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【创新设计】2013-2014版高中数学 1-2-1-1函数及其表示课件 新人教A版必修1


1.2

函数及其表示

1.2.1 函数的概念
【课标要求】 1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素. 2.能正确使用区间表示数集.

3.会求一些简单函数的定义域、函数值.
【核心扫描】 1.函数的概念,求函数的定义域.(重点) 2.对函数符号y=f(x)的理解.(难点) 3.函数相等的判定.(易混点)

新知导学

1.函数的概念

定义域:自变量x的取值范围A叫函数定义域.
值域:函数值的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函数的值域.

温馨提示:函数的定义域、值域、对应关系三者缺一不 可,f(x)的含义:f(x)是一个符号,不是f与x的乘积,其中

“f”表示对应关系 .

2.区间概念(a,b为实数,且a<b)

定义

名称

符号

数轴表示

{x|a≤x≤b}

闭区间

[a,b] . (a,b)

{x|a<x<b}

开区间

.

{x|a≤x<b} {x|a<x≤b}

半开半闭区间 半开半闭区间

[a,b)

.

(a,b] .

温馨提示:(1)区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号

表示,是集合的另一种表达形式;(2)在用区间表示集合时,
开和闭不能混淆,能取到端点值用“闭”,不能取到端点值 用“开”,用“∞”作为区间端点时,要用开区间符号.

3.函数相等 如果两个函数 定义域 相同,并且 对应关系 完全一致,

我们称这两个函数相等.

互动探究 探究点1 理解函数f:A→B的概念应把握哪几个关键词? 提示 (1)A、B为非空数集.

(2)“A中任意一个数x”,“B中都有唯一确定的数f(x)”.

探究点2 函数f(x)与f(a)(a为常数)有什么区别与联系?
提示 f(x) 是自变量 x 的函数,一般情况下, f(x) 是一个变量;

f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量. 探究点3 数集是否都可以用区间表示吗? 提示 不是.不连续的数集不能用区间表示,如整数集、自

然数集等.

类型一

函数概念的应用

【例 1】 (1)设 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四 个图形, 其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ). ).

(2)与函数 y=x+1 相等的函数是( A.y=(x+1)0 C.y=( x+1)2 B.y=t+1 D.y=|x+1|

[思路探索] (1)由函数的概念判断,对于集合 A 中的任意一个 数 x,按照某种对应关系,在集合 B 中都有唯一的数 f(x)与之 对应,就是从 A 到 B 的函数.(2)根据函数相等的条件判定.

解析

(1)x=2时,在N中无元素与之对应,不满足存在性,

①错;②既满足存在性,同时满足惟一性,②正确;③中,
x=2时,对应元素y=3?N,不满足存在性,③错.④中,x =1时,在N中有两个元素与之对应,不满足唯一性,④不正 确. (2)A 、 C 选 项 中 定 义 域 与 y = x + 1 不 同 ; D 项 对 应 关 系 不

同.对于B,尽管自变量不一样,但定义域、对应关系均相
同,二者表示相等函数. 答案 (1)B (2)B

[规律方法]

1.判断一个对应关系是否是函数,要从以下方

面去判断,即A、B必须是非空数集,A中任一元素在 B中有
且只有一个元素与其对应. 2 .当且仅当定义域和对应关系完全相同时,两个函数相 等.

【活学活用 1】 (1)下列式子中不能表示函数 y=f(x)的是 ( A.x=y2+1 B.y=2x2+1 C.x-2y=6 D.x= y (2)下列各组函数表示相等函数的是( x2-9 A.y= 与 y=x+3 x-3 B.y= x2-1 与 y=x-1 C.y=x0(x≠0)与 y=1(x≠0) D.y=2x+1,x∈Z 与 y=2x-1,x∈Z ). ).

解析

(1)A 中由 x=y2+1 得:y=± x-1,当 x≥1 时,任意

一个 x 对应两个 y 值,不是函数. (2)A 中两函数定义域不同,B、D 对应关系不同,C 正确. 答案 (1)A (2)C

类型二

求函数的定义域

【例 2】 求下列函数的定义域: ?x+1?2 x+1 (1)y= - 1-x;(2)y= . x+1 |x|-x [思路探索]



(1)要使函数有意义,需满足
? ?x≠-1, 即? ? ?x≤1,

? ?x+1≠0, ? ? ?1-x≥0,

所以函数的定义域为{x|x≤1,且 x≠-1}. (2)要使函数有意义,必须满足 |x|-x≠0,即|x|≠x,∴x<0.∴函数的定义域为{x|x<0}.

[规律方法]

1.第(1)题易出现y=x+1-

,错求定义

域{x|x≤1},在求函数定义域时,不能盲目对函数式变形.
2. (1)求函数的定义域,其实质是以使函数的表达式所含运 算有意义为准则,其原则有:①分式中分母不为零;②偶次 根式中,被开方数非负;③对于y=x0要求x≠0.④实际问题中 函数定义域,要考虑实际意义.(2)函数的定义域一定要用集

合或区间的形式表示.

【活学活用 2】 求下列函数的定义域: 1 (1)y= x+2+ 2 ; x -x-6 ?x-1?0 (2)y= . |x|+x



(1)要使函数式有意义,有
? ?x≥-2, 即? ? ?x≠-2,且x≠3,

? ?x+2≥0, ? 2 ? ?x -x-6≠0,

得 x>-2,且 x≠3.

