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3.1.1-3.1.2变化率问题和导数的概念_图文

3.1.1变化率问题 3.1.2导数的概念

问题1

气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的 过程,可以发现,随着气球内空气容量的 增加,气球的半径增加越来越慢.从数学 角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是: 如果将半径r表示为体积V的函数, 那么:

4 3 V (r ) ? ? r 3

3 V r (V ) ? 3 4?

我们来分析一下:
?

3V r (V ) ? 4?
3

r (1) ? r (0) ? 0.62(dm) 当V从0增加到1时,气球半径增加了: 气球的平均膨胀率为:r (1) ? r (0) ? 0.62(dm / L)

1? 0

r (2) ? r (1) ? 0.16(dm) 当V从1增加到2时,气球半径增加了: 气球的平均膨胀率为 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm / L)
?

2 ?1

随着气球体积逐渐变大, 它的平均膨胀率逐渐变小

显然 0.62>0.16

问题2

高台跳水

在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单 位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10
如果用运动员在某段时间内的平均速度 状态, 那么:

v

描述其运动

h(0.5) ? h(0) 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里,v ? ? 4.05(m/s) 0.5 ? 0
在1≤ t ≤2这段时间里,

h(2) ? h(1) v? ? ?8.2(m/s) 2 ?1

1、平均变化率

f (x2 ) ? f ( x1 ) 上述问题中的变化率可用式子 表示 x2 ? x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

习惯上用?x表示x2 ? x1 ,即?x ? x2 ? x1, 可以把?x看作是对于x1的一个“增量”, 可以用x1 ? ?x代替x2, 类似地,?y ? f ? x2 ? ? f ? x1 ?

于是,平均变化率可表示为 ? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ? x) ? f ( x1 ) ? ? ?x x2 ? x1 ?x

? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) 理解 ? ?x x2 ? x1 1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负, △ x的值不能为0, △ y 的值可以为0
2、若函数f (x)为常函数时, △ y =0 3、其几何意义是: 表示曲线上两点连线 (割线)的斜率。
求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);

(2)计算平均变化率 ? y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?x x2 ? x1

例:(1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上
的平均变化率 ; (2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。
(1)解: △y=f (-1)- f (-3)=4 △x=-1- (-3)=2 (2)解: △y=f (x+△x)- f (x) =2△x · x+(△x )2

?y 4 ? ? ?2 ?x 2

?y 2?x ? x ? (?x) ? ? ?x ?x ? 2 x ? ?x

2

在高台跳水中,运动员相对于水面的高度h(单位:米)

与起跳后的时间t(单位:秒)存在关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10

65 通过计算可得运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均 49

速度为0,这是否说明运动员在这段时间里是静止的? 由此可见用平均速度描述运动员的运动状态有何问题? 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态,并不能 反映某一刻的运动状态。这就需要用瞬时速度来更精 细地刻画运动员的运动状态。我们把物体在某一时刻

的速度称为瞬时速度.

如何求瞬时速度?

h( t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

比如,运动员在t=2时的瞬时速度?
先考察 t=2 附近的情况。在 t=2 之前或之后, 任意取一个时刻 2+△t ,△t是时间改变量,可为正, 可为负,但不为0。 当△t<0时,在2之前;当△t>0时,在2之后。

计算区间? 2 ? ?t , 2? 和区间? 2, 2 ? ?t ?内平均速度v, 可以得到如下表格.

h( t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内

△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段 时间内

v ? ?4.9?t ? 13.1
当△t = – 0.01时, v ? ?13.051 当△t = – 0.001时, v ? ?13.0951
△t = – 0.00001, v
△t = – 0.000001,v

v ? ?4.9?t ? 13.1
当△t = 0.01时, v ? ?13.149 当△t =0.001时, v ? ?13.1049

当△t = –0.0001时, v ? ?13.09951 当△t =0.0001时, v ? ?13.10049

? ?13.099951

△t = 0.00001,

v ? ?13.100049

? ?13.0999951 △t =0.000001,v ? ?13.1000049
……

……

观察表格可以发现:
当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的

一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1.
从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 v 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的 瞬时速度是 –13.1. 为表述方便,我们用

h(2 ? ?t ) ? h(2) lim ? ?13.1 ?t ? 0 ?t

表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 v 趋近于确定值– 13.1”. 即“t = 2 时的瞬时速度”

h(2 ? ?t ) ? h(2) lim t = 2 时的瞬时速度: ? t ?0 ?t

探究:
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?

2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?

h( t0 ? ?t ) ? h( t0 ) 平均速度的极限就是 lim ?t ? 0 ?t 瞬时速度;

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) 平均变化率的极限就 lim ?x ? 0 ?x 是瞬时变化率;

二、导数(瞬时变化率)的概念
一般地,函数y=f(x)在 x=xo 处的瞬时变化率是

f (x0 ? Δx ) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x
我们称它为函数y=f(x)在x=xo 处的导数 记作 即

f ?( x0 ) 或 y?

x ? x0

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x

三、由导数的定义可知, 求函数y=f(x)在x=xo处的导数的步骤:
1.求函数增量: ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )

? y f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) 2.算比值(平均变化率): ? ?x ?x
?y lim 3.取极限: f ?( x0 ) ? ? x ? 0 ?x

一差、二比、三极限

例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.

解: ? y ? f (1 ?? x) ? f (1)

? 3(1 ?? x) ? 3 2 ? 6? x ? 3(? x)
2

? y 6? x ? 3(? x) 2 ? ? 6 ? 3? x ?x ?x
?y f (1) ? lim ? lim (6 ? 3? x) ? 6 ? x ?0 ? x ? x ?0
/

例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平 均变化率,并求出在该点处的导数.

解: ? y ? f (?1 ?? x) ? f (?1)
? ?(?1 ?? x)2 ? (?1 ?? x) ? [?(?1)2 ? (?1)]

? ?(? x) ? 3? x
2

? y ?(? x) ? 3? x ? ?? x ? 3 ? 平均变化率 ? ?x ?x ?y / ? f (?1) ? lim ? lim (?? x ? 3) ? 3 ? x ?0 ? x ? x ?0
2

例1.(3)质点运动规律为s=t2+3,求质点在t=3 的瞬时速度.

解: ? s ? f (3 ??t ) ? f (3)

? (3 ??t )2 ? 3 ? (32 ? 3)

? (?t ) ? 6?t
2

? s (? t ) ? 6? t ? ?? t ? 6 ?t ?t ?s / ? f (3) ? lim ? lim(? t ? 6) ? 6 ? t ?0 ? t ? t ?0
2


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