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2012届高考数学二轮复习精品课件(课标版)专题7 第22讲 函数与方程思想和数形结合思想


专题七

数学思想方法

第22讲 第23讲

函数与方程思想和数形结合思想 分类与整合思想和化归与转化思想

专题七

数学思想方法

专题七 │ 知识网络构建
知识网络构建

专题七 │ 考情分析预测
考情分析预测 考向预测
对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查, 考 对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查, 查时必须要与数学知识相结合,高考命题是通过数学知识的考查, 查时必须要与数学知识相结合,高考命题是通过数学知识的考查,来反映对数学思 想方法的理解和掌握程度.四种数学思想方法是每年高考的必考内容, 想方法的理解和掌握程度.四种数学思想方法是每年高考的必考内容,是高考考查 的重点,各种题型都有,难度中等偏上. 的重点,各种题型都有,难度中等偏上. (1)与函数和方程思想有关的常见题型有:①与不等式、方程有关的最值问题; 与函数和方程思想有关的常见题型有: 与不等式、方程有关的最值问题; 与函数和方程思想有关的常见题型有 建立目标函数,求最值或最优解问题; 在含有多个变量的问题中, ②建立目标函数,求最值或最优解问题;③在含有多个变量的问题中,选择合适的 自变量构造函数解题; 实际应用问题,建立函数关系,利用函数性质、导数、 自变量构造函数解题;④实际应用问题,建立函数关系,利用函数性质、导数、不 等式性质等知识解答; 利用函数思想解决数列中的问题. 等式性质等知识解答;⑤利用函数思想解决数列中的问题. (2)与数形结合思想有关的常见题型:①集合间关系利用韦恩图求解;②以数 与数形结合思想有关的常见题型: 集合间关系利用韦恩图求解; 与数形结合思想有关的常见题型 学公式、数学概念的几何意义、函数图象为载体的综合题,如截距、斜率、距离、 学公式、数学概念的几何意义、函数图象为载体的综合题,如截距、斜率、距离、 导数的几何意义,借助图象求解. 导数的几何意义,借助图象求解.

专题七 │ 考情分析预测

(3)与分类与整合思想有关的常见题型:①含有参数的函数性质问 与分类与整合思想有关的常见题型: 与分类与整合思想有关的常见题型 交点问题; 对由数学概念引起的分类讨论问题,如对指数函数、 题、交点问题;②对由数学概念引起的分类讨论问题,如对指数函数、 对数函数的底数的讨论,对一元二次不等式的二次项系数的讨论; 对数函数的底数的讨论,对一元二次不等式的二次项系数的讨论;③ 由公式定理引起的讨论问题,如绝对值、等比数列前n项和的计算问 由公式定理引起的讨论问题,如绝对值、等比数列前 项和的计算问 题. (4)与转化与化归思想有关的常见题型:①未知转化为已知 复杂转 与转化与化归思想有关的常见题型: 未知转化为已知(复杂转 与转化与化归思想有关的常见题型 化为简单); 函数与方程的相互转化; 正与反、一般与特殊的转化, 化为简单 ;②函数与方程的相互转化;③正与反、一般与特殊的转化, 即正难则反、特殊化原则; 空间与平面的相互转化; 即正难则反、特殊化原则;④空间与平面的相互转化;⑤常量与变量 的转化; 数与形的转化; 相等与不等的相互转化; 的转化;⑥数与形的转化;⑦相等与不等的相互转化;⑧实际问题与 数学模型的转化. 数学模型的转化.

