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高三文科数学函数大题综合2


1.(2007 广东) 已知 a 是实数,函数 f ( x ) = 2ax + 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y = f ( x ) 在区间
2

[? 1,1] 上有零点,求 a 的取值范围.
2.(银川一中 2009 届高三年级第一次模拟考试)设函数 f ( x ) = x ? 1 + x ? 2 。 . (1)画出函数 y=f(x)的图像; (2)若不等式 a + b + a ? b ≥ a f ( x ) , (a≠0,a、b∈R)恒成立,求实数 x 的范围。 3. (2009 广东三校一模)设函数 f ( x ) = (1 + x ) ? 2 ln (1 + x ) .
2

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若当 x ∈ ? ? 1, e ? 1? 时,(其中 e = 2.718L )不等式 f ( x ) < m 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)试讨论关于 x 的方程: f ( x ) = x 2 + x + a 在区间 [0,2] 上的根的个数。 4.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)已知函数 f ( x ) = lg( x + (1)判断函数 f (x ) 的奇偶性。 (2)判断函数 f (x ) 的单调性。

?1 ?e

? ?

2 + x 2 ) ? lg 2

5.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1, 且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; 2 (4)若 f(x)·f(2x-x )>1,求 x 的取值范围 6.(江苏省启东中学 2008 年高三综合测试一)已知函数 y = (1)求反函数 y = f ?1 ( x ) (2)判断 y = f ?1 ( x ) 是奇函数还是偶函数并证明。

10 x ? 10? x ( x ∈ R) 2

a ? ?0.1 + 15 ln a ? x ,  x ≤ 6, ? 7.(2009 上海卷文)有时可用函数 f ( x ) = ? ? x ? 4.4 ,       6 > ? x?4 ?
描述学习某学科知识的掌握程度. (2008 年江苏卷 17)某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,CB=10km , 为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上 (含边界) ,且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个

8.污水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP,设排污管道的总长 其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ∈ N ) ,
*

f ( x ) 表示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关.
(1)证明:当 x ≥ 7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)- f(x)总是下降; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121],(121,127], (127,133].当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科. (Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO= θ (rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; ②设 OP = x (km) ,将 y 表示成 x 的函数关系式. (Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使 三条排污管道总长度最短. 9.(2008 年湖北卷 20).(本小题满分 12 分)水库的蓄水量随时间而变化.现 用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点.根据历年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数 关系式为

D O

P

C

A

B

?(?t 2 + 14t ? 40)e 5 t + 50,0 < t ≤ 10, ? V (t ) = ? ?4(t ? 10)(3t ? 41) + 50,.10 < t ≤ 12. ?
1

(Ⅰ)该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期.以 i ? 1 < t < i 表示第 i 月份( i = 1, 2,L ,12 ),问一年内哪几 个月份是枯水期? (Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e = 2.7 计算) 10.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)为了保护环境, 实现城市绿化, 某房地产公司要在拆迁地长 方形 ABCD 上规划出一块长方形地面建造公园,公园一边落在 CD 上,但不得越过文物保护区 ?AEF 的 EF. 问如何设计才能使公园占地面积最大,并求这最大面积( 其中 AB=200 m,BC=160 m,AE=60 m,AF=40 m.)

11.由函数 y=f(x)确定数列{an},an=f(n),函数 y=f(x)的反函数 y=f-1(x)能确定数列{bn},bn= f-1(n),若对于任意 n∈N , 都有 bn=an,则称数列{bn}是数列{an}的“自反数列” 。 (1).若函数 确定数列{an}的自反数列为{bn},求 an;

*

(2). 在(1)条件下,记

为正数数列{xn}的调和平均数,若

,sn 为数列{dn}的

前 n 项之和,Hn 为数列{sn}的调和平均数,求 (3). 已知正数数列{cn}的前 n 项之和 。求 Tn 表达式。

12. 函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a]求 a,b 的值 13. 已知函数 f(x)= ax2+1bx+c(a,b,c∈Z)是奇函数,并且 f(1)=2f(2)<3,求 a,b,c 的值 14. (1)若函数 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)= 1/(x+1) ,求 f(x) , g(x)的解析式 (2)已知奇函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞) ,且当 x≤0 时 f(x)=x2-3|x|,求 f(x) 的解析式 15 .已知 f(x)=( px2+2)/3x+q 是奇函数,且 f(2)= 5/3 ,(1)求实数 p,q 的值;(2)判断函数 f(x)在(∞,-1)上单调性,并加以 证明. 16. 已知 f(x)是定义在正整数集 N*上的函数,当 x 为奇数时,f(x+1)-f(x)=1;当 x 为偶数时,f(x+1)-f(x)=3 且 f(1)+f(2)=5,(1)求证:f(1),f(3),f(5),…,f(2n-1) (n∈N*)成等差数列;(2)求 f(n)的解析式 17. 已知函数 f ( x ) = 2 ?
x

a . 将 y = f ( x) 的图象向右平移两个单位,得到 y = g ( x) 的图象. 2x

(4 (1)求函数 y = g ( x ) 的解析式; 分) (2) 若函数 y = h( x ) 与函数 y = g ( x ) 的图象关于直线 y = 1 对称,求函数 y = h( x ) 的解析式; 分) (5

1 f ( x) + h( x), 已知 F ( x) 的最小值是 m ,且 m > 2 + 7, 求实数 a 的取值范围. 分) (5 a 1 3 1 2 18. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x ) = x + bx + cx , b, c 为常数,且 ? < b < 1 , f ′(1) = 0 . 3 2 (1)证明: ?3 < c < 0 ; c (2)若 x0 是函数 y = f ( x) ? x 的一个极值点,试比较 f ( x0 ? 4) 与 f ( ?3) 的大小. 2
(3)设 F ( x ) = 19.设函数 f ( x) = ( ax 2 ? bx)e x (e 为自然对数的底数)的图象与直线 ex+y=0 相切于点 A,且点 A 的横坐标为 1. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间,并指出在每个区间上的增减性. 20. 已知向量 p = ( x, a ? 3), q = ( x, x + a ), f ( x) = p ? q ,且 m,n 是方程 f ( x) = 0 的两 个实根. (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)设 g ( a ) = m 3 + n 3 + a 3,求g ( a ) 的最小值; (Ⅲ)给定函数 h( x) = bx + 1(b > 0) ,若对任意的 x0 ∈ [ 2,3] ,总存在 x1 ∈ [1,2] ,使得 g ( x0 ) = h( x1 ) ,求 .. 实数 b 的取值范围. 21. 某公司生产的 A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售. 第一年,商场为吸引厂家,决定免收该年管理费,因 此,该年 A 型商品定价为每件 70 元,年销售量为 12.7 万件. 第二年,商场开始对该商品征收比率为 m%的管理 费(即销售 100 元要征收 m 元) ,于是该商品每件的定价提高

m % ,预计年销售量将减少 m 万件. 1 ? 0.01m

(Ⅰ)将第二年商场对该商品征收的管理费 y(万元)表示成 m 的函数,并指出这个函数的定义域; (Ⅱ)要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于 21 万元,则商场对该商品征收管理费的比率 m%的 范围是多少? (Ⅲ)第二年,商场在所收管理费不少于 21 万元的前提下,求使厂家获得最大销售金额时的 m 的值.


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