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高考数学选择题解法专题


数学选择题解法专题
一、数形结合 画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现,从而大大降低思维难度,是解决数学问题 的有力策略,这种方法使用得非常之多。 【例题】 、 (07 江苏 6)设函数 f ( x ) 定义在实数集上,它的图象关于直线 x ? 1 对称,且当 x ? 1 时,

f ( x) ? 3x ? 1,则有(

) 。 B、 f ( ) ? f ( ) ? f ( )

A、 f ( ) ? f ( ) ? f ( )

1 3 2 3 2 3 2 1 3 C、 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 3 2

2 3 1 3 2 3 3 2 1 D. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 2 3 3

【解析】 、当 x ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 1, f ( x ) 的 图象关于直线 x ? 1 对称,则图象如图所示。 这个图象是个示意图,事实上,就算画出

f ( x) ?| x ? 1| 的图象代替它也可以。由图知,
符合要求的选项是 B, 【练习 3】 、曲线 y ? 1 ? 4 ? x ( x ? ? ?2, 2?)
2

与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个公共点时,

k 的取值范围是( ) 5 1 1 A、 (0, ) B、 ( , ) 12 4 3 5 5 3 C、 ( , ?? ) D、 ( , ) 12 12 4
( 提 示 : 事 实 上 不 难 看 出 , 曲 线 方 程

y ? 1 ? 4 ? x 2 ( x ? ? ?2, 2?) 的 图 象 为

x2 ? ( y ?1)2 ? 4(?2 ? x ? 2,1 ? y ? 3) ,表示以( 1 , 0 )为圆心, 2 为半径的上半圆,如图。直线
y ? k ( x ? 2) ? 4 过定点(2,4) ,那么斜率的范围就清楚了,选 D)]
【练习 4】 、函数 y ?| x | (1 ? x) 在区间 A 上是增函数,则区间 A 是( A、 ?? ?,0? B、 ?0, ? 2 D、 ? ,?? ? )

? 1? ? ? ? ?

C、 ?0,???

?1 ?2

(提示:作出该函数的图象如右,知应该选 B) 【练习 1】 、若 P(2,-1)为圆 ( x ?1) ? y ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是(
2 2



A、 x ? y ? 3 ? 0

B、 2 x ? y ? 3 ? 0 C、 x ? y ? 1 ? 0 D、 2 x ? y ? 5 ? 0

(提示:画出圆和过点 P 的直线,再看四条直线的斜率,即可知选 A)

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 【练习 2】 、 (07 辽宁)已知变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? 1 ,则 的取值范围是( x ?x ? y ? 7 ? 0 ?
A、 ? , 6 ? 5 (提示:把



?9 ?

? ?

B、 ? ??, ? ? ? 6, ?? ? 5

? ?

9? ?

C、 ? ??,3? ? ?6, ???

D、 ?3,6?

y 看作可行域内的点与原点所在直线的斜率,不难求得答案 ,选 A。 ) x

【练习 6】 、 (06 湖南理 8)设函数 f ( x) ?

M ? P ,则实数 a 的取值范围是(
A、 (??,1) B、 (0,1)

x?a ' ,集合 M ? ?x | f ( x) ? 0? , P ? ? x | f ( x) ? 0? ,若 x ?1
D、 [1, ??)



C、 (1, ??)

(提示:数形结合,先画出 f ( x ) 的图象。 f ( x) ? 如左;当 a ? 1 时图象如右。

x ? a x ?1?1? a 1? a ? ? 1? 。当 a ? 1 时,图象 x ?1 x ?1 x ?1

由图象知, 当 a ? 1 时函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上递增, f ' ( x) ? 0 , 同时 f ( x) ? 0 的解集为 (1, ??) 的 真子集,选 C) 【练习 7】 、 ( 06 湖 南 理 10 ) 若 圆 x2 ? y2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上 至 少 有 三 个 不 同 的 点 到 直 线

l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围是( )
A、 ?

?? ? ? , ?12 4 ? ?

B、 ?

? ? 5? ? , ?12 12 ? ?

C、 ?

?? ? ? , ?6 3? ?

D、 ? 0,

? ?? ? 2? ?

(提示:数形结合,先画出圆的图形。圆方程化为

( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? (3 2)2 ,由题意知,圆心到直线
的距离 d 应该满足 0 ? d ? 2 ,在已知圆中画一个半 径为 2 的同心圆,则过原点的直线 l : ax ? by ? 0 与小圆有公共点,∴选 B。 ) 【练习 8】 、 (07 浙江文 10)若非零向量 a,b 满足|a-b|=| b |,则( )