专题七 │ 考情分析预测
备考策略
二轮复习时,要有效地掌握以下几个方面: 二轮复习时,要有效地掌握以下几个方面: 数学思想与方法是通过数学知识体现的,在复习中,要养成利用数学思想分析问题、 数学思想与方法是通过数学知识体现的,在复习中,要养成利用数学思想分析问题、思 考问题、解答问题的习惯意识. 考问题、解答问题的习惯意识. (1)对于函数与方程思想,在解题中要善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解 对于函数与方程思想, 对于函数与方程思想 在解题中要善于挖掘题目中的隐含条件, 析式和妙用函数与方程的相互转化的关系是应用函数与方程思想解题的关键. 析式和妙用函数与方程的相互转化的关系是应用函数与方程思想解题的关键. (2)数形结合的实质是把抽象的数学语言和直观的图象语言结合起来,即将代数问题 数形结合的实质是把抽象的数学语言和直观的图象语言结合起来, 数形结合的实质是把抽象的数学语言和直观的图象语言结合起来 几何化,几何问题代数化.在运用数形结合思想分析问题时,要注意三点: 几何化,几何问题代数化.在运用数形结合思想分析问题时,要注意三点:①理解一些 概念与运算法则的几何意义以及曲线的代数特征, 概念与运算法则的几何意义以及曲线的代数特征,对题目中的条件和结论既分析其几何 意义,又分析其代数意义; 恰当设参、合理用参,建立关系,由形思数,以数想形, 意义,又分析其代数意义;②恰当设参、合理用参,建立关系,由形思数,以数想形, 做好数形转化; 确定参数的取值范围,参数的范围决定图形的范围. 做好数形转化;③确定参数的取值范围,参数的范围决定图形的范围. (3)分类与整合思想实质上是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略.利 分类与整合思想实质上是“ 分类与整合思想实质上是 化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略. 用好分类与整合思想可以优化解题思路,降低问题难度. 用好分类与整合思想可以优化解题思路,降低问题难度.复习中要养成分类与整合的习 常见的分类情形有:概念分类型,运算需要型,参数变化型,图形变动型. 惯,常见的分类情形有:概念分类型,运算需要型,参数变化型,图形变动型. (4)转化与化归思想是高中数学学习中最基本、最重要的思想方法,它无处不在.比 转化与化归思想是高中数学学习中最基本、 转化与化归思想是高中数学学习中最基本 最重要的思想方法,它无处不在. 解不等式时,将分式不等式转化为整式不等式;处理立体几何问题时, 如:解不等式时,将分式不等式转化为整式不等式;处理立体几何问题时,将空间的问 题转化到一个平面上解决;在解析几何中,通过建立坐标系将几何问题划归为代数问题; 题转化到一个平面上解决;在解析几何中,通过建立坐标系将几何问题划归为代数问题; 复数问题化归为实数问题等. 复数问题化归为实数问题等.

第22讲 22讲

函数与方程思想和数形结合思想

第22讲 函数与方程思想和 22讲 数形结合思想

第22讲 │ 主干知识整合 22讲
主干知识整合
1.函数与方程思想 . (1)函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征,用 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征, 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征 联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征, 联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立各 量之间固有的函数关系,通过函数形式, 变量之间固有的函数关系,通过函数形式,利用函数的有关 性质,使问题得到解决; 性质,使问题得到解决; (2)方程思想的实质就是将所求的量设成未知数,用它表 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数, 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数 示问题中的其他各量, 示问题中的其他各量, 根据题中隐含的等量关系, 根据题中隐含的等量关系, 列方程(组), 列方程 组 , 通过解方程(组 或对方程 或对方程(组 进行研究 以求得问题的解决; 进行研究, 通过解方程 组)或对方程 组)进行研究,以求得问题的解决; (3)函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的, 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的, 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的 是相辅相成的,函数思想重在对问题进行动态的研究, 是相辅相成的,函数思想重在对问题进行动态的研究,方程 思想则是在动中求静,研究运动中的等量关系. 思想则是在动中求静,研究运动中的等量关系.

第22讲 │ 主干知识整合 22讲

2.数形结合思想 . (1)根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化 根据数与形之间的对应关系, 根据数与形之间的对应关系 来解决数学问题的思想,包含“以形助数” 以数辅形” 来解决数学问题的思想,包含“以形助数”和“以数辅形” 两个方面; 两个方面; (2)数形结合是数学解题中常用的思想方法 (2)数形结合是数学解题中常用的思想方法,运用数形结 数形结合是数学解题中常用的思想方法, 合思想,使某些抽象的数学问题直观化、形象化, 合思想,使某些抽象的数学问题直观化、形象化,能够变抽 象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质, 象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,发现解题 思路,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程; 思路,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程; (3)数形结合的重点是研究“以形助数”, 数形结合的重点是研究“ 这在解选择题、 数形结合的重点是研究 以形助数” 这在解选择题、 填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识, 填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,做到心中 有图,见数想图,以开拓自己的思维视野. 有图,见数想图,以开拓自己的思维视野.

