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2.3等差数列的前n 项和练习


2.3 等差数列的前 n 项和(第 1 课时)
要点精讲 1.数列 {an } 前 n 项和 S n ?

n(a1 ? an ) . 2

2.设等差数列 {an } 的首项是 a1 ,公差是 d ,则通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d .则前 n 项和公式用 首项 a1 、公差 d 表示为 Sn ? na1 ? 范例分析 例 1.在等差数列 {an } 中, (1)已知 a1 ? 3 , a50 ? 101 ,求 S 50 ;

n(n ? 1) d. 2

1 ,求 S10 ; 2 1 3 15 (3)已知 d ? , a n ? , S n ? ? ,求 a 1 及 n 。 2 2 2
(2)已知 a1 ? 3 , d ? (4)已知 等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,若 S12 ? 84, S20 ? 460, 求S28

例 2.一个等差数列的前 10 项之和为 100 ,前 100 项和为 10 ,求它的前 110 项之和.

例 3. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? tn ? ?t ? 1? n ? t ? 3 , 若 ?an ? 是等差数列, 求 t 的值及数列 ?an ?
2

的通项公式.

1

例 4.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? ?62 , S6 ? ?75 , (1)求 an 和 Sn ; (2)求 a1 ? a2 ? a3 ????? a14 ; (3)求 a1 ? a2 ? a3 ????? an .

*规律总结 1.在等差数 列的通项公式与前 n 项和公式中,含有 a 1 , d , n , a n , S n 五个量,只要已知其中的 三个量,就可以求出余下的两个量.即“知三求二” 。 2.将等差数列通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d 代入 S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d. 中,得 Sn ? na1 ? 2 2

3.等差数列 {an } 的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d 是关于 n 的一次函数 an ? pn ? q 的形式;前 n 项和 公 式 Sn ? na1 ?

n( n ? 1 ) d 是 关 于 n 的 二 次 函 数 Sn ? An2 ? Bn 的 形 式 . 对 于 前 n 项 和 2

2 {bn } ,当且仅当 C ? 0 ,数列 {bn } 为等差数列. Tn ? A n ? Bn ? 的数列 C

基础训练 一、选择题 1.在等差数列 {an } 中,公差 d ? 2, S20 ? 60 ,则 S21 等于( ) A、 62 B、 64 C、 84 D、 100 2.一堆摆放成 V 形的铅笔的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比下面一层多放一支,最上面一 层放 120 支,这个 V 形架上共放着铅笔( ) 3630 7260 A、 支 B、 支 C、 14520 支 D、 1815 支 3.等差数列 ?an ? 中, S n 是前 n 项的和,若 S 5 ? 20 ,则 a2 ? a3 ? a4 ? A、15 B 、18 C 、9 D 、12 ( )

4.把正偶数以下列方法分组:(2),(4,6),(8,10,12),?,其中每一组都比它的前一组 多一个数,那么第 11 组的第 2 个数是( ) A、 114 B 、 134 C 、 132 D 、 112

5 .已知数列 {an } 、 {bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、 b1 ,且 a1 ? b1 ? 5 ,

2

,则数列 {cn } 的前 10 项和等于( a1 , b1 ? N * .设 cn ? ab ( n ? N * ) n A. 55 二、填空题 B. 70 C. 85 D. 100



6.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ? 1 ? c ,若 ?an ? 是等差数列,则 c ? 7. 数列 {an } 的通项公式 an ? 2n ? 1, 则由 bn ? 项和是______________. 8.凸 n 边形的各内角的度数成等差数列,最小角为 120 ,公差为 5 ,那么 n 等于 三、解答题 9. (1)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? an2 ? bn ,求证 ?an ? 是等差数列; (2)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求证数列 ?



a1 ? a2 ? ??? ? an (n ? N ? ) 所确定的数列 {bn } 的前 n n


? Sn ? ? 也成等差数列. ?n?

10.在等差数列 ?an ? 中,已知 a6 ? 10, S5 ? 5 , (1)求 a8 和 S8 ; (2)设 bn ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

3

§2.2 等差数列的前 n 项和(第 2 课时)
范例分析 例 1. (1)等差数列 {am } 共有 2 n 项,其中奇数项的和为 90 ,偶数项的和为 72 ,且

a2n ? a1 ? ?33 ,求该数 列的公差 d 。
(2)已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 An 和 Bn ,且

An 7n ? 45 a ,求 n 。 ? Bn n?3 bn

例 2. (1)设 Sn 是等差数列 ?an ? 的 前 n 项和,若 A、 1 B、 ? 1 C 、2

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5
D、



1 2


(2)数列 {an } 是等差数列, S10 ? 0, S11 ? 0 ,则使 an ? 0 的最小的 n 的 值是( A、 5 B、 6 C 、7 D、 8

(3)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? a2 ? a3 ? 12 , an?2 ? an?1 ? an ? 210 , Sn ? 925 , 求 n 的值.