A、|2b| > | a-2b | C、|2a| > | 2a-b |

B、|2b| < | a-2b | D、|2a| < | 2a-b |

先把条件进行等价转换。|a-b|=| b | ? |a-b| = 2 2 2 2 | b | ? a +b -2a·b= b ? a· (a-2b)=0 ? a⊥(a-2b) ,又 a-(a-2b)=2b,所以|a|,| a-2b |, |2b|为边长构成直角三角形,|2b|为斜边,如上图, ∴|2b| > | a-2b |,选 A。 另外也可以这样解:先构造等腰△OAB,使 OB=AB, 再构造 R△OAC,如下图,因为 OC>AC,所以选 A。 )
2

(提示:关键是要画出向量 a,b 的关系图,为此

【练习 9】 、方程 cosx=lgx 的实根的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 (提示:在同一坐标系中分别画出函数 cosx 与 lgx 的图象,如图,

由两个函数图象的交点的个数为 3,知应选 C) 【练习 10】 、(06 江苏 7)若 A、B、C 为三个集合, A ? B ? B ? C ,则一定有( ) A、 A ? C B、 C ? A C、 A ? C D、 A ? ? (提示:若 A ? B ? C ? ? ,则 A ? B ? A, B ? C ? B ? A 成立,排除 C、D 选项,作出 Venn 图,可知 A 成立) 【练习 11】 、(07 天津理 7)在 R 上定义的函数 f ( x ) 是偶函数,且 f ( x) ? f (2 ? x) 。若 f ( x ) 在区间 [1,2]上是减函数,则 f ( x ) ( )

A、在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B、在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C、在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D、在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数 (提示:数形结合法, f ( x ) 是抽象函数,因此画出其简单图象即可得出结论,如下左图知选 B)

【练习 12】 、 (07 山东文 11 改编)方程 x ? ( )
3

1 2

x?2

的解 x0 的取值区间是( )

A、 (0,1)

B、 (1,2)

C、 (2,3)

D、 (3,4)

(提示:数形结合,在同一坐标系中作出函数 y ? x , y ? ( )
3

1 2

x?2

的图象

,则立刻知选 B,如上右图) 二、特值检验 包括选取符合题意的特殊数值、特殊函数、特殊数列、特殊图形和特殊位置,代入或者比照选项来 确定答案。这种方法叫做特值代验法,是一种使用频率很高的方法。 【例题】在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,若 a5a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ?? ? log3 a10 ? ( ) A、12 B、10 C、8 D、 2 ? log3 5

【解析】 、思路一(小题大做) :由条件有 9 ? a5a6 ? a1q4 ? a1q5 ? a12q9 , 从而
10 a1 ? a2 ? a3 ? ?? a10 ? a1 ? q1?2???9 ? (a12q9 )5 ? 310 ,

所以原式= log3 (a1a2 ?a10 ) ? log3 310 ? 10 ,选 B。 思路二(小题小做) :由 9 ? a5a6 ? a4 a7 ? a3a8 ? a2a9 ? a1a10 知原式= log3 (a5a6 )5 ? log3 310 ? 3 , 选 B。 思路三(小题巧做) :因为答案唯一,故取一个满足条件的特殊数列 a5 ? a6 ? 3, q ? 1 即可,选 B。 【练习 1】 、若 0 ? x ? A、 sin x ?

?
2

,则下列命题中正确的是(

) D、 sin x ?

2

?

x

B、 sin x ?

2

(提示:取 x ?

? ?

?

x

C、 sin x ?

3

?

x

3

?

x

, 验证即可,选 B) 6 3


【练习 2】 、设 f (n) ? 2 ? 24 ? 27 ? 210 ? ? ? 23n?10 (n ? N ) ,则 f (n) ? ( A、

2 n?4 (n ? 1) 7 (提示:思路一:f(n)是以 2 为首项,8 为公比的等比数列的前 n ? 4 项的和,
B、 C、 D、

2 n (8 ? 1) 7

2 n ?1 (8 ? 1) 7

2 n ?3 (8 ? 1) 7

2(1 ? 8n? 4 ) 2 n? 4 ? (n ? 1) ,选 D。这属于直接法。 所以 f (n) ? 1? 8 7
思路 2: 令n ? 0, 则 f (0) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?
4 7 10 3 4 2? ?1 ? (2 ) ? ?

1? 2

2 对照选项, 只有 D 成立。 ) ? (84 ? 1) , 7

【练习 3】设平面向量 a1、a2、a3 的和 a1+a2+a3=0,如果平面向量 b1、b2、b3 满足| bi|=2| ai |, 且 ai 顺时针旋转 30 以后与 bi 同向,其中 i=1、2、3 则(
?



A、-b1+b2+b3=0 B、b1-b2+b3=0 C、b1+b2-b3=0 D、b1+b2+b3=0 (提示:因为 a1+a2+a3=0,所以 a1、a2、a3 构成封闭三角形,不妨设其为正三角形,则 bi 实际上是 将三角形顺时针旋转 30 后再将其各边延长 2 倍,仍为封闭三角形,故选 D。 )
?

【练习 5】 、若函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则 y ? f (2 x) 的对称轴是( A、 x ? 0 B、 x ? 1 C、 x ?



