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2018版高考一轮总复习数学(文)模拟演练 解答题专项训练5 Word版含答案

解答题专项训练五 1.已知抛物线 C:x =4y 的焦点为 F,过点 K(0,-1)的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点, 点 A 关于 y 轴的对称点为 D. (1)证明:点 F 在直线 BD 上; 8 (2)设FA·FB= ,求直线 BD 的直线方程. 9 解 2 2 → → (1)证明: 设 A(x1, y1), B(x2, y2), D(-x1, y1), l 的方程为 y=kx-1, 由? ?y=kx-1, ? ? ?x =4y, 2 得 x -4kx+4=0, 从而 x1+x2=4k,x1x2=4. 直线 BD 的方程为 y-y1= 2 y2-y1 (x+x1), x2+x1 x1 x2-x1 即 y- = (x+x1), 4 4 令 x=0,得 y= → → (2)因为FA·FB=(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=x1x2+(y1-1)(y2-1)=8-4k ,故 8-4k 8 4 = ,解得 k=± , 9 3 所以 l 的方程为 4x-3y-3=0 或 4x+3y+3=0. 4 2 又由(1)得 x2-x1=± 16k -16=± 7, 3 故直线 BD 的斜率为 3=0. 2.已知动点 P 到直线 l:x=-1 的距离等于它到圆 C:x +y -4x+1=0 的切线长(P 到切点的距离).记动点 P 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程; (2)点 Q 是直线 l 上的动点,过圆心 C 作 QC 的垂线交曲线 E 于 A,B 两点,设 AB 的中点 |QD| 为 D,求 的取值范围. |AB| 解 (1)由已知得,圆心为 C(2,0),半径 r= 3. 2 2 2 2 x1x2 4 =1,所以点 F 在直线 BD 上. x2-x1 4 =± 7 ,因而直线 BD 的方程为 7x-3y+3=0 或 7x+3y- 3 设 P(x,y),依题意可得|x+1|= 故曲线 E 的方程为 y =6x. (2)设直线 AB 的方程为 my=x-2, 2 x- 2 +y -3,整理得 y =6x. 2 2 则直线 CQ 的方程为 y=-m(x-2), 可得 Q(-1,3m).将 my=x-2 代入 y =6x 并整理,可得 y -6my-12=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=6m,y1y2=-12,D(3m +2,3m),|QD|=3m +3. |AB|=2 3 所以? ∈? +m 2 2 2 2 2 2 m2+ , ?|QD|?2= ? ?|AB|? 3m +3 m2+ 1 ? 1? = ?1- 2 ? 4? 3m +4? ? 3 ,1?,故|QD|∈? 3 1?. ? ? , ? |AB| ? 4 2? ?16 4? x2 y2 a b 3.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F,过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B → (1)求椭圆 C 的离心率; 21 (2)如果|AB|= ,求椭圆 C 的方程. 4 解 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2), → → → 两点,直线 l 的倾斜角为 45°,AF=2FB. 由直线 l 的倾斜角为 45°及AF=2FB,可知 y1<0,y2>0.直线 l 的方程为 y=x-c,其中 c= a2-b2, y=x-c, ? ? 2 2 联立?x y 2+ 2=1, ? ?a b -b 解得 y1= → → 2 2 得(a +b )y +2b cy-b =0, 2 2 2 2 4 2 c+ 2a -b c- 2a ,y2= . 2 a +b a2+b2 因为AF=2FB,所以-y1=2y2, 即 2 b2 c+ 2a -b c- 2a c 2 =2× ,求得离心率 e= = . 2 2 2 2 a +b a +b a 3 (2)因为|AB|= 2|y2-y1|,所以 由 = 4ab 21 , 2 2= a +b 4 2 c a 2 7 7 21 ,得 b= a,所以 a= ,得 a=3,b= 7, 3 3 4 4 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 9 7 x2 y2 4.如图,设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF| -1. 2 (1)求 p 的值; (2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交 于点 N,AN 与 x 轴交于点 M.求 M 的横坐标的取值范围. 解 (1)由题意可得,抛物线上的点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x=-1 的距离, 由抛物线的定义得 =1,即 p=2. 2 (2)由(1)得,抛物线方程为 y =4x,F(1,0), 可设 A(t 2t),t≠0,t≠±1. 因为 AF 不垂直于 y -4sy-4=0, 2? ?1 故 y1y2=-4,所以 B? 2,- ?. ? ?y =4x, 轴,可设直线 AF:x=sy+1(s≠0),由? ?x=sy+1 ? 2 2, 2 p 消去 x,得 y 2 ?t t? 又直线 AB 的斜率为 2t t -1 ,故直线 FN 的斜率为- . t -1 2t 2 2 2? t2-1 2 ? t +3 (x-1),直线 BN:y=- ,所以 N? 2 ,- ?. t? 2t t ?t -1 2 从而得直线 FN:y=- 2t 设 M(m,0),由 A,M,N 三点共线,得 2 = t -m 经检验,m<0 或 m>2 满足题意. 2t ,于是 m= 2 .所以 m<0 或 m>2. 2 t + 3 t -1 t2 - 2 t -1 2 2t+ t 2 综上,点 M 的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞). 5.已知动点 P 到定点 F(1,0)和到直线 x=2 的距离之比为

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