第22讲 │ 要点热点探究 22讲
要点热点探究 列方程( ? 探究点一 列方程(组)解题
公差不为零的等差数列{a 的前 例 1 (1)公差不为零的等差数列 n}的前 n 项和为 Sn.若 a4 公差不为零的等差数列 若 的等比中项, 等于( ) 是 a3 与 a7 的等比中项,S8=32,则 S10 等于 , A.18 B.24 . . C.60 D.90 . . (2)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛 过抛物线 的焦点 的直线交抛 物线于 A,B 两点,若线段 AB 的长为 8,则 p=________. , 两点, , =

根据数列中的基本量方法, 【分析】 (1)根据数列中的基本量方法, 分析】 根据数列中的基本量方法 列方程组求数列 的首项和公差; 根据弦长公式建立关于 的方程. 的首项和公差;(2)根据弦长公式建立关于 p 的方程.

第22讲 │ 要点热点探究 22讲

【解析】 (1)由 a2=a3a7 得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+ 解析】 由 4 56 6d), 2a1+3d=0, , 得 = ,再由 S8=8a1+ 2 d=32 得 2a1+7d=8, d=2, = = ,则 = , 90 a1=- ,所以 S10=10a1+ 2 d=60.故选 C. =-3, = 故选 (2)设 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知过焦点的直线方程为 y= ), ), y= 2 , ?y =2px, ? p p2 2 x-2,联立有? - 消元后得 x -3px+ 4 =0.又|AB|=x1+x2 + 又 = p y=x-2, = - ? ? +p=8,解得 p=2. = , = (1)C (2)2

第22讲 │ 要点热点探究 22讲
? 探究点二 使用函数方法解决非函数问题

例 2 (1)已知 n}是一个等差数列,且 a2=1,a5=- ,则数列 n} 已知{a 是一个等差数列 是一个等差数列, 已知 , =-5,则数列{a 的最大值是________. 前 n 项和 Sn 的最大值是 . (2)长度都为 2 的向量 → ,OB的夹角为 60°,点 C 在以 O 为圆心 长度都为 的向量OA → , → → 则 m+ 的最大值是________. (劣弧 劣弧)上 OC 的圆弧 AB (劣弧)上,→ =mOA+nOB, m+n 的最大值是________.

分析】 根据方程思想求出数列的首项和公差, 【分析】 (1)根据方程思想求出数列的首项和公差,建立 根据方程思想求出数列的首项和公差 Sn 关于 n 的函数; 将向量坐标化,建立 m+n 关于动向量 → 的函数; 将向量坐标化, (2)将向量坐标化 + 关于动向量OC 的函数关系. 的函数关系.

第22讲 │ 要点热点探究 22讲
2 3 (1)4 (2) 【 解 析 】 (1) 设 {an} 的 公 差 为 d , 由 已 知 条 件 , 3 ?a1+d=1, = , ? ? =-2. 解出 a1=3,d=- , =- ?a1+4d=- , =-5, =- ? n(n-1) ( - ) Sn=na1+ d=- 2+4n=4-(n-2)2.所以 n=2 时,Sn 取到最 =-n =- = - - 所以 = 2 大值 4. (2)建立平面直角坐标系,设向量 → =(2,0),向量 → =(1, 3).设 建立平面直角坐标系, 建立平面直角坐标系 设向量OA ,向量OB , . π → → =(2cosα, → → 得 向量OC 2sinα), ≤α≤ .由OC=mOA+nOB, (2cosα, 0≤ ≤ 由 2sinα) 向量 , , , 3 =(2m+n, 3n), + , , 1 2 即 2cosα=2m+n,2sinα= 3n,解得 m=cosα- sinα,n= sinα. = + = , = - , = 3 3 π? 2 3 1 2 3 ? + 故 m+n=cosα+ sinα= 3 sin?α+3 ?≤ 3 . + = + = ? ? 3

第22讲 │ 要点热点探究 22讲

x2 y2 若 a>1,则双曲线a2- , =1 的离心率 e 的取 (a+1)2 + ) 值范围是( ) 值范围是 A.(1, 2) B.( 2, 5) . , . , C.[ 2, 5] D.( 3, 5) . , . ,

第22讲 │ 要点热点探究 22讲

B 【解析】 解析】

? c ?2 a 2 e =?a? = ? ?

2

? +(a+1)2 + ) 1?2 1 ?1+ ? ,因为 是 =1+ +a + a2 a ? ?