1 2

D、 x ? 2

( 提 示 : 因 为 若 函 数 y ? f ( x? 1) 是 偶 函 数 , 作 一 个 特 殊 函 数 y ? ( x ? 1)2 , 则 y ? f ( 2 x) 变 为
2 ,即知 y ? f (2 x) 的对称轴是 x ? y ? (2x ? 1)

1 ,选 C) 2

【练习 6】 、已知数列{an}的通项公式为 an=2 ,其前 n 和为 Sn,那么
n-1

Cn S1+ Cn S2+?+ Cn Sn=(
1 2 n n n n n


n n n n

A、2 -3 B、3 -2 C、5 -2 D、3 -4 n-1 1 2 n (提示: 愚蠢的解法是: 先根据通项公式 an=2 求得和的公式 Sn, 再代入式子 Cn S1+ Cn S2+?+ Cn Sn, 再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解,有些书上就是这么做的!其实这既然是小题,就应该按照小 题的解思路来求做:令 n=2,代入式子,再对照选项,选 B) 【练习 8】 、如图左,若 D、E、F 分别是 三棱锥 S-ABC 的侧棱 SA、SB、SC 上的点, 且 SD:DA=SE:EB=CF:FS=2:1,那么平 面 DEF 截三棱锥 S-ABC 所得的上下两部分 的体积之比为( ) A、4:31 B、6:23 C、4:23 D、2:25
(提示:特殊化处理,不妨设三棱锥 S-ABC 是棱长为 3 的正三棱锥,K 是 FC 的中点,V1 , V2 V1 , V2 分 别表示上下两部分的体积 则

VS ? DEF SS ? DEF 2h 2 2 2 8 V 8?4 4 ,? 1 ? ,选 C) ? ?( ) ? ? ? VS ? ABC SS ? ABC 3h 3 3 27 V2 27 ? 8 ? 4 23

【练习 9】 、 △ABC 的外接圆的圆心为 O, 两条边上的高的交点为 H,OH ? m(OA ? OB ? OC) , 则m的 取值是( ) A、-1 B、1 C、-2 D、2 ( 提 示 : 特 殊 化 处 理 , 不 妨 设 △ ABC 为 直 角 三 角 形 , 则 圆 心 O 在 斜 边 中 点 处 , 此 时 有

????

??? ? ??? ? ??? ?

???? ??? ? ??? ? ??? ? ) OH ? OA ? OB ? OC , m ? 1 ,选 B。
【练习 10】 、双曲线方程为 A、 k ? 5

x2 y2 ? ? 1 ,则 k 的取值范围是( k ?2 5?k
C、 ?2 ? k ? 2



B、 2 ? k ? 5

D、 ?2 ? k ? 2 或 k ? 5

(提示:在选项中选一些特殊值例如 k ? 6,0 代入验证即可,选 D) 三、筛选判断(验证与排除) 包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证,或者逻辑排除法,即通过对四个选项之间的 内在逻辑关系进行排除与确定。 【练习 9】 、 (07 全国卷Ⅰ理 12)函数 f ( x) ? cos x ? cos
2 2

x 的一个单调增区间是( ) 2

A、 ?

? ? 2? ? , ? ?3 3 ?

B、 ?

?? ? ? , ? ?6 2?

C、 ? 0,

? ?

??
? 3?

D、 ? ?

? ? ?? , ? ? 6 6?

(提示: “标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组,再结合图象解得的,选 A。建议你用代入验证 法进行筛选:因为函数是连续的,选项里面的各个端点值其实是可以取到的,由 f ( ? 然直接排除 D,在 A、B、C 中只要计算两个即可,因为 B 中代入 在就验算 A,有 f ( ) ? f (

?

?

3

2? ) ,符合,选 A) 3
2

? ? 会出现 ,所以最好只算 A、C、现 12 6

) ? f ( ) ,显 6 6

?

【练习 7】 、当 x ?? ?4,0? 时, a ? ? x ? 4 x ? A、5 B、

4 x ? 1 恒成立,则 a 的一个可能的值是( 3



5 3

C、 ?

5 3

D、 ?5

(提示:若选项 A 正确,则 B、C、D 也正确;若选项 B 正确,则 C、D 也正确;若选项 C 正确,则 D 也正确。选 D) 【练习 4】 、不等式 x ? A、 (?1,0) ? (1, ??) C、 (?1,0) ? (0,1)

2 ? 2 的解集是( x ?1



B、 (??, ?1) ? (0,1) D、 (??, ?1) ? (1, ??)

