD 的中点,则AE·AF的值为( ) 1 3 C.4a2 D. 4 a2 4、已知正方体的不在同一个表面上的两个顶点 A(-1,2,-1),B(3,-2,3),则 正方体的棱长等于( ) A.4 B.2 C. 3 D.2 3 5、 如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是 a=(0,2,1), b =( 2, 5, 5),那么这条斜线与平面的夹角是( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 6、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为( ) 2 3 6 2 A. 3 B. 3 C.3 D. 3 7、直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1= 6,M 是 CC1 的中点,则异面直线 AB1 与 A1M 所成的角为( ) A.60° B.45° C.30° D.90° 8、设点 C(2a+1,a+1,2)在点 P(2,0,0)、A(1,-3,2)、B(8,-1,4)确定的平面上, 则 a 等于( ) A.16 B.4 C.2 D.8 9、点 P(1,2,3)关于 y 轴的对称点为 P1,P 关于坐标平面 xOz 的对称点为 P2,则|P1P2| =____________. 10、 已知 x, z 满足(x-3)2+(y-4)2+z2=2, x2+y2+z2 的最小值是__________ y, 则 11、若向量 a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·(2b)=-2,则 x A.a2 1 B.2a2

=________. 12、 已知 G 是△ABC 的重心, 是平面 ABC 外的一点, λOG=OA+OB+OC, O 若 → → → → 则 λ=________. 13、长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中点,则异 面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为__________. 14、已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等,D 是 A1C1 的中点,则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为________. 15、已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面是边长为 2 的正方形,高为 4,则点 A1 到截面 AB1D1 的距离是_______________ 16、在空间直角坐标系中,解答下列各题. (1)在 x 轴上求一点 P,使它与点 P0(4,1,2)的距离为 30; (2)在 xOy 平面内直线 x+y=1 上确定一点 M, 使它到点 N(6,5,1)的距离最小.

17.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为 AC 的中点. → 1→ 1 → (1)化简:A1O- AB- AD; 2 2 → 2→ → → → (2)设 E 是棱 DD1 上的点,且DE=3DD1,若EO=xAB+yAD+ y、z 的值.

→ zAA1,试求 x、

18、如图所示,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长都 为 1,且两两夹角为 60°. (1)求 AC1 的长; (2)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值.

20、四棱锥 P-ABCD 的底面与四个侧面的形状和大小如图所示.

(1)写出四棱锥 P-ABCD 中四对线面垂直关系(不要求证明); (2)在四棱锥 P-ABCD 中,若 E 为 PA 的中点,求证:BE∥平面 PCD.

19、如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 BC,CC1 上的点,CF =AB=2CE,AB∶AD∶AA1=1∶2∶4. (1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值; (2)证明 AF⊥平面 A1ED.

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(空间向量与立体几何 参考答案 空间向量与立体几何)参考答案 空间向量与立体几何
1、结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图.其中 实点·代表钠原子, 黑点 代表氯原子. 建立空间直角坐标系 O-xyz 后, 图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是( ) 1 1 1 1 1 A.( , ,1) B.(0,0,1) C.(1, ,1) D.(1, , ) 2 2 2 2 2 答案:A 1 2、若向量 a=(1,λ,2),b=(-2,1,1),a,b 夹角的余弦值为 , 6 则 λ 等于( ) A.1 B.-1 C.±1 D.2 a·b λ 1 解析:选 A.cos〈a,b〉= = 2 = ,解得 λ=1. |a||b| λ +5· 6 6 3、若 A、B 两点的坐标是 A(3cosα,3sinα,1),B(2cosθ,2sinθ,1),则|AB|的取值范围是( ) A.[0,5] B.[1,5] C.(1,5) D.[1,25] 解析:选 B. |AB|= (3cosα-2cosθ)2+(3sinα-2sinθ)2+(1-1)2= 9+4-12(cosαcosθ+sinαsinθ) = 13-12cos(α-θ)∈[1,5].∴|AB|∈[1,5]. 4、已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E、F 分别是 BC、AD 的中点, → → 则AE·AF的值为( ) 1 2 1 3 A.a2 B. a C. a2 D. a2 2 4 4 → → → 解析:选 C.如图所示,设AB=a,AC=b,AD=c,则|a|=|b|=|c|=a,且 a,b,c 三向量两两夹角为 60°. 1 1 1 1 → 1 → 1 → → 1 AE= (a+b),AF= c,∴AE·AF= (a+b)· c= (a·c+b·c)= (a2cos60°+a2cos60°)= a2. 2 2 2 2 4 4 4 4、 已知正方体的不在同一个表面上的两个顶点 A(-1,2, -1), B(3, -2,3),则正方体的棱长等于( ) A.4 B.2 C. 3 D.2 3 解析:选 A.由于 A(-1,2,-1),B(3,-2,3)是不在同一个表面上 的两个顶点,所以它们是对角线的两个端点,故对角线长度等于|AB|= 48=4 3,若设正方体的棱长为 a,则有 3a=4 3,故 a=4. 5、如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别 是 a=(0,2,1),b=( 2, 5, 5),那么这条斜线与平面的夹角是( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 3 a·b 解析:选 D.cosθ= = ,因此 a 与 b 的夹角为 30°.从而可得斜面 |a||b| 2 与平面的夹角为 30°. 6、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 ( )