1 减函数, 减函数,所以当 a>1 时,0<a<1,所以 2<e2<5,即 2<e< 5. , ,

第22讲 │ 要点热点探究 22讲
? 探究点三 联用函数与方程的思想

例 3 已知函数 f(x)=x(x-a)2,g(x)=- 2+(a-1)x+a(其中 =-x = - =- - + 其中 a 为常数 . 为常数). ? a? , (1)设 a>0,问是否存在 x0∈?-1,3?,使得 f(x0)>g(x0)?若存 设 , ? ? ? 的取值范围,若不存在,请说明理由; 在,请求出实数 a 的取值范围,若不存在,请说明理由; (2)记函数 H(x)=[f(x)-1]·[g(x)-1], 记函数 = - - , 若函数 y=H(x)有 5 个不 = 有 同的零点, 的取值范围. 同的零点,求实数 a 的取值范围.

第22讲 │ 要点热点探究 22讲
假设存在, 【解答】 (1)假设存在,即存在 解答】 假设存在
? a? , x0∈?-1,3?,使得, 使得, ? ?

f(x0)-g(x0)=x0(x0-a)2-[-x2+(a-1)x0+a] - = - 0 - =x0(x0-a)2+(x0-a)(x0+1)=(x0-a)[x2+(1-a)x0+1]>0, = - , 0 ? a? , 当 x0∈?-1,3?时,又 a>0,故 x0-a<0, , , ? ? ? a? ?-1, ?,使得 x2+(1-a)x0+1<0, ,3 则存在 x0∈ - , 0 ? ? ?a?2 ?a? a-1 a - 3 ? ①当 2 >3即 a>3 时, ? +(1-a)?3?+1<0 得 a>3 或 a<-2, - - ?3? ? ? ∴a>3; ; a-1 a 4-(a-1)2 - - - ) <0 得 a<-1 或 ②当-1≤ 2 ≤3即 0<a≤3 时, ≤ ≤ - 4 a>3,∴a 无解. 无解. , 综上: 综上:a>3.

第22讲 │ 要点热点探究 22讲
(2)据题意有 f(x)-1=0 有 3 个不同的实根, -1=0 有 2 个不同的实 据题意有 个不同的实根, g(x)- = - = 个实根两两不相等. 根,且这 5 个实根两两不相等. ?a-1? - ?>1?a>1 或 a<-3; (i)g(x)-1=0 有 2 个不同的实根, 个不同的实根, - = 只需满足 g? ? - ; 2 ? ? (ii)f(x)-1=0 有 3 个不同的实根, 个不同的实根, - = a ①当3>a 即 a<0 时,f(x)在 x=a 处取得极大值,而 f(a)=0,不符合题 在 = 处取得极大值, = , 意,舍; a 不符合题意, ②当3=a 即 a=0 时,不符合题意,舍; = a a 在 = 处取得极大值, ③当3<a 即 a>0 时,f(x)在 x=3处取得极大值, 3 3 ?a? 3 2 3 2 f?3?>1?a> 2 ;所以 a> 2 ; ?
? ?

3 3 2 3 因为(i)(ii)要同时满足,故 a> 2 .(注:a> 也对 要同时满足, 也对) 因为 要同时满足 注 3 4

第22讲 │ 要点热点探究 22讲
下证: 个实根两两不相等, 下证:这 5 个实根两两不相等, 即证: 即证:不存在 x0 使得 f(x0)-1=0 和 g(x0)-1=0 同时成立; - = - = 同时成立; 若存在 x0 使得 f(x0)=g(x0)=1, = = , =-x0 由 f(x0)=g(x0),即 x0(x0-a)2=- 2+(a-1)x0+a, = , - , = , 得(x0-a)(x2-ax0+x0+1)=0, 0 当 x0=a 时,f(x0)=g(x0)=0,不符合,舍去; = = ,不符合,舍去; 当 x0≠a 时,即有 x2-ax0+x0+1=0 ①; = 0 又由 g(x0)=1,即-x2+(a-1)x0+a=1 ②; = , - = 0 联立①② ①②式 联立①②式,可得 a=0; = ; H(x)=[f(x)-1]·[g(x)-1]=(x3-1)(-x2-x-1)=0 没有 - - = 而当 a=0 时, = = - - = 5 个不同的零点,故舍去,所以这 5 个实根两两不相等. 个不同的零点,故舍去, 实根两两不相等. 3 3 2 综上, 综上,当 a> 2 时,函数 y=H(x)有 5 个不同的零点. = 有 个不同的零点.