(提示: 如果直接解, 差不多相当于一道大题! 取x ? 2, 代入原不等式, 成立, 排除 B、 C; 取 x ? ?2 , 排除 D,选 A) 【练习 6】 、集合 M ? ?(2n ? 1)? | n ? Z? 与集合 N ? ?(4k ? 1)? | k ? Z? 之间的关系是( )

A、 M ? N B、 M ? N C、 M ? N D、 M ? N (提示:C、D 是矛盾对立关系,必有一真,所以 A、B 均假; 2n ? 1 表示全体奇数, 4k ? 1 也表示 奇数,故 M ? N 且 B 假,只有 C 真,选 C。此法扣住了概念之间矛盾对立的逻辑关系。 当然,此题用现场操作法来解也是可以的,即令 k=0,±1,±2,±3,然后观察两个集合的关系 就知道答案了。 ) 【练习 8】对于抛物线 y 2 ? 4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足 PQ ? a ,则 a 的取值范围是 ( ) A、 ? ??,0? B、 (??, 2] C、 [0, 2] D、 (0, 2)

(提示:用逻辑排除法。画出草图,知 a<0 符合条件,则排除 C、D;又取 a ? 1 ,则 P 是焦点, 记点 Q 到准线的距离为 d,则由抛物线定义知道,此时 a<d<|PQ|,即表明 a ? 1 符合条件,排除 A,选 B。另外,很多资料上解此题是用的直接法,照录如下,供“不放心”的读者比较—— 设点 Q 的坐标为 (
2 y0 y2 2 2 2 , y0 ) ,由 PQ ? a ,得 y0 ? ( 0 ? a)2 ? a 2 ,整理得 y0 ( y0 ?16 ? 8a) ? 0 , 4 4 2 y0 y2 恒成立,而 2 ? 0 的最小值是 2,∴ a ? 2 ,选 B) 8 8

2 ∵ y0 ? 0 ,∴ y0 ? 16 ?8a ? 0 ,即 a ? 2 ? 2

? x ? 0, ? 【练习 9】不等式组 ? 3 ? x 2 ? x 的解集是( ?3 ? x ? 2 ? x ?
A、 ?x | 0 ? x ? 2? C、 x | 0 ? x ?



B、 ?x | 0 ? x ? 2.5?

?

6

?

D、 ?x | 0 ? x ? 3?

(提示:直接解肯定是错误的策略;四个选项左端都是 0,只有右端的值不同,在这四个值中会是 哪一个呢?它必定是方程

3? x 3? x ?| | 的根! ,代入验证:2 不是,3 不是, 2.5 也不是,所以选 C) 3? x 3? x

四、等价转化 解题的本质就是转化,能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化,要通过必要的训练,达到见识 足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要。 【例题】 、 (05 辽宁 12)一给定函数 y ? f ( x) 的图象在下列图中,并且对任意 a1 ? ? 0,1? ,由关 系式 an?1 ? f (an ) 得到的数列满足 an?1 ? an (n ? N ? ) ,则该函数的图象是( )

A、

B、

C、

D、

【解析】问题等价于对函数 y ? f ( x) 图象上任一点 ( x, y ) 都满足 y ? x ,只能选 A。
3 3 【练习 1】 、设 t ? sin ? ? cos ? ,且 sin ? + cos ? ? 0 ,则 t 的取值范围是(



A、[- 2 ,0) C、 (-1,0) ? (1, 2 ]
(提示: 因为 sin
3

B、[ ? 2, 2 ] D、 (- 3 ,0) ? ( 3,??)

2 2 2 (sin ? + cos ? ) (sin ? - sin ? cos ? + cos ? ) , 而 sin ? - sin ? cos ? + ? + cos3 ? = 2 3 3 3 3 cos ? >0 恒成立,故 sin ? + cos ? ? 0 ? t<0,选 A。另解:由 sin ? + cos ? ? 0 知 ? 非锐角,

而我们知道只有 ? 为锐角或者直角时 t ? sin ? ? cos ? ?

2 ,所以排除 B、C、D,选 A)


????????? x2 2 【练习 2】 、 F1 , F2 是椭圆 ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在椭圆上运动,则 PF1 ?PF2 的最大值是( 4
A、4 B、5 C、1 D、2

(提示:设动点 P 的坐标是 ( 2cos ? ,sin ? ) ,由 F1 , F2 是椭圆的左、右焦点得 F 1 (? 3,0) ,

???? ???? ? (2cos ? ? 3,sin ? ) | ?| 4cos2 ? ? 3 ? sin 2 ? | F2 ( 3,0) ,则 PF1 ? PF2 ? | (2cos ? ? 3,sin ? )?