∴所求函数的定义域是(-2,3)∪(3,+∞). (2)要使函数有意义,需满足
? ?x-1≠0, ? ? ?|x|+x≠0, ? ?x≠1, 即? ? ?x>0,

∴x>0 且 x≠1, ∴原函数的定义域为{x|x>0 且 x≠1}.

类型三

求函数值

1 【例 3】 已知 f(x)= (x∈R,且 x≠-1),g(x)=x2+2(x∈ 1+x R). (1)求 f(2)、g(2)的值; (2)求 f[g(3)]的值. [思路探索 ] → 求f[g?3?] 令x=2代入f?x?、g?x? → 得出f?2?、g?2? → 求g?3?



1 (1)∵f(x)= , 1+x

1 1 ∴f(2)= = . 1+2 3 又∵g(x)=x2+2, ∴g(2)=22+2=6. (2)∵g(3)=32+2=11, 1 1 ∴f[g(3)]=f(11)= = . 1+11 12

[ 规律方法 ]

1. 已知 f(x) 的表达式时,只需用 a 替换表达式中

的x即得f(a)的值.
2.求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则. 3.注意:用来替换表达式中 x的数 a 必须是函数定义域内的 值,否则函数无意义.

x+1 【活学活用 3】 已知函数 f(x)= . x+2 (1)求 f(2);(2)求 f[f(1)]. 解 x+1 ∵f(x)= , x+2

2+1 3 ∴(1)f(2)= = . 2+2 4 2 ?2? 3+1 5 1+1 2 (2)f(1)= = ,f[f(1)]=f?3?= = . 3 2 8 1+2 ? ? +2 3

易错辨析

函数定义域逆向问题,考虑不全 致误

2kx-8 【示例】 已知函数 y= 2 2 的定义域为 R,求实数 k k x +3kx+1 的值. [错解] 函数的定义域为 R, 即 k2x2+3kx+1≠0 对任意的实数 x 恒成立, ∴Δ=9k2-4k2<0,此时 5k2<0,无解,∴k 值不存在.

[错因分析]

忽视 k=0 时情况讨论,误认为 f(x)=k2x2+3kx

+1 一定是二次函数. [正解] 问题转化为:求使 k2x2+3kx+1≠0 成立的 k 的值. -8 (1)k=0 时,y= =-8,定义域为 R,∴k=0 符合题意. 1 (2)k≠0 时,k2>0, ∴k2x2+3kx+1≠0,即 Δ=9k2-4k2<0,此时 5k2<0,无解. 2kx-8 综上,k=0 时函数 y= 2 2 的定义域为 R. k x +3kx+1

[防范措施]

1.已知函数的定义域,逆向求解函数中参数的

取值,常转化为方程或不等式的解的问题.
2.本题中k2x2+3kx+1≠0对x∈R恒成立,注意二次项系数k2 的讨论,不可掉以轻心.

课堂达标

1.已知函数f(x)=2x-1,则f(x+1)等于
( A.2x-1 C.2x+1 解析 B.x+1 D.1 ).

f(x+1)=2(x+1)-1=2x+1.

答案

C

x-1 2.(2013· 嘉兴高一检测)函数 f(x)= 的定义域为( x-2 A.[1,2)∪(2,+∞) C.[1,2) 解析 B.(1,+∞) D.[1,+∞)

).

? ?x-1≥0, 由题意可知, 要使函数有意义, 需满足? ? ?x-2≠0,



x≥1 且≠2. 答案 A

3.集合{x|-1≤x<0或1<x≤2}用区间表示为________.

解析
答案

结合区间的定义知,用区间表示为[-1,0)∪(1,2].
[-1,0)∪(1,2]

4 . 函 数 y = x2 - 2x 的 定 义 域 为 {0,1,2,3} , 那 么 其 值 域 为
________. 解析 由函数的定义可知,当x=0时,y=0,

当x=1时,y=1-2=-1, 当x=2时,y=4-4=0, 当x=3时,y=9-6=3, ∴值域为{-1,0,3}.

答案

{-1,0,3}

6 5.(2013· 云浮高一检测)已知函数 f(x)= - x+4, x-1 (1)求函数 f(x)的定义域(用区间表示); (2)求 f(-1),f(12)的值. 解 (1)根据题意知 x-1≠0 且 x+4≥0,

∴x≥-4 且 x≠1, 即函数 f(x)的定义域为[-4,1)∪(1,+∞). 6 (2)f(-1)= - -1+4=-3- 3. -2 6 6 38 f(12)= - 12+4= -4=- . 11 11 12-1

课堂小结 1.对函数相等的概念的理解: (1)函数有三个要素:定义域、值域、对应关系.函数的 定义域和对应关系共同确定函数的值域,因此当且仅当

两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函
数才是同一个函数. (2)定义域和值域都分别相同的两个函数,它们不一定是 同一函数,因为函数对应关系不一定相同.如y=x与y= 3x 的定义域和值域都是 R ,但它们的对应关系不同,所

以是两个不同的函数.

2.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应

的实数的取值集合,即用端点所对应的数、“+∞”(正
无穷大)、“-∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆 括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合.如 {x|a<x≤b}=(a,b],{x|x≤b}=(-∞,b]是数集描述法的 变式.


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