2 3 2 6 B. C. D. 3 3 3 3 解析: 选 D.如图,连接 BD 交 AC 于 O,连接 D1O.由于 BB1∥DD1,∴DD1 与平面 ACD1 所成的角就是 BB1 与平面 ACD1 所成的角. 易知∠DD1O 即为 2 6 所求.设正方体的棱长为 1,则 DD1=1,DO= ,D1O= ,∴cos∠ 2 2 DD1 2 6 6 DD1O= = = .∴BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 . D 1O 3 6 3 A. 7、直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1= 6,M 是 CC1 的 中点,则异面直线 AB1 与 A1M 所成的角为( ) A.60° B.45° C.30° D.90° 解析: 6 选 D.建立坐标系如图所示,易得 M(0,0, ),A1(0, 3,0), 2 → A(0, 3, 6),B1(1,0,0),∴AB1=(1,- 3,- 6), 6 6 → → → A1M=(0,- 3, ).∴AB1·A1M=1×0+3- =0, 2 2 → → ∴AB1⊥A1M.即 AB1⊥A1M. 8、设点 C(2a+1,a+1,2)在点 P(2,0,0)、A(1,-3,2)、B(8,-1,4) 确定的平面上,则 a 等于( ) A.16 B.4 C.2 D.8 → → → → → 解析:选 A.PA=(-1,-3,2),PB=(6,-1,4).根据共面向量定理,设PC=xPA+yPB(x、y ∈R),则(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4)=(-x+6y,-3x-y,2x+4y),

?2a-1=-x+6y, ? ∴?a+1=-3x-y, ?2=2x+4y, ?

解得 x=-7,y=4,a=16.

9、点 P(1,2,3)关于 y 轴的对称点为 P1,P 关于坐标平面 xOz 的对称点为 P2,则|P1P2|=__. 解析:∵P1(-1,2,-3),P2(1,-2,3). ∴|P1P2|= (-1-1)2+(2+2)2+(-3-3)2=2 14. 答案:2 14 10、已知 x,y,z 满足(x-3)2+(y-4)2+z2=2,则 x2+y2+z2 的最小值是__________ 解:由已知得点 P(x,y,z)在以 M(3,4,0)为球心, 2为半径的球面上,x2+y2+z2 表示原点 O 与点 P 的距离的平方,显然当 O,P,M 共线且 P 在 O 与 M 之间时,|OP|最小,此时|OP|=|OM| - 2= 32+42- 2=5- 2.∴|OP|2=27-10 2. 11、若向量 a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·(2b)=-2,则 x=________. 解析: ∵a=(1,1, b=(1,2,1), x), c=(1,1,1), ∴c-a=(0,0,1-x), 2b=(2,4,2). ∴(c-a)·(2b)=2(1-x)=-2,∴x=2.答案:2 → → → 12、 已知 G 是△ABC 的重心, 是平面 ABC 外的一点, λOG=OA+OB O 若 → +OC,则 λ=________.

→ → → → → 解析:如图,正方体中,OA+OB+OC=OD=3OG,∴λ=3. 答案:3 13、长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中点,则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为__________. 解析:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),E(0,2,1), → B(1,2,0),C1(0,2,2),∴BC1=(-1,0,2), → → BC1·AE 30 → → → AE=(-1,2,1),∴cos〈BC1,AE〉= = . 10 → → |BC1||AE| 30 答案: 10 14、如图所示,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相 等,D 是 A1C1 的中点,则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为________. 解析:不妨设正三棱柱 ABC-A1B1C1 的棱长为 2,建立如图所示的空间直角坐标系(x 轴垂直 于 AB),则 C(0,0,0),A( 3,-1,0), 3 3 1 1 → B1( 3,1,2),D( ,- ,2),则CD=( ,- ,2), 2 2 2 2 → CB1=( 3,1,2).设平面 B1DC 的法向量为 n=(x,y,1), → ?n·CD=0, ? 解得 n=(- 3,1,1). 由? → ?n·CB1=0, ? 3 1 4 → → 又∵DA=( ,- ,-2),∴sinθ=|cos〈DA,n〉|= . 2 5 2 4 答案: 5 15、已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面是边长为 2 的正方 形,高为 4,则点 A1 到截面 AB1D1 的距离是_______________ 解析:选 C.如图建立坐标系 Dxyz,则 A1(2,0,4),A(2,0,0), → → → B1(2,2,4),D1(0,0,4),AD1=(-2,0,4),AB1=(0,2,4),AA1=(0,0,4), 设平面 AB1D1 的法向量为 n=(x,y,z), → ?n·AD1=0, ?-2x+4z=0, ? ? 则? 即? ? ?2y+4z=0, ? → ?n·AB1=0, 解得 x=2z 且 y=-2z,不妨设 n=(2,-2,1), → |AA1·n| 4 设点 A1 到平面 AB1D1 的距离为 d,则 d= = , 3 |n| 16、在空间直角坐标系中,解答下列各题. (1)在 x 轴上求一点 P,使它与点 P0(4,1,2)的距离为 30; (2)在 xOy 平面内的直线 x+y=1 上确定一点 M,使它到点 N(6,5,1)的距离最小. 解:(1)设点 P(x,0,0),由题意,得|P0P|= (x-4)2+1+4= 30,解得 x=9 或 x=-1.所以点 P