?| 3cos2 ? ? 2 |? 2 ,选 D。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求最值的问题。特别提

???? ???? ? ???? ???? ? | PF | ? | PF | 1 2 ? a2 ? 4 ) 醒:下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的—— PF1 ? PF2 ? 2
【练习 3】 、若 loga 2 ? logb 2 ? 0 ,则( A、 0 ? a ? b ? 1 B、 0 ? b ? a ? 1 ) 。 C、 a ? b ? 1 D、 b ? a ? 1

( 提 示 : 利 用 换 底 公 式 等 价 转 化 。 log a 2 ? logb 2 ? 0 ?

lg 2 lg 2 ? ? 0 ? lg b ? lg a ? 0 ∴ lg a lg b

0 ? b ? a ? 1 ,选 B)

, ,, R ? , 【练习 4】 、 abcd

且 d ? c , a ? b ? c ? d , a ? d ? b ? c ,则(



A、 d ? b ? a ? c B、 b ? c ? d ? a C、 b ? d ? c ? a D、 b ? d ? a ? c (提示:此题条件较多,又以符号语言出现, 令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化” , 如图 ,用线段代表 a, b, c, d , 立马知道选 C。当然 这也属于数形结合方法。对策之二是“抽象语言具体化” , 分别用数字 1,4,2,3 代表 a, b, c, d , 容易 知道选 C。 也许你认为对策一的转化并不等价, 是的, 但是作为选择题, 可以事先把条件 “ a, b, c, d ? R ” 收严一些变为“ a, b, c, d ? R ” 。 【练习 5】 、已知 ? ? 0, 若函数 f ( x) ? sin 围是( )
?

?x
2

sin

? ??x
2

在 ??

? ?? ? , 上单调递增,则 ? 的取值范 ? 4 3 ? ?

A、 ? 0, ? 3

? ?

2? ?

B、 ? 0, ? 2

? ?

3? ?

C、 ? 0, 2?

D、 ?2, ???

(提示: 化简得 f ( x ) ?

1 ? ?? ? sin ? x ,∵ sin x 在 ? ? , 上递增, 2 ? 2 2 ? ?

∴?

?
2

? ?x ?

?
2

??

? ? ? ?? ? ?x? ,而 f ( x ) 在 ? ? , 上单调递增 2? 2? ? 4 3 ? ?

3 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? , ? ? ?? , ? 0 ? ? ? ,又 ? ? 0, ∴选 B) ? 2 ? 4 3 ? ? 2? 2? ?
【练习 7】 、方程 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 12 的正整数解的组数是( )

A、24 B、 72 C、144 D、165 (提示:问题等价于把 12 个相同的小球分成 4 堆,故在排成一列的 12 球 11 空中插入 3 块隔板即 可,答案为 C11 ? 165 ,选 D)
3

【练习 8】 、从 1,2,3,?,10 中取出 3 个互不相邻的数,共有的取法数是( ) A、35 B、56 C、84 D、120 (提示:逆向思维,问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的 7 个数的 8 个空中,那么
3 问题转化为求从 8 个空位中任意选 3 个的方法数,为 C8 ? 56 ,选 B)

【练习 11】 、 不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 x ?1 ? x ? 2 , 那么不等式 a( x2 ? 1) ? b( x ?1) ? c ? 2ax 的解集为( )

?

?

A、 x 0 ? x ? 3

?

?

B、 x x ? 0, or x ? 3

?

?

C、 x ? 2 ? x ? 1

?

?

D、 x x ? ?2, or x ? 1

?

?

(提示:把不等式 a( x2 ? 1) ? b( x ?1) ? c ? 2ax 化为 a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? c ? 0,其结构与原不等式

ax2 ? bx ? c ? 0 相同,则只须令 ?1 ? x ?1 ? 2 ,得 0 ? x ? 3 ,选 A)
五、巧用定义 定义是知识的生长点,因此回归定义是解决问题的一种重要策略。 【练习 1】 、 已知对于任意 x, y ? R , 都有 f ( x) ? f ( y ) ? 2 f ( 是( ) A、奇函数

x? y x? y )f( ), 且 f (0) ? 0 , 则 f ( x) 2 2

B、偶函数

C、奇函数且偶函数

D、非奇且非偶函数

(提示:令 y ? 0 ,则由 f (0) ? 0 得 f (0) ? 1 ;又令 y ? ? x ,代入条件式可得 f (? x) ? f ( x) , 因此 f ( x) 是偶函数,选 B) 【练习 2】 、 点 M 为圆 P 内不同于圆心的定点, 过点 M 作圆 Q 与圆 P 相切, 则圆心 Q 的轨迹是 ( A、圆 B、椭圆 C、圆或线段 D、线段 (提示:设⊙P 的半径为 R,P、M 为两定点,那 么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数,∴由椭圆定义知圆 心 Q 的轨迹是椭圆,选 B) 【练习 4】 、 设 F1 , F2 是双曲线 )

x2 y 2 右焦点, P 为双曲线右支上任意一点, ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 a 2 b2

???? ?2 PF2 若 ????? 的最小值为 8a ,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( PF1
A、[2,3] B、 (1,3] C、 ?3, ?? ? D、 ?1, 2?



