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高中数学第一章三角函数1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象1课时训练苏教版必修

1.3.3

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象(一)

课时目标 1. 了解 φ 、 ω、 A 对函数 f(x)=Asin(ω x+φ )的图象的影响.2.掌握 y=sin x 与 f(x) =Asin(ω x+φ )图象间的变换关系.

用“图象变换法”作 y=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0)的图象 1.φ 对 y=sin(x+φ ),x∈R 的图象的影响 y = sin(x + φ ) (φ ≠0) 的 图 象 可 以 看 作 是 把 正 弦 曲 线 y = sin x 上 所 有 的 点 ________(当 φ >0 时)或________(当 φ <0 时)平行移动________个单位长度而得到. 2.ω (ω >0)对 y=sin(ω x+φ )的图象的影响 函数 y=sin(ω x+φ )的图象,可以看作是把 y=sin(x+φ )的图象上所有点的横坐标 ________(当 ω >1 时)或________(当 0<ω <1 时)到原来的________倍(纵坐标________) 而得到. 3.A(A>0)对 y=Asin(ω x+φ )的图象的影响 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象, 可以看作是把 y=sin(ω x+φ )图象上所有点的纵坐标 ________(当 A>1 时)或________(当 0<A<1 时)到原来的______倍(横坐标不变)而得到, 函数 y=Asin x 的值域为________,最大值为________,最小值为________. 4.函数 y=sin x 的图象到函数 y=Asin(ω x+φ )的图象的变换过程.

一、填空题

x ?x π ? 1.要得到 y=sin? + ?的图象,只要将函数 y=sin 的图象向左平移________个单 2 ?2 3 ? 位. π? π ? 2 . 将 函 数 y = sin ?2x+ ? 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 , 所 得 函 数 的 解 析 式 为 6 6 ? ? ____________. 3.为得到函数 y=cos x 的图象,可以把 y=sin x 的图象向右平移 φ 个单位得到,那 么 φ 的最小正值是__________. π? ? ? π ? 4.函数 y=sin?2x- ?在区间?- ,π ?上的简图是________.(填正确图象的代码) 3? ? ? 2 ?

? π? 5.为得到函数 y=cos?x+ ?的图象,只需将函数 y=sin x 的图象________. 3? ? π ①向左平移 个单位长度; 6 π ②向右平移 个单位长度; 6 5π ③向左平移 个单位长度; 6 5π ④向右平移 个单位长度. 6 π 6.将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横 10 坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是 _______________________. π 7.把函数 y=sin x (x∈R)的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度,再把所得 3 1 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到的图象所表示的函数的解析 2 式是________. π 8.把函数 y=3sin(ω x+φ ) (ω >0,|φ |≤π )的图象向左平移 个单位,再将图象 6 的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的解析式为 y=3sin x, 则 ω =________,φ =________. 9.某同学给出了以下论断: π ①将 y=cos x 的图象向右平移 个单位,得到 y=sin x 的图象; 2 ②将 y=sin x 的图象向右平移 2 个单位,可得到 y=sin(x+2)的图象; ③将 y=sin(-x)的图象向左平移 2 个单位,得到 y=sin(-x-2)的图象; π? π ? ④函数 y=sin?2x+ ?的图象是由 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位而得到的. 3? 3 ? 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上). π? 4 ? 10.设 ω >0,函数 y=sin?ω x+ ?+2 的图象向右平移 π 个单位后与原图象重合, 3 3 ? ? 则 ω 的最小值是__________. 二、解答题 π? ? 11.请叙述函数 y=cos x 的图象与 y=-2cos?2x+ ?+2 的图象间的变换关系. 6? ?

12.已知函数 f(x)=sin?

?π -2x? (x∈R). ? ?3 ?

(1)求 f(x)的单调减区间; (2)经过怎样的图象变换使 f(x)的图象关于 y 轴对称?(仅叙述一种方案即可).

能力提升 π? ? 13.要得到 y=cos?2x- ?的图象,只要将 y=sin 2x 的图象________. 4? ? π ①向左平移 个单位; 8 π ②向右平移 个单位; 8 π ③向左平移 个单位; 4 π ④向右平移 个单位. 4 1 14.使函数 y=f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩小到原来的 倍,然后 2 π 再将其图象沿 x 轴向左平移 个单位得到的曲线与 y=sin 2x 的图象相同,则 f(x)的 6 表达式为____________________.

1.由 y=sin x 的图象,通过变换可得到函数 y=Asin(ω x+φ )的图象,其变化途径 有两条: 相位变换 周期变换 振幅变换 (1)y=sin x ― ― → y = sin(x+φ ) ― ― → y= sin(ω x+ φ ) ― ― → y= Asin(ω x +φ ). φ 周期变换 相位变换 振幅变换 (2)y=sin x ― ― → y=sin ω x ― ― → y=sin[ω (x+ )]=sin(ω x+φ ) ― ― → ω y=Asin(ω x+φ ). 注意:两种途径的变换顺序不同,其中变换的量也有所不同:(1)是先相位变换后周期 |φ | 变换,平移|φ |个单位.(2)是先周期变换后相位变换,平移 个单位,这是很容易 ω 出错的地方,应特别注意. 2.类似地 y=Acos(ω x+φ ) (A>0,ω >0)的图象也可由 y=cos x 的图象变换得到.