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函数 f(x)=(2x-1)2,g(x)=ax2(a>0),满足 f(x)<g(x) = - = , 的取值范围是________. 的整数 x 恰有 4 个,则实数 a 的取值范围是 .

第22讲 │ 要点热点探究 22讲
?49 81? ? , ? ?16 25?

【解析】 在同一坐标系内分别作出满足条件的函数 f(x)= 解析】 =

(2x-1)2,g(x)=ax2 的图象,则由两个函数的图象可知,y=f(x),y=g(x) - 的图象,则由两个函数的图象可知, = = , = 的图象在区间(0,1)内总有一个交点, 内总有一个交点, 的图象在区间 内总有一个交点

令: =f(x)-g(x)=(4-a)x2-4x+1, h(x)= - = - + , 要使满足不等式(2x-1)2<ax2 要使满足不等式 - 的解集中的整数解恰有 4 个, ?h(4)<0, ?49-16a<0, , ? ( ) , ? - 49 81 则需? ?? ?16<a≤25. ≤ ?h(5)≥0 ?81-25a≥0 ≥ ? ( ) ? -

第22讲 │ 要点热点探究 22讲
? 探究点四 以形助数探索解题思路

例 4 (1)不等式 +3|-|x-1|≤a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则 不等式|x+ - - ≤ 恒成立, 不等式 的取值范围为( ) 实数 a 的取值范围为 A.(-∞,- ∪[4,+∞) ,+∞ . - ,-1]∪ ,+ ,+∞ B.(-∞,- ∪[5,+∞) . - ,-2]∪ ,+ C.[1,2] . D.(-∞,1]∪[2,+∞) ,+∞ .- ∪ ,+ (2)已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,- 的距离 已知点 ,-1)的距离 ,- 到抛物线焦点距离之和取得最小值时, 的坐标为 ) 与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( ?1 ? ?1 ? A.?4,- ? B.?4,1? . ,-1 . ? ? ? ? C.(1,2) D.(1,- ,-2) . . ,-

第22讲 │ 要点热点探究 22讲

【分析】 (1)把不等式的左端看作一个函数,问题等价于 分析】 把不等式的左端看作一个函数, 把不等式的左端看作一个函数 这个函数的最大值不大于不等式右端的代数式的值, 这个函数的最大值不大于不等式右端的代数式的值,通过画出 函数图象找到这个函数的最大值即可; 画出抛物线 画出抛物线, 函数图象找到这个函数的最大值即可;(2)画出抛物线,根据抛 物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,把问题归结为 物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离, 两点之间的距离. 两点之间的距离.

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(1)A (2)A 【解析】 (1)f(x) = |x + 3| - |x - 1| = ( - ) ?-4(x<-3), ? ?2x+2(-3≤x<1), 画出函数 f(x)的图象,如图,可以看出函数 + ( ≤ ) 的图象,如图, 的图象 ? ?4(x>1). ( ) f(x)的最大值为 4,故只要 a2-3a≥4 即可,解得 a≤-1 或 a≥4. 的最大值为 ,故只要 ≥ 即可, ≤ ≥ 正确选项为 A.

第22讲 │ 要点热点探究 22讲
(2)点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线准线距离, 点 到抛物线准线距离, 如图, 如图, PF+PQ=PS+PQ,故最小值在 S,P,Q 三点共线时取得,此时 + = + , , , 三点共线时取得, 1 P,Q 的纵坐标都是-1,代入 y2=4x 得 x=4,故点 P 坐标为 , 的纵坐标都是- , = ?1 ? ? ,-1?,正确选项为 A. ,- ?4 ?

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点评】 本题的知识背景涉及函数 不等式、抛物线等, 景涉及函数、 【点评】 本题的知识背景涉及函数、不等式、抛物线等, 求解的目标也各不相同,但是一个共同的点是“ 求解的目标也各不相同,但是一个共同的点是“题目中的某些部 分都可以使用图形”表示, 分都可以使用图形”表示,在解题时我们就是把这些可以用图形 表示的部分用图形表示出来, 表示的部分用图形表示出来,借助于图形的直观获得了解决问题 的方法,这就是以形助数,是数形结合中的一个主要方面. 的方法,这就是以形助数,是数形结合中的一个主要方面.