???? ?2 PF2 (2a ? PF1 ) 2 4a 2 4a 2 ????? ? ? ? PF ? 4 a ? 8 a (提示: ,当且仅当 ? PF1 ,即 PF1 ? 2a , 1 PF1 PF1 PF1 PF1

PF2 ? 4a 时取等于号,又 PF1 ? PF2 ? F1F2 ,得 6a ? 2c ,∴1 ? e ? 3 ,选 B)
【练习 5】 、 已知 P 为抛物线 y ? 4x 上任一动点, 记点 P 到 y 轴的距离为 d , 对于给定点 A (4, 5) ,
2

|PA|+d 的最小值是( ) A、4 B、 34 C、 17 ?1 D、 34 ?1

(提示: d 比 P 到准线的距离(即|PF|)少 1,∴|PA|+d=|PA|+|PF|-1,而 A 点在抛物线外, ∴|PA|+d 的最小值为|AF|-1= 34 ?1 ,选 D) 【练习 8】 、点 P 是以 F1 , F2 为焦点的椭圆上的一点,过焦点 F2 作 ?F 1PF 2 的外角平分线的垂线,垂 足为 M,则点 M 的轨迹是( ) A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

(提示:如图,易知 PQ ? PF2 ,M 是 F2Q 的中点, ∴ OM 是 FQ 的中位线,∴ MO ? 1

1 1 1 F1Q ? ( F1 P ? PQ ) ? ( F1P ? F2 P ) ,由椭圆的定义知, 2 2 2

,∴选 A) F1P ? F2 P =定值,∴ MO ? 定值(椭圆的长半轴长 a)

高考数学选择题简捷解法专题(2)
估值法(包括极限分析) 【练习 5】向高为 H 的水瓶中注水,注满为止。如果注水量 V 与水深 h 的函数关系如下列左图,那 么水瓶的形状是( ) 。

O

A

B

C

D

(提示:抓住特殊位置进行直觉思维,可以取 OH 的中点,当高 H 为一半时,其体积过半,只有 B 符合,选 B) 【练习 11】 、 (07 浙江文 8)甲乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜” ,即以先赢 2 局者 为胜,根据以往经验,每局比赛中甲获胜的概率为 0.6,则本次比赛中甲获胜的概率为( ) A、0.216 B、0.36 C、0.432 D、0.648 (提示:先看“标准”解法——甲获胜分两种情况:①甲:乙=2:0,其概率为 0.6×0.6=0.36, ②甲:乙=2:1,其概率为 [C2 0.6 ? 0.4] ? 0.6 ? 0.288 ,所以甲获胜的概率为 0.36+0.288=0.648,选 D。
1

现在再用来解:因为这种比赛没有平局,2 人获胜的概率之和为 1,而甲获胜的概率比乙大,应该 超过 0.5,只有选 D。 ) 【练习 3 】 、正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为 ? ,侧面与底面 所成角为

? ,则

2 cos? ? cos 2? 的值是(
A、1 B、

) C、0 D、-1

1 2

(提示:进行极限分析,当四棱锥的高无限增大时, ? ? 90? , ? ? 90? , 那么

2cos ? ? cos 2? ? 2cos90? ? cos180? ? ?1 ,选 D)
【练习 4】 、在△ABC 中,角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c,若 c-a 等于 AC 边上的高,那么

C?A C?A sin ? cos 的值是( 2 2 1 1 A、1 B、 C、 2 3
?

) D、-1

(提示:进行极限分析, ? ? 0 时,点 C ? ? ,此时高 h ? 0, c ? a ,那么 C ? 180? , A ? 0? , 所以 sin

C?A C?A ? cos ? sin 90? ? cos 0? ? 1,选 A。 ) 2 2

【练习 5】 、若 0 ? ? ? ? ? A、 a ? b B、 a ? b

?

4

,sin ? ? cos ? ? a,sin ? ? cos ? ? b, 则(
C、 ab ? 1 D、 ab ? 2



(提示:进行极限分析,当 ? ? 0 时, a ? 1 ;当 ? ?

?
4

时, b ? 2 ,从而 b ? a ,选 A)

【练习 6】 、双曲线 x2 ? y 2 ? 1的左焦点为 F, 点 P 为左支下半支异于顶点的任意一点,则直 线 PF 的斜率的变化范围是( ) A、 (??, 0) B、 (??, ?1) ? (1, ??) D、 (1, ??)

C、 (??,0) ? (1, ??)

(提示:进行极限分析,当 P ? ? 时,PF 的斜率 k ? 0 ;当 PF ? x 时,斜率不存在,即 k ? ?? 或 k ? ?? ;当 P 在无穷远处时,PF 的斜率 k ? 1 。选 C。 ) 【练习 8】 、若 sin ? ? cos ? ? 1 ,则对任意实数 n, sinn ? ? cosn ? ? ( A、1 B、区间(0,1) C、 )

1 2n ?1

D、不能确定

(提示:用估值法,由条件 sin ? ? cos ? ? 1 完全可以估计到 sin ? ,cos ? 中必定有一个的值是 1, 另一个等于 0,则选 A。另外,当 n=1,2 时,答案也是 1)

【练习 4】 、如图,在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,

EF ?