1.3.3

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象(一)

知识梳理 1.向左 向右 |φ | 1 2.缩短 伸长 不变 ω 3.伸长 缩短 A [-A,A] A -A 4.y=sin(x+φ ) y=sin(ω x+φ ) y=Asin(ω x+φ ) 作业设计 2 1. π 2.y=cos 2x 3 3 3. π 2 ?π ? ? π? 解 析 y = sin x = cos ? -x? = cos ?x- ? 向 右 平 移 φ 个 单 位 后 得 y = 2? ?2 ? ? π? ? cos?x-φ - ?, 2? ? π ∴φ + =2kπ ,k∈Z, 2 π ∴φ =2kπ - ,k∈Z. 2 3 ∴φ 的最小正值是 π . 2 4.① π π 解析 由各图象特点,知可选用- 和 这两个特殊值来断定. 2 6 π? π 3 ? 当 x=- 时,y=sin?-π - ?= ; 3 2 2 ? ? π 当 x= 时,y=sin 0=0. 6 符合这两个特点的只有①. 5.③ ? π? 解析 ∵y=sin x=cos?x- ?, 2? ? π 5π π 又 x- + = +x, 2 6 3 5π ? π? ∴只需将 y=sin x 的图象向左平移 个单位长度,便可得到 y=cos?x+ ?的图象. 3? 6 ? ?1 π ? 6.y=sin? x- ? ?2 10?

解析 π ?横坐标伸长到原来的2倍 ― ― → 纵坐标不变 ? ?1 π ? y=sin ? x- ?. ?2 10? π? ? 7.y=sin?2x+ ? 3? ?

y=sin?x- ? 10

? ?

π ? π? 解析 将 y=sin x 图象上的所有的点向左平移 个单位长度得到 y=sin?x+ ?.再将 3? 3 ? π 1 ? ? 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,得 y=sin?2x+ ?. 3? 2 ? π 8.2 - 3

解析

y=3sin 2?x- ?=3sin?2x- ?, 6 3

? ?

π?

?

? ?

π?

?

π ∴ω =2,φ =- . 3 9.①③ 3 10. 2 4 解析 向右平移 π 得 3 4 ? ? ? π? y=sin?ω ?x-3π ?+ ?+2 ? 3? ? ? π 4 π ? ? =sin?ω x+ - ω ?+2. 3 3 ? ? 4π 因为与原函数图象相同,故- ω =2nπ (n∈Z), 3 3 3 ∴ω =- n(n∈Z),∵ω >0,∴ω min= . 2 2 π ? ? 11.解 ∵y=-2cos?2x+ ?+2 6? ? 7π ? ? =2cos?2x+ ?+2 6 ? ? ? 7π ? =2cos 2?x+ ?+2 12 ? ? 1 先将 y=cos x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,则得到 y=cos 2x 2 的图象. 7π 再将 y=cos 2x 的图象向左平移 个单位, 12 7 π 7π ? 7π ? ? ? ?? ? ? 则得到 y=cos?2?x+ ??,即 y=cos?2x+ ?的图象,再将 y=cos?2x+ ?的图象 12 ?? 6 ? 6 ? ? ? ? ? 7 π ? ? 上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变,即得函数 y=2cos?2x+ ?的图象. 6 ? ? 最后,沿 y 轴向上平移 2 个单位所得图象即是 7π ? ? y=2cos?2x+ ?+2 的图象. 6 ? ? π? ? 即得到函数 y=-2cos?2x+ ?+2 的图象. 6? ? π? ? 12.解 (1)由已知函数化为 y=-sin?2x- ?.欲求函数的单调递减区间,只需求 y 3? ?

π? ? =sin?2x- ?的单调递增区间. 3? ? π π π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 3 2 π 5 解得 kπ - ≤x≤kπ + π (k∈Z), 12 12 π 5 ? ? ∴原函数的单调减区间为?kπ - ,kπ + π ? (k∈Z). 12 12 ? ? π π π ? ? ?? ? ? (2)f(x)=sin? -2x?=cos? -? -2x?? ?? ?3 ? ?2 ?3 π? ? ? π? =cos?2x+ ?=cos 2?x+ ?. 6? ? ? 12? ∵y=cos 2x 是偶函数,图象关于 y 轴对称, π ∴只需把 y=f(x)的图象向右平移 个单位即可. 12 13.① π? ?π ? ? 解析 y=sin 2x=cos? -2x?=cos?2x- ? 2? ?2 ? ?

? ? π? π? ? ? π ?? =cos?2?x- ??=cos?2?x- ?- ? 8? 4? 4 ?? ? ? ? ? π π π π y=cos[2(x- + )- ]=cos(2x- ). 8 8 4 4 π ? ? 14.y=sin?x- ? 3? ? 解析 方法一 正向变换

y=f(x)

? ? π ?? y=f?2?x+ ??,

6 ?? ? ? π? ? 即 y=f?2x+ ?, 3? ? π? ? 所以 f?2x+ ?=sin 2x. 3? ? π π 令 2x+ =t,则 2x=t- , 3 3 ? π? ? π? ∴f(t)=sin?t- ?,即 f(x)=sin?x- ?. 3? 3? ? ? 方法二 逆向变换 据题意,

y=sin 2?x- ?=sin?2x- ? 6 3

? ?

π?

?

? ?

π?

?

横坐标伸长到原来的2倍 ? π? ― ― → y=sin?x- ?. 纵坐标不变 3? ?


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