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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1教案:第2章 知识归纳:立体几何中的向量方法

知识归纳:立体几何中的向量方法
1.直线的方向向量:我们把直线 l 上的向量 a 以及与 a 共线的向量叫做直线 l 的 方向向量. 2.平面的法向量:如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 ? ,则称这 个向量垂直于平面 ? ,记作 a ? ? ,如果 a ? ? ,那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量. 给定一个点,以向量为法向量的平面是完全确定的. 3.空间向量解决立体几何问题的“三步曲”: (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及到的点、 直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离 和夹角等问题; (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. 4.用向量研究空间线面关系,设空间两条直线 l1 , l 2 的方向向量分别为 e1 , e2 ,两 个平面 ?1 , ? 2 的法向量分别为 n1 , n2 ,则有如下结论 平
l1 与 l 2 l1 与 ? 1







e1 // e2 e1 ? n1

e1 ? e2 e1 // n1

?1 与 ? 2

n1 // n2

n1 ? n2

5.用向量法求线线角:AB 与 CD 的夹角和 AB 与 CD 的夹角相等或互补.公式为

cos ? AB, CD ??

AB ? CD . | AB || CD |

6.法向量求线面角:设平面 ? 的斜线 l 与平面 ? 所成的角为 ? 1,斜线 l 与平面

? 的法向量所成角 ? 2, 则 ? 1 与 ? 2 互余或与 ? 2 的补角互余.求出斜线与平面的法向
量所成的角后,即可求出斜线与平面所成的角的大小.公式为

-1-

cos ? AB, n ??

AB ? n . | AB || n |

7.法向量求面面角:一个二面角的平面角 ? 1 与这个二面角的两个半平面的法 向量所成的角 ? 2 相等或互补.求出两平面的法向量所成的角后, 即可求出二面角的 大小.公式为 cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 . | n1 || n2 |

8.向量法求异面直线间的距离: 设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终 点的向量为 a ,与这两条异面直线都垂直的向量为 n ,则两异面直线间的距离是 a 在 n 方向上的正射影向量的模.公式为 d ?
|a?n| |n|

9.向量法求点到平面的距离:设分别以平面外一点 P 与平面内一点 M 为起点 和终点的向量为 a ,平面的法向量为 n ,则 P 到平面的距离 d 等于 a 在 n 方向上正 射影向量的模.公式为 d ?
|a?n| |n|

.

-2-


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