3 ,EF 与平面 ABCD 的距离为 2,则 2


该多面体的体积为(

A、

9 2

B、5

C、6

D、

15 2

(提示:该多面体的体积比较难求,可连接 BE、CF,问题转化为四棱锥 E-ABCD 与三棱锥 E-BCF 的 体积之和,而 VE ? ABCD =6,所以只能选 D) 【练习 7】 、 (07 海南、宁夏理 11 文 12)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中个射箭 20 次, 三人测试成绩如下表
甲的成绩 环数 频数 7 5 8 5 9 5 10 5 环数 频数 乙的成绩 7 6 8 4 9 4 10 6 环数 频数 丙的成绩 7 4 8 6 9 6 10 4

S1 , S2 , S3 分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差,则有(
A、 S3 ? S1 ? S2 B、 S2 ? S1 ? S3 C、 S1 ? S2 ? S3

) D、 S2 ? S3 ? S1

(提示:固然可以用直接法算出答案来,标准答案正是这样做的,但是显然时间会花得多。你可以用估 计法: 他们的期望值相同, 离开期望值比较近的数据越多, 则方差——等价于标准差会越小! 所以选 B。 ) 【练习 8 】 、 (07 全国Ⅱ理 12 )设 F 为抛物线 y 2 ? 4x 的焦点, A 、 B 、C 为该抛物线上的三点,若

??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? FA ? FB ? FC ? 0 ,则 FA ? FB ? FC 等于(
A、9 B、6 C、4 D、3



(提示:很明显(直觉)三点 A、B、C 在该抛物线上的图 形完全可能如右边所示(数形结合) ,可以估计(估值法) 到, FB ? FC 稍大于 MN (通径,长为 4) , ∴ FA ? FB ? FC ? 6 ,选 B。 当 然 也 可 以 用 定 义 法 : 由 FA ? FB ? FC ? 0 可 知 xA ? x B ? x C? 3 , 由 抛 物 线 定 义 有

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? FA ? xA ? 1, FB ? xB ? 1, FC ? xC ? 1 ,所以 FA ? FB ? FC =6)
【练习 10】 (07 湖北理 9)连续投掷两次骰子的点数为 m, n ,记向量 b=(m,n)

?? 与向量 a=(1,-1)的夹角为 ? ,则 ? ? ? ? 0, ? 的概率是( ) ? 2?
A、

5 12

B、

1 2

C、

7 12

D、

5 6

(提示:用估值法,画个草图,立刻发现在 ?AOB 范围内(含在 OB 上)的向量 b 的个数 超过一半些许,选 C,完全没有必要计算) 九、直接解答 并不是所有的选择题都要用间接法求解,一般来讲,高考卷的前 5、6 道选择题本身就属于容易题, 用直接法求解往往更容易;另外,有些选择题也许没有间接解答的方法,你别无选择;或者虽然存在间 接解法,但你一下子找不到,那么就必须果断地用直接解答的方法,以免欲速不达。当然要记得一个原

则,用直接法也要尽可能的优化你的思路,力争小题不大作。 【例题】 、 (07 重庆文 12)已知以 F 1 (?2,0), F 1 (2,0) 为焦点的椭圆与直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 有且仅有 一个交点,则椭圆的长轴长为( A、 3 2 B、 2 6 ) D、 4 2

C、 2 7

【解析】 、 设 长 轴 长 为 2a , 则 椭 圆 方 程 为

x2 y2 ? ?1 , 与 直 线 方 程 联 立 消 去 x 得 a2 a2 ? 4

(4a2 ?12) y2 ? 8 3(a2 ? 4) y ? (16 ? a2 )(a2 ? 4) ? 0 ,由条件知 ? ? 0 ,即
, a ? 2 (舍) ,a ? 7 192(a2 ? 4)2 ?16(a2 ? 3)(16 ? a2 )(a2 ? 4) ? 0 ,得 a ? 0 (舍) ∴ 2a ? 2 7 ,选 C 。 【练习 1】 、函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0)

) =( ) 的部分图象如右,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2009
A、0 B、 2 C、2+ 2 D、2- 2

(提示:直接法。由图知,A=2,

T 2? ? ?x ? 6 ? 2 ? 4 ,? ? ? ,∴ f ( x) ? 2 sin ,由图象关于 2 T 4 4

点 ( 4 , 0 )以及 直线 x ? 2, x ? 4 对称 知: f (1) ? f (2) ? ? ? f (8) ? 0 , 由 2009=251 × 8+1 知 ,

f (1) ? f (2) ? ? ? f (2 0 0 9 ) =0+ f (1) ? 2 sin

?
4

= 2 ,选 B)

【练习 3】 、正方体 AC1 中,E 为棱 AB 的中点,则二面角 C- A 1E -B 的正切值为(



A、

5 2

B、 5

C、 3

D、2

(提示:用直接法。取 C1D1 的中点 F,连接 AF、CF、CE。过点 B 做 A1E 的延长线的垂线于 M,连接 CM ,由 CB ? 面 ABB1A1 , 得 CM ? AE ,所以 ?CMB 就是二面角 C-A1E-B 的平面角,现在设 CB=2 ,则

BM ? EB? sin ? BEM ? 1?

