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2015-2016学年高中数学 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时作业(含解析)新人教A版必修4


课时作业(二十二)

平面向量数量积

的坐标表示、模、夹角
A 组 基础巩固 1.?2015·四川凉山州高一检测?已知向量 a=(1,n),b=(-1,n),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 2 解析:由(2a-b)·b=0,则 2a·b-|b| =0, 2 2 2 ∴2(n -1)-(1+n )=0,n =3. 2 ∴|a|= 1+n =2,故选 C. 答案:C 2.已知|a|=1,b=(0,2),且 a·b=1,则向量 a 与 b 夹角的大小为( ) π π A. B. 6 4 π π C. D. 3 2 解析:∵|a|=1,b=(0,2),且 a·b=1, a·b 1 1 ∴cos〈a,b〉= = = . 2 |a||b| 1× 0+2 2 ∴向量 a 与 b 夹角的大小为 π . 3

故选 C. 答案:C 3.?2015·重庆市三中高一检测?已知 a,b 为平面向量,a=(4,3),2a+b=(3,18), 则 a,b 夹角的余弦值等于( ) 8 8 A. B.- 65 65 16 16 C. D.- 65 65 解析:∵a=(4,3),∴2a=(8,6). 又 2a+b=(3,18),∴b=(-5,12), ∴a·b=-20+36=16.又|a|=5,|b|=13, 16 16 ∴cos〈a,b〉= = ,故选 C. 5×13 65 答案:C 4.已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c 等 于( ) 7 7? ? 7? ? 7 A.? , ? B.?- ,- ? 9? ?9 3? ? 3 7? ?7 7? ? 7 C.? , ? D.?- ,- ? 3? ?3 9? ? 9 解析:设 c=(x,y), 由(c+a)∥b 有-3(x+1)-2(y+2)=0,① 由 c⊥(a+b)有 3x-y=0,② 7 7 联立①②有 x=- ,y=- , 9 3

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7? ? 7 则 c=?- ,- ?,故选 D. 3? ? 9 答案:D 5.已知向量 a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5 2,则|b|=( ) A. 5 B. 10 C.5 D.25 2 2 2 2 2 解析: ∵|a+b|=5 2, ∴|a+b| =a +2a·b+b =5+2×10+b =(5 2) , ∴|b|=5, 故选 C. 答案:C 6.?2015·辽宁大连市高一统测?已知 a=(-3,2),b=(-1,0),向量 λ a+b 与 a- 2b 垂直,则实数 λ 的值为( ) 1 1 A.- B. 7 7 1 1 C.- D. 6 6 解析:由 a=(-3,2),b=(-1,0),知 λ a+b=(-3λ -1,2λ ),a-2b=(-1,2). 又(λ a+b)·(a-2b)=0,∴3λ +1+4λ =0, 1 ∴λ =- ,故选 A. 7 答案:A 7.?2015·河北衡水中学高二调研?已知向量 a=(1,1),b=(1,a),其中 a 为实数, ? π? O 为原点,当此两向量夹角在?0, ?变动时,a 的取值范围是( ) ? 12? A.(0,1) C.? B.?

? 3 ? , 3? 3 ? ?

? 3 ? ,1?∪(1, 3) D.(1, 3) ?3 ?

→ π 解析:已知OA=(1,1),即 A(1,1)如图所示,当点 B 位于 B1 和 B2 时,a 与 b 夹角为 , 12 π π π π π π π 3? ? 即∠AOB1=∠AOB2= ,此时,∠B1Ox= - = ,∠B2Ox= + = ,故 B1?1, ?, 12 4 12 6 4 12 3 3? ?

B2(1, 3), 又 a 与 b 的夹角不为零, 故 a≠1, 由图易知 a 的取值范围是?

? 3 ? ,1?∪(1, 3), ?3 ?

故选 C. 答案:C 8. 已知|a|=3, |b|=4, 且(a+2b)·(2a-b)≥4, 则 a 与 b 夹角 θ 的范围是________. 2 2 解析:(a+2b)(2a-b)=2a -a·b+4a·b-2b =2×9-3|a||b|cos〈a,b〉-2×16 =-14-3×3×4cos〈a,b〉≥4, 1 ∴cos〈a,b〉≤- , 2 ?2π ,π ?. ∴θ =〈a,b〉∈? ? ? 3 ?

2

答案:?

?2π ,π ? ? ? 3 ?