例 3. (1)在等差数列 {an } 中, a4 ? ?15 ,公差 d ? 3 ,求数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 的最小值. (2)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? S12 , 则当公差 d ? 0 时, Sn 有最 值 ;当公差 d ? 0 时, Sn 有最 值 . .

(3)等差数列 {an } 中,公差 d ? 0 , 3a8 ? 5a13 ,则前 n 项和 Sn 取最大值时, n 的值为___

4

例 4.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ? 12 , S12 ? 0 , S13 ? 0 . (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1 , S2 , S3 , ???, S12 中哪一个最大,并说明理由.

等差数列求和裂项相消法
1. 数列 ?

?

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 的前 n 项和 Sn ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 ? n(n ? 1) ?

?

1 , 研究一下, 能否找出 Sn 的 n ? ( n ?1)

一个公式?

2. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 ,则数列 ? ____________.

?

1 ? ? 的前 100 项的和为 ? an a n ?1 ?

100 101
1 ,并且对任意 n ? 3
?

3. 在数列中, a1 ?

, n ? 2 都有 an an?1 ? an ? an?1 成立,令 bn ?

1 (n ? an

?

)

(1) 求数列的 ?bn ? 通项公式; (2) 求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Tn ?n?

规律总结 1.在等差数列 {an } 中,前 n 项和设为 Sn ,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m 依次成等差数列. 2.在等差数列 {an } 中,有关 Sn 的最值问题:

5

(1)当 a1 ? 0 , d ? 0 时,满足 ? (2)当 a1 ? 0 , d ? 0 时,满足 ? (3)由 S n ?

?a m ? 0 的项数 m 使得 Sm 取最大值. ?a m ?1 ? 0 ?a m ? 0 的项数 m 使得 Sm 取最小值. ?a m ?1 ? 0

d 2 d n ? (a1 ? )n 利用二次函数配方法求得取最值时 n 的值. 2 2
(ii)

(4)常见的拆项公式: (i)

1 1 1 1 ? ( ? ); n( n ? k ) k n n ? k

1 ? n ?1 ? n n ?1 ? n

基础训练 一、选择题 1.已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15 ,偶数项之和为 30 ,则其公差为( A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 ) )

2 2.在各项均不为零的等差数列 ?an ? 中,若 an?1 ? an ? an?1 ? 0(n ? 2) ,则 S2n?1 ? 4n ? (

A. ? 2

B. 0

C. 1

D. 2 )

3.等差数列 ?an ? 的前 m 项的和为 30 ,前 2 m 项的和为 100 ,则它的前 3m 项的和为( A. 130 B. 170 C. 210 D. 260

4.设 {an } 是等差数列, Sn 是其前 n 项和,且 S5 ? S6 , S6 ? S7 ? S8 ,则下列结论错误的是( A . S9 ? S 5 B.公差 d ? 0 C. a7 ? 0 D. S6 与 S7 是 Sn 的最大值



5.一群羊中,每只羊的重量数均为整千克数,其总重量为 65 千克,已知最轻的一只羊重 7 千克, 除去一只 10 千克的羊外,其余各只羊的千克数恰能组成一等差数列,则这群羊共有( ) A. 6 只 B. 5 只 C. 8 只 D. 7 只 二、填空题 6.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 An 和 Bn ,且

An 5n ? 3 ,则这两个数列的第 ? Bn 2n ? 1

九项之比

a9 ? b9



7.在等差数列 {an } 中, a1 ? 0 , a5 ? 3a7 ,前 n 项和为 Sn ,若 Sn 取得最大值,则 n ? 三、解答题



8.已知等差数列 ?an ? 的首项为 2 ,前 10 项的和为 15 。记 Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,问 Sn 有无最大值, 若有指出是前几项的和,若没有说明理由。

6

9.设 Sn 等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 S3 与
2

1 3

1 S 4 的等差中项是 1 ,且 4

1 1 ?1 ? S3 ? S4 ? ? S5 ? ,求等差数列 ?an ? 的通项 an . 3 4 ?5 ?

7


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