CB 2 ? 5 ,选 B) ,在 Rt△CMB 中, tan ?CMB ? BM 5

【练习 4】 、设 F1 , F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的两个焦点,以 F 1 为圆心,且过椭圆中心的圆与 椭圆的一个交点为 M,若直线 F2 M 与圆 F 1 相切, 则该椭圆的离心率是( A、 2 ? 3 ) C、

B、 3 ? 1

3 2

D、

2 2

(提示:用直接法。由已知可得 MF a? c ,又直线 F2 M 与 1 ? c ,又 MF 1 ? MF2 ? 2a ,∴ MF2 ? 2 圆F ∴ MF ∴M F 12 ? M F 1 相切, 1 ? MF 2, ∵ 0 ? e ? 1 ,∴ e ? 3 ? 1 ,选 B) 【练习 5】 、函数 f ( x) ? ax3 ? (a ?1) x2 ? 48(a ? 2) x ? b 的图象关于原点成中心对称,则 f ( x ) 在 [-4,4]上的单调性是( ) A、增函数 B、 在[-4,0]上是增函数, [0,4]上是减函数 C、减函数 D、 在[-4,0]上是减函数, [0,4]上是增函数 (提示: f ( x ) 的图象关于原点成中心对称, f ( x ) 为奇函数,∴ a ? 1, b ? 0 ,∴ f (x) ?x 3 ?48x , 易知 x ?? ?4, 4? 上 f ' ( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 递减,选 B) 【练习 6】 、 ( x2 ? x ?( ) 1 x2 ) ? ( ) A、-3
8 ? a ?( a0x) 1 ?1 ? (a ) 1 x ? 2 ? ?(2a) 1x ?? 0 1 0 1 2 2

FF ?1 2

2

, 即c 2 ?( 2a ? c) 2?( 2) c

2

, 解得 e ?

c ? ?1 ? 3 , a

, 则 a1 ? a2 ? ? ? a0 1

=

B、3

C、2

D、-2

(提示:令 x ? 1 得 a0 ? 3 ,令 x ? 2 可得 a1 ? a2 ? ? ? a10 ? ?a0 ? ?3 ,选 A)

0 ,( ) 【练习 7】 (06 重庆文 10) 、 若?, ? ?
( ) A、 ?

?
2

, cos(? ?

?
2

)?

? 1 3 sin( ? ? ) ? ? , c ( s , 则o 2 2 2

?)? ? ?

3 2

B、 ?

1 2 ), ∴?

C、

1 2

D、

3 2

(提示: ∵ ? , ? ? (0, (舍)或 ? ? ? ?

?
2

?
4

?? ?

? ?

? , ∴? ? ? ? ; 同理 ? ? ? ? , ∴? ? ? ? 0 2 4 2 6 2 6

?

?

?

?

2 ? ,所以选 B) 3
2

【练习 8】 、 (06 全国Ⅰ理 8)抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离的最小值是( A、



4 3

B、

7 5

C、

8 5

D、3

(提示:设直线 4 x ? 3 y ? m ? 0 与 y ? ? x2 相切,则联立方程知 3x2 ? 4 x ? m ? 0 ,令 ? ? 0 ,有

m?

4 ,∴两平行线之间的距离 d ? 3

4 ?8 ? (? ) 3 32 ? 42

?

4 ,选 A) 3

【练习 9】 、 (06 山东理 8)设 p : x2 ? x ? 20 ? 0, q : A、充分不必要条件 C、充要条件

1 ? x2 ? 0, 则 p 是 q 的( ) x ?2

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

(提示:分别解出 p: x ? 5 或 x ? ?4 ;q: ?1 ? x ? 1 或 x ? ?2 或 x ? 2 ,则显然 p 是 q 的充分不 必要条件,选 A。另外,建议解出 p 以后不要再解 q,以 p 中的特殊值代入即可作出判断) 【 练 习 2 】 如 果 f ( x) 的 定 义 域 为 R ,

f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) , 且 f (1)? l g ? 3 l g, 2

f (2) ? lg3 ? lg5 ,则 f (2008) =(
A、1 B、-1

) D、-lg3-lg5

C、 l g 2 ? l g 3

(提示:2008 是个很大的数,所以立即意识到这应该是一个周期函数的问题!关键是求出周期值。现在 进行现场操作:f(1)=lg3-lg2,f(2)=lg3+lg5,f(3)=f(2)-f(1)=?=1,f(4)= f(3)-f (2)=?lg2-lg3,f(5)= f(4)- f(3)=?-lg5-lg3,f(6)=f(5)- f(4)=?-1,f(7)=f(6) - f(5)=?lg3-lg2= f(1) ,所以周期是 6。 f (2008) =f(334×6+4)= f(4)= lg2-lg3,选 C。


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