的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0). (2)由已知,可设 M(x,1-x,0), 则|MN|= (x-6)2+(1-x-5)2+(0-1)2= 2(x-1)2+51. 所以,当 x=1 时,|MN|min= 51,此时点 M 的坐标为(1,0,0). 17.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为 AC 的中点. → 1→ 1 → (1)化简:A1O- AB- AD; 2 2 → 2→ → → → → (2)设 E 是棱 DD1 上的点,且DE= DD1,若EO=xAB+yAD+zAA1, 3 试求 x、y、z 的值. → → → → 1→ 1 → → 1 → → → 解:(1)∵AB+AD=AC,∴A1O- AB- AD=A1O- (AB+AD)=A1O 2 2 2 1→ → → → - AC=A1O-AO=A1A. 2 2 → 1 → 1→ 1→ 1 → 2 → → → 2 → 1→ 2 → 1 → → (2)∵EO=ED+DO= D1D+ DB= D1D+ (DA+AB)= A1A+ DA+ AB= AB- AD- 2 3 2 3 2 2 2 2 3 3 1 1 2 → AA1,∴x= ,y=- ,z=- . 2 2 3 18、如图所示,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端 点的三条棱长都为 1,且两两夹角为 60°. (1)求 AC1 的长; (2)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值. → → → 解:记AB=a,AD=b,AA1=c, 则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, 1 ∴a·b=b·c=c·a= . 2 → (1)|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a) 1 1 1 → =1+1+1+2×( + + )=6,∴|AC1|= 6,即 AC1 的长为 6. 2 2 2 → → → → → → (2)BD1=b+c-a,AC=a+b,∴|BD1|= 2,|AC|= 3,BD1·AC= (b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1. → → BD1·AC 6 6 → → ∴cos〈BD1,AC〉= = .∴AC 与 BD1 夹角的余弦值为 . 6 6 → → |BD1||AC| 19、如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 BC,CC1 上的点,CF=AB=2CE,AB∶AD∶AA1=1∶2∶4. (1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值;(2)证明 AF⊥平面 A1ED. 解: 如图所示, 建立空间直角坐标系, A 为坐标原点. AB=1, 点 设 依题意得 D(0,2,0), F(1,2,1), 3 A1(0,0,4),E(1, ,0). 2 → → EF·A1D 3 1 → → → → (1)易得EF=(0, ,1),A1D=(0,2,-4),于是 cos〈EF,A1D〉= =- .所以异面直 5 2 → → |EF||A1D|

3 线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 . 5 3 1 → → → (2)证明:易知AF=(1,2,1),EA1=(-1,- ,4),ED=(-1, , 2 2 → → → → 0),于是AF·EA1=0,AF·ED=0.因此,AF⊥EA1,AF⊥ED. 又 EA1∩ED=E,所以 AF⊥平面 A1ED. 20、四棱锥 P-ABCD 的底面与四个侧面的形状和大小如图所示.

(1)写出四棱锥 P-ABCD 中四对线面垂直关系(不要求证明); (2)在四棱锥 P-ABCD 中,若 E 为 PA 的中点,求证:BE∥平面 PCD. 解:(1)在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD⊥平面 PAB,BC⊥平面 PAB,AB⊥平面 PAD,CD⊥平面 PAC. (2)依题意 AB,AD,AP 两两垂直,分别以直线 AB,AD,AP 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐 标系,如图. 则 P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0). ∵E 是 PA 的中点,∴点 E 的坐标为(0,0,1), → → → BE=(-2,0,1),PC=(2,2,-2),PD=(0,4,-2). 设 n1=(x,y,z)是平面 PCD 的法向量. → ?n1⊥PC, ?2x+2y-2z=0, ? ? 即? 由? ? → ?4y-2z=0, ? ?n1⊥PD, 取 y=1,得 n1=(1,1,2)为平面 PCD 的一个法向量. → → ∵BE·n1=-2×1+0×1+1×2=0,∴BE⊥n1, → ∴BE∥平面 PCD.又 BE?平面 PCD,∴BE∥平面 PCD.


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