→ → 9.?2015·贵州贵阳市高一期末?已知向量OA=(1,7)OB=(5,1)(O 为坐标原点)设 M 是 → → 1 函数 y= x 所在直线上的一点,那么MA·MB的最小值是________. 2 → → → → 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? 解析:设 M?x, x?,则MA=?1-x,7- x?,MB=?5-x,1- x?,MA·MB=(1-x)(5 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? 1 1 5 ? ?? ? 2 -x)+?7- x??1- x?= (x-4) -8. ? 2 ?? 2 ? 4 → → 当 x=4 时,MA·MB的最小值为-8. 答案:-8 10.?2015·河北沧州市高一期末?已知向量 a=(-2,1),b=(1,-1),m=a+3b,n =a-kb. (1)若 m∥n,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求 m 与 n 夹角的余弦值. 解析:(1)由题意,得 m=(1,-2),n=(-2-k,1+k). 因为 m∥n,所以 1×(1+k)=-2×(-2-k),解得 k=-3. (2)当 k=2 时,n=(-4,3). m·n 1×?-4?+?-2?×3 2 5 设 m 与 n 的夹角为 θ ,则 cosθ = = 2 =- . 2 2 2 |m||n| 5 1 +?-2? · ?-4? +3 所以 m 与 n 夹角的余弦值为 -2 5 . 5

B 组 能力提升 11.已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|=3,|2a+b|= 37,则 a,b 的夹角为________. 解析:向量 a,b 满足|a|=2,|b|=3,|2a+b|= 37, 2 2 ∴ 4a +4a·b+b 2 2 = 4×2 +3 +4×2×3cos〈a,b〉= 37, 1 化为 cos〈a,b〉= , 2 π ∴〈a,b〉= . 3 π 故答案为 . 3 π 答案: 3 → → → → → 1 2 12 .若等边△ ABC 的边长为 2 3 ,平面内一点 M 满足 CM = CB + CA ,则 MA · MB = 6 3 __________.

解析: 建立如图所示的直角坐标系, 根据题设条件即可知 A(0,3), B(- 3, 0), M(0,2),
3

→ → ∴MA=(0,1),MB=(- 3,-2), → → ∴MA·MB=-2. 答案:-2 13.?2015·福建三明市高一月考?已知平面向量 a=(1, x), b=(2x+3, -x)(x∈R). (1)若 a⊥b,求 x 的值; (2)若 a∥b,求|a-b|的值. 解析:(1)∵a⊥b,∴a·b=0. 2 2 ∴(2x+3)-x =0,即 x -2x-3=0, 解得 x=-1 或 x=3. (2)∵a∥b,∴-x=x(2x+3). 解得 x=0 或 x=-2. 当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0), 2 2 |a-b|= ?-2? +0 =2; 当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4), 2 2 |a-b|= 2 +?-4? =2 5. 综上,|a-b|的值为 2 或 2 5. 14.?2015·华中师大附中高一期末?已知向量 a=(2cosx, 3sinx),b=(cosx,- 2cosx),设函数 f(x)=a·b. (1)求 f(x)的单调增区间; (2)若 tanα = 2,求 f(α )的值. π? ? 2 解析:f(x)=a·b=2cos x-2 3sinxcosx=1+cos2x- 3sin2x=1+2cos?2x+ ? 3? ? π 2π π (1)当 2kπ -π ≤2x+ ≤2kπ 时,f(x)单调递增,解得 kπ - ≤x≤kπ - ,k∈ 3 3 6 Z, 2π π? ? ∴f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ - ?, 3 6? ? k∈Z. 2 (2)f(α )=2cos α -2 3sinα cosα = 2 2cos α -2 3sinα cosα 2-2 3tanα 2-2 6 = = . 2 2 2 sin α +cos α 1+tan α 3 15.?附加题·选做? → → → 平面内有向量OA=(1,7),OB=(5,1),OP=(2,1),点 M 为直线 OP 上的一动点. → → → (1)当MA·MB取最小值时,求OM的坐标; (2)在(1)的条件下,求 cos∠AMB 的值. → 解析:(1)设OM=(x,y),∵点 M 在直线 OP 上, → → → ∴向量OM与OP共线,又OP=(2,1). ∴x×1-y×2=0,即 x=2y. → ∴OM=(2y,y). → → → → 又MA=OA-OM,OA=(1,7),

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→ ∴MA=(1-2y,7-y). → → → 同理MB=OB-OM=(5-2y,1-y). → → 2 于是MA·MB=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y -20y+12. → → → 20 可知当 y= =2 时,MA·MB有最小值-8,此时OM=(4,2). 2×5 → → → → → (2)当OM=(4,2),即 y=2 时,有MA=(-3,5),MB=(1,-1),|MA|= 34,|MB|= 2, → → MA·MB =(-3)×1+5×(-1)=-8. → → MA·MB -8 4 17 cos∠AMB= = =- . → → 17 34× 2 |MA||MB|

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