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2019年高考数学一轮复习: 第1章 集合与常用逻辑用语 第3节 全称量词与存在量词 文

第三节 [考纲传真] 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非” 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词 的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. (对应学生用书第 5 页) [基础知识填充] 1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词. (2)命题 p 且 q,p 或 q,綈 p 的真假判断 p q p且q 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 p或q 真 真 真 假 非p 假 假 真 真 2. 全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等. (2)常见的存在量词有: “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有 的”等. 3.全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题. (2)含有存在量词的命题叫特称命题. 4.命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. (2)p 或 q 的否定为:綈 p 且綈 q;p 且 q 的否定为:綈 p 或綈 q. [知识拓展] 1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1)p 或 q:p、q 中有一个为真,则 p 或 q 为真,即有真为真; (2)p 且 q:p、q 中有一个为假,则 p 且 q 为假,即有假即假; (3)綈 p:与 p 的真假相反,即一真一假,真假相反. 2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”. [基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)命题“5>6 或 5>2”是假命题.( ) ) (2)命题綈(p 且 q)是假命题,则命题 p,q 中至少有一个是假命题.( (3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( ) ) (4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.( [解析] (1)错误.命题 p 或 q 中,p,q 有一真则真. (2)错误.p 且 q 是真命题,则 p,q 都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”,是全 称命题. (4)错误.“对顶角相等”是全称命题,其否定为“有些对顶角不相等”. [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(教材改编)已知 p:2 是偶数,q:2 是质数,则命题綈 p,綈 q,p 或 q,p 且 q 中真命题 的个数为( A.1 C.3 B ) B.2 D.4 [p 和 q 显然都是真命题,所以綈 p,綈 q 都是假命题,p 或 q,p 且 q 都是真命题.] 2 3.(2015·全国卷Ⅰ)设命题 p:存在 n∈N,n >2 ,则綈 p 为( A.任意 n∈N,n >2 C.任意 n∈N,n ≤2 C 2 2 n ) n n B.存在 n∈N,n ≤2 D.存在 n∈N,n =2 2 2 n n [因为“存在 x∈M, p(x)”的否定是“任意 x∈M, 綈 p(x)”, 所以命题“存在 n∈N, n2>2n”的否定是“任意 n∈N,n2≤2n”.故选 C.] 4.(2018·韶关模拟)下列命题中的假命题是( A.任意 x∈R,2 * ) x-1 >0 2 B.任意 x∈N ,(x-1) >0 C.存在 x∈R,lg x<1 D.存在 x∈R,tan x=2 B [当 x=1 时,(x-1) =0,故 B 是假命题.] 2 2 5.若命题“任意 x∈R,ax -ax-2≤0”是真命题,则实数 a 的取值范围是________. [-8,0] [当 a=0 时,不等式显然成立. ? ?a<0, 当 a≠0 时,依题意知? 2 ?Δ =a +8a≤0, ? 解得-8≤a<0. 综上可知-8≤a≤0.] (对应学生用书第 5 页) 含有逻辑联结词的命题的真假判断 设 a,b,c 是非零向量.已知命题 p:若 a·b=0,b·c=0,则 a·c=0;命题 q: 若 a∥b,b∥c,则 a∥C.则下列命题中真命题是( A.p 或 q C.(綈 p)且(綈 q) A B.p 且 q ) D.p 且(綈 q) [取 a=c=(1,0),b=(0,1),显然 a·b=0,b·c=0,但 a·c=1≠0,∴p 是假命 题. a,b,c 是非零向量, 由 a∥b 知 a=xb,由 b∥c 知 b=yc, ∴a=xyc,∴a∥c,∴q 是真命题. 综上知 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题. 又∵綈 p 为真命题,綈 q 为假命题, ∴(綈 p)且(綈 q),p 且(綈 q)都是假命题.] [规律方法] 1.“p 或 q”“p 且 q”“綈 p”形式的命题真假判断的关键是对逻辑联结 词“或”“且”“非”含义的理解,其操作步骤是:(1)明确其构成 形式;(2)判断其中命题 p,q 的真假;(3)确定“p 或 q”“p 且 q”“綈 p” 形式的命题的真假. 2.p 且 q 形式是“一假必假,全真才真”,p 或 q 形式是“一真必真,全假才假”,非 p 则是“与 p 的真假相反”. [变式训练 1] (2017·石家庄一模)命题 p: 若 sin x>sin y, 则 x>y; 命题 q: x +y ≥2xy. 下列命题为假命题的是( A.p 或 q C.q B ) B.p 且 q 2 2 D.綈 p π 5π 2 [取 x= ,y= ,可知命题 p 不正确;由(x-y) ≥0 恒成立,可知命题 q 正确. 3 6 故綈 p 为真命题,p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题.] 全称命题、特称命题 角度 1 含有一个量词的命题的否定 (2015·湖北高考)命题“存在 x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是 ( ) 【导学号:00090009】 A.任意 x∈(0,+∞),ln x≠x-1 B.任意 x?(0,+∞),ln x=x-1 C

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