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2013年全国高考文科数学试题及答案-重庆卷


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2013 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)

数学试题卷(文史类)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项 中,只有一个选项是符合题目要求的.
(1)已知集合 U ? {1, 2,3, 4} ,集合 A={1,2} , B ={2,3} ,则 ? U ( A ? B) ? (A) {1,3, 4} 【答案】D. (B) {3, 4} (C) {3} (D) {4}

2 (2)命题“对任意 x ? R ,都有 x ? 0 ”的否定为 2 (A)对任意 x ? R ,使得 x ? 0 2 (B)不存在 x ? R ,使得 x ? 0

2 (C)存在 x0 ? R ,都有 x0 ? 0

2 (D)存在 x0 ? R ,都有 x0 ? 0

【答案】A.

(3)函数 y ?

1 的定义域为 log 2 ( x ? 2)
(B) (2, ??) (D) (2, 4) ? (4, ??)

(A) (??, 2) (C) (2,3) ? (3, ??) 【答案】C.

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(4)设 P 是圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 上的动点, Q 是直线 x ? ?3 上的动点,则 PQ 的最小值为 (A)6 【答案】B. (B)4 (C)3 (D)2

(5)执行如题(5)图所示的程序框图,则输出的 k 的值是 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【答案】C.

(6) 下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量 (单位: 的茎叶图, 台) 则数据落在区间[20,30) 内的概率为 1 8 9 (A)0.2 (B)0.4 2 1 2 2 7 9 (C)0.5 (D)0.6 3 0 0 3 【答案】B. 题(6)图

2 2 (7)关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 8a ? 0 ( a ? 0 )的解集为 ( x1 , x2 ) ,且: x2 ? x1 ? 15 ,则 a ?

(A)

5 2

(B)

7 2

(C)

15 4

(D)

15 2

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【答案】A.

(8)某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为 (A) 180 (B) 200 (C) 220 (D) 240 【答案】D.

(9)已知函数 f ( x) ? ax3 ? b sin x ? 4(a, b ? R) , f (lg(log 2 10)) ? 5 ,则 f (lg(lg 2)) ? (A) ?5 【答案】C. (B) ?1 (C) 3 (D) 4

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(10)设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一对相较于点 O 、所成的角为 60 0 的直线 A1B1 和

A2 B2 ,使 AB1 ? A2B2 ,其中 A1 、 B1 和 A2 、 B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该 1
双曲线的离心率的取值范围是 (A)(

2 3 , 2] 3

(B)[

2 3 , 2) 3

(C)(

2 3 , ??) 3

(D)[

2 3 , ??) 3

【答案】A.

二.填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填 写在答题卡相应位置上.
(11)已知复数 z ? 1 ? 2i ( i 是虚数单位) ,则 z ? 【答案】 5 . .

(12)若 2、 a 、 b 、 c 、9 成等差数列,则 c ? a ? 【答案】



7 . 2
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(13)若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为 【答案】



2 . 3

OA (14) 为边,OB 为对角线的矩形中, 则实数 k ? OA ? (?3,1) ,OB ? (?2, k ) ,
【答案】 4 .

??? ?

??? ?



2 (15)设 0 ? ? ? ? ,不等式 8x ? (8 sin x ? cos? ? ? ) 2

对 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围 0



. 【答案】 [0,

?
6

]?[

5? ,? ]. 6

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三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
(16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分) 设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an?1 ? 3an , n ? N ? . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)已知 ?bn ? 是等差数列, Tn 为前 n 项和,且 b1 ? a2 , b3 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 T20 . 【答案】

(17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 9 分, (Ⅱ)(Ⅲ)小问各 2 分) 、 从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi (单位:千元)与月储蓄 yi (单 位:千元)的数据资料,算得

?x
i ?1

10

i

? 80 , ? yi ? 20 , ? xi yi ? 184 , ? xi2 ? 720 .
i ?1 i ?1 i ?1

10

10

10

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关;
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(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

附:线性回归方程 y ? bx ? a 中, b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

, a ? y ? bx ,

其中 x , y 为样本平均值,线性回归方程也可写为 ? ? bx ? a . y ? ?

(18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 9 分) 在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 a ? b ? c ? 3ab .
2 2 2

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)设 a ? 3 , S 为△ ABC 的面积,求 S ? 3cos B cos C 的最大值,并指出此时 B 的值.

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(19) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 如题(19)图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD , PA ? 2 3 ,

BC ? CD ? 2 , ?ACB ? ?ACD ?

?
3



(Ⅰ)求证: BD ⊥平面 PAC ; (Ⅱ) 若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF ? 7 FC , 求三棱锥 P ? BDF 的体积.

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(20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) .设该蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为 100 元/平方米, 米,体积为 底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000 ? 元( ? 为圆周率) . (Ⅰ)将 V 表示成 r 的函数 V (r ) ,并求该函数的定义域; (Ⅱ)讨论函数 V (r ) 的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.

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(21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 如题 (21) 椭圆的中心为原点 O , 图, 长轴在 x 轴上, 离心率 e ? 过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A 、 A? 两点, AA? ? 4 . (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ) 取平行于 y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 P 、P? , P 、 过

2 , 2

P? 作圆心为 Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆 Q 外.求 ?PP?Q 的

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面积 S 的最大值,并写出对应的圆 Q 的标准方程.

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