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? 探究点五 数量分析解决图形问题(以数助形) 数量分析解决图形问题(以数助形)

例 5 (1)下列四个函数图象,只有一个是符合 y=|k1x+b1|+|k2x+b2|- 下列四个函数图象, 下列四个函数图象 = + + + -
|k3x+b3|(其中 k1,k2,k3 为正实数,b1,b2,b3 为非零实数 的图象,则根据你 为正实数, 为非零实数)的图象 的图象, + 其中 所判断的图象, 之间一定成立的关系是( ) 所判断的图象,k1,k2,k3 之间一定成立的关系是

A.k1+k2=k3 .

图 22-1 - B.k1=k2=k3 C.k1+k2>k3 . .

D.k1+k2<k3 .

第22讲 │ 要点热点探究 22讲
(2)“龟兔赛跑”讲述了这样的故事: “龟兔赛跑”讲述了这样的故事: 领先的兔子看着慢慢爬行的 乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到达终点了, 乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到达终点了, 于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点…… ……, 于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点……,用 S1,S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程, 为时间, 分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则下图与故事情节相吻 合的是( ) 合的是

图 22-2 -

第22讲 │ 要点热点探究 22讲
含有绝对值问题的函数, 【分析】 (1)含有绝对值问题的函数,常去绝对值,转化为分段 分析】 含有绝对值问题的函数 常去绝对值, 函数来解决; 乌龟的速度是恒定的 乌龟的速度是恒定的, 函数来解决;(2)乌龟的速度是恒定的,表现在时间和路程的图象上 是直线上升的,这个过程没有变化;兔子的速度也是恒定的,表现 是直线上升的, 这个过程没有变化; 兔子的速度也是恒定的, 在时间与路程的图象上也是直线上升的, 在时间与路程的图象上也是直线上升的,并且比乌龟的时间和路程 的图象上升的要快,但中间一段时间内,函数图象是水平的. 的图象上升的要快,但中间一段时间内,函数图象是水平的.

(1)A (2)B 【解析】 (1)当 x 足够小时,y=- 1+ 解析】 =-(k 当 足够小时, =- k2-k3)x-(b1+b2-b3),当 x 足够大时,y=(k1+k2-k3)x 足够大时, = - , +(b1+b2-b3),可见,折线的两端的斜率必定为相反数, ,可见,折线的两端的斜率必定为相反数, 此时只有③符合条件. 此时只有③符合条件.此时 k1+k2-k3=0. (2)根据时间和路程的关系以及乌龟首先达到目的地, 根据时间和路程的关系以及乌龟首先达到目的地, 根据时间和路程的关系以及乌龟首先达到目的地 故选 B.

第22讲 │ 规律技巧提炼 22讲
规律技巧提炼
1.在高中数学的各个部分,都有一些公式和定理,这些公式和定理本身就 . 高中数学的各个部分,都有一些公式和定理, 是一个方程,如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等, 是一个方程,如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等,当 试题与这些问题有关时, 试题与这些问题有关时,就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需 要的量. 要的量. 2.当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变化的量之间的关系, .当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变化的量之间的关系, 通过变量之间的关系探究问题的答案,这就需要使用函数思想. 通过变量之间的关系探究问题的答案,这就需要使用函数思想. 3.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的 .在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、 几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径, 几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径,当试题中涉及这些问题 的数量关系时,我们可以通过形分析这些数量关系, 到解题的目的. 的数量关系时,我们可以通过形分析这些数量关系,达到解题的目的. 4.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要对图形进行 .有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论, 数量上的分析,通过数的帮助达到解题的目的. 数量上的分析,通过数的帮助达到解题的目的.

第22讲 │ 教师备用例题 22讲

教师备用例题
备选理由: 例 是函数与方程思想的综合运用, 备选理由: 1 是函数与方程思想的综合运用, 函数 思想与方程思想是可以相互转化的, 思想与方程思想是可以相互转化的, 可以用函数思想研究 方程, 也可以用方程思想研究函数; 方程, 也可以用方程思想研究函数; 2 是数形结合的深 例 层次运用. 层次运用. 数形结合思想不仅仅是画出函数图象和借助于 数量分析函数图象, 在解决数学问题的过程中我们有时不 数量分析函数图象, 在解决数学问题的过程中我们有时不 必画出函数图象或其他图形, 必画出函数图象或其他图形,但在寻找问题的解答思路 头脑中要有函数图象或者图形, 时, 头脑中要有函数图象或者图形, 如求单位正方体的外 接球面积时, 我们是不画出图形的, 接球面积时, 我们是不画出图形的, 但解题时头脑中是有 这个图形的, 这种“无形胜有形” 这个图形的, 这种“无形胜有形”的情况是数形结合思想 在解题中的深层次运用. 在解题中的深层次运用.

