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2018-2019学年高中数学人教版A版必修一学案:第一单元 1.2.2 第1课时 函数的表示法

数学 1.2.2 函数的表示法 函数的表示法 第 1 课时 学习目标 点、难点). 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法(重 预习教材 P19-P20,完成下面问题: 知识点 函数的三种表示方法 表示法 解析法 图象法 列表法 【预习评价】 定义 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 用图象表示两个变量之间的对应关系 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 (正确的打“√”,错误的打“×”) ) ) ) (1)任何一个函数都可以用列表法表示.( (2)任何一个函数都可以用图象法表示.( (3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线.( 提示 (2)× (1)× 如果函数的定义域是连续的数集,则该函数就不能用列表法表示; ?1,x∈Q ? 有些函数的是不能画出图象的,如 f(x)=? ; ?-1,x∈?RQ ? (3)× 1 反例:f(x)=x的图象就不是连续的曲线. 题型一 作函数的图象 【例 1】 作出下列函数的图象: (1)y=x+1(x∈Z); (2)y=x2-2x(x∈[0,3)). 解 (1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线 y=x+1 上,如图(1)所示. 数学 (2)因为 0≤x<3,所以这个函数的图象是抛物线 y=x2-2x 介于 0≤x<3 之间的一部分, 如图(2)所示. 规律方法 作函数图象的步骤及注意点 (1)作函数图象主要有三步:列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域, 再在定义域内化简函数解析式,再列表画出图象. (2)函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意关键点,如图 象与坐标轴的交点、区间端点,二次函数的顶点等等,还要分清这些关键点是实心点还是空 心点. 【训练 1】 画出下列函数的图象: (1)y=x+1(x≤0); (2)y=x2-2x(x>1 或 x<-1). 解 (1)y=x+1(x≤0)表示一条射线,图象如图(1). (2)y=x2-2x=(x-1)2-1(x>1 或 x<-1)是抛物线 y=x2-2x 去掉-1≤x≤1 之间的部分后 剩余曲线.如图(2). 题型二 列表法表示函数 【例 2】 已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出 x f(x) x g(x) 1 1 1 3 2 3 2 2 3 1 3 1 则 f(g(1))的值为________;满足 f(g(x))>g(f(x))的 x 的值是________. 解析 ∵g(1)=3,∴f(g(1))=f(3)=1. f(g(x))与 g(f(x))与 x 相对应的值如下表所示: x f(g(x)) 1 1 2 3 3 1 数学 g(f(x)) ∴f(g(x))>g(f(x))的解为 x=2. 答案 1 2 3 1 3 规律方法 列表法表示函数的相关问题的解法 解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数, 对于 f(g(x))这类函数值的求解, 应从内 到外逐层求解,而求解不等式,则可分类讨论或列表解决. 【训练 2】 已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出 x f(x) x g(x) (1)f[g(1)]=__________; (2)若 g[f(x)]=2,则 x=__________. 解析 (1)由表知 g(1)=3, 1 2 1 3 2 1 2 2 3 1 3 1 ∴f[g(1)]=f(3)=1; (2)由表知 g(2)=2,又 g[f(x)]=2,得 f(x)=2, 再由表知 x=1. 答案 (1)1 (2)1 考查方向 方向 1 待定系数法求函数解析式 【例 3 - 1】 ________. (2) 已知 f(x) 是二次函数且满足 f(0) = 1 , f(x + 1) - f(x) = 2x ,则函数 f(x) 的解析式为 ________. 解析 (1)设 f(x)= kx+b(k≠0), 则 f(f(x))= k(kx+b)+b=k2x+kb+b=16x- 25,所以 (1) 已知 f(x) 是一次函数,且 f(f(x)) = 16x- 25,则函数 f(x)的解析式为 题型三 求函数的解析式 2 ? ?k =16, 25 ? 解得 k=4,b=-5 或 k=-4,b= , 3 ?kb+b=-25, ? 所以 f(x)=4x-5 或 f(x)=-4x+ 25 . 3 (2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由 f(0)=1 得 c=1,则 f(x)=ax2+bx+1,f(x+1)-f(x)= [a(x+1)2+b(x+1)+1]-(ax2+bx+1)=2ax+a+b=2x. 数学 ? ?2a=2, 故得? 解得 a=1,b=-1,故得 f(x)=x2-x+1. ?a+b=0 ? 答案 (1)f(x)=4x-5 或 f(x)=-4x+ 25 3 (2)f(x)=x2-x+1 方向 2 换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式 【例 3-2】 (1)已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的解析式; (2)已知 f(x)+2f(-x)=x2+2x,求 f(x). 解 (1)法一 (换元法):令 t= x+1,则 x=(t-1)2,t≥1,所以 f(t)=(t-1)2+2(t-1) =t2-1(t≥1), 所以 f(x)的解析式为 f(x)=x2-1(x≥1). 法二 (配凑法):f( x+1)=x+2 x=x+2 x+1-1=( x+1)2-1. 因为 x+1≥1,所以 f(x)的解析式为 f(x)=x2-1(x≥1). (2)∵f(x)+2f(-x)=x2+2x,① ∴将 x 换成-x,得 f(-x)+2f(x)=x2-2x.② ∴由①②得 3f(x)=x2-6x, 1 ∴f(x)= x2-2x. 3 规律方法 求函数解析式的类型及方法 (1)若已知所要求的解析式 f(x)的类型,可用待

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