第22讲 │ 教师备用例题 22讲
例 1 (1)已知 x3+sinx-2a=0,4y3+sinycosy+a=0,则 已知 - = + = , cos(x+2y)=________. + = (2)若函数 f(x)=ax(a>1)的定义域和值域均为 , , a 的定义域和值域均为[m, 则 n], 若函数 = 的定义域和值域均为 的取值范围是________. 的取值范围是 .
【答案】 (1)1 答案】
1? ? , (2)?1,ee ? ? ?

【解析】(1)构造函数 f(t)=t3+sint-2a, f′(t)=3t2+cost, 解析】 构造函数 = - , ′ = 则 , ? π π? ? π π? 当 t∈?-2,2 ?时,f′(t)>0,当 t? ?-2,2 ?时,3t2>1,cost≥-1, ∈ ′ , ? , ≥ , ? ? ? ? 此时 f′(t)>0,故函数 f(t)是 R 上的增函数.根据题意 f(x)= ′ , 是 上的增函数. = f(-2y),故 x=- ,所以 cos(x+2y)=1. =-2y, - , =- + =

第22讲 │ 教师备用例题 22讲
(2)根据题意 m, 根据题意 , n(m<n)是方程 ax=x 的根, 的根, 是方程 构造函数 g(x) =ax-x,问题等价于这个函数有两个不同的零点.g′(x)= ,问题等价于这个函数有两个不同的零点. ′ = axlna - 1 , 由 g′(x)>0 得 x>logalogae , 由 g′(x)<0 得 ′ ′ x<logalogae, x=logalogae 是函数 g(x)在 R 上唯一的极小值 , 故 = 在 也是最小值点, 无限小时,函数值无限大, 点,也是最小值点,且当 x 无限小时,函数值无限大,当 x 值无限大时, 值无限大时, 函数值也无限大, 函数值也无限大, 故只要函数 g(x)最小值小于 最小值小于 零 , 即 可 使 函 数 g(x) = ax - x 有 两 个 不 同 的 零 点 . 由 g(logalogae)<0 得 alogalogae<logalogae,此即 logae<logalogae, , , 1 1 1 即 e<logae,即 lna<e=lnee,故 a<ee,故所求 a 的取值范围是 , (1,ee). , .
1

第22讲 │ 教师备用例题 22讲

例 2 已知函数 f(x)=- 2+8x,g(x)=6lnx+m.是否存在实 =-x , = + 是否存在实 =- 数 m,使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的 , = 的图象与 = 的图象有且只有三个不同的 交点?若存在, 的取值范围;若不存在,说明理由. 交点?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

第22讲 │ 教师备用例题 22讲
的图象有且只有三个不同的交点, 【解答】函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点, 解答】 = 的图象与 = 的图象有且只有三个不同的交点 即函数 φ(x)=g(x)-f(x)的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点. = - 的图象与 轴的正半轴有且只有三个不同的交点. ∵φ(x)=x2-8x+6lnx+m, = + + , 2 )(x- ) + ( - )( 6 2x -8x+6 2(x-1)( -3) (x>0), ∴φ′(x)=2x-8+x= ′ = - + = , x x 是增函数; 当 x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数; ∈ 时 ′ , 是增函数 是减函数; 当 x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)是减函数; ∈ 时 ′ , 是减函数 ,+∞ 是增函数; 当 x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数; ∈ ,+ 时 ′ , 是增函数 当 x=1,或 x=3 时,φ′(x)=0. = , = ′ = ∴φ(x)极大值=φ(1)=m-7,φ(x)极小值=φ(3)=m+6ln3-15. = - , = + - 充分大时, ∵当 x 充分接近 0 时,φ(x)<0,当 x 充分大时,φ(x)>0. , 轴正半轴有三个不同的交点, ∴ 要使 φ(x)的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点 , 必须且只需 的图象与 ?φ(x)极大值=m-7>0, - , ? ( ) ? 即 7<m<15-6ln3. - ? ( ) + - , ?φ(x)极小值=m+6ln3-15<0, 所以存在实数 m,使得函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有且只有三个不同 , = 与 = 的图象有且只有三个不同 的交点,m 的取值范围为(7,15-6ln3). 的交点, 的取值范围为 -


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