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探求圆锥曲线离心率的取值范围的思维途径


高 

学教与学  2 0 1 0 . 5  

M ATt I S TEAcH I  G A  D 1. EAR  姐  { G I N S ENI OR Hl GH SCHOOL 

探 求 圆锥 曲线  离 心  率 的取 值 范 围 的  思 维 途 径 
武增 明  
求圆锥 曲线离 心率 的取 值 范 围的 问题 , 是 高考  轴上 的双 曲线 的右 焦点 , 与双 曲线 的两个 交 点分 

热点 , 这类 问题涉 及 多个 知识 点 , 综合 性 强 , 解法 灵 
活且 多种 多样 , 许 多学 生在 解决 这类 问题 时 感到 不  知从何人 手. 其实解 决 这类 问题 的关 键是 如 何挖 掘  寻找 问题 中的不等关 系?如何求 解 圆锥 曲线 离心 率  的取值范 围?其思 维途径何在 ?本 文试 图通 过实例 
对此问题做一些探 索.  


别在 左 、 右两 支上 , 则 双 曲线 离 心率 的取 值 范 围是 
(   ) .  

A . e > 拉 
C   1 < e <  

B . 1 < e <  
D . e > 矗 

解 析: 设 双曲 线方程为  一 告= 1   a > 0 , b >  
0 ) , 右焦点 为 F ( c , 0 ) , 直线 l 的方程 为 Y=2 (  一c ) .  
r ) , =2 (  一 c ) ,  



走 函数值域之路 

例1 ( 2 0 0 8年 高考全 国卷 Ⅱ ?理 9 ) 设 a>1 ,   则双 曲线 

一  

1的离心 率 e 的取值 范 围 

由 i 手 一 吾 = -  
得( b  一 4 a   )   +8 a   c  一0   ( 4 e 2 +b   )= 0 .  

是(  

) .  

A . ( √ 2 , 2 )   c . ( 2 , 5 )

B . ( √ 2 , √ 5 )   D . ( 2 , √ 5 )  

根 据 题 意 得 {  。 ,  


解 析 :   : 一 C a   :  

a  

:   、 /   2 +  + a     1 ,  
n 

1 6 a   c   +( b   一 4 a   ) ( 4 c   +b   )> 0 ,  

这 就是 以 e 为 函数值 , a为 自变 量 的函数 , 要 求 e的  取值 范围 , 就转化 为求此 函数 的值 域.  
一  

即 i _  
则b   一 4 a  > o, c   一5 a  > o, e >   ,   故答案选 D.  

● 

t = 一   l   |  
- ●  ’ ● 

【 点评】 将直线与双曲线方程联立后, 判别式大 
于零 , 同时注意 X 1   <0 . 此题 有一 种很 简捷的解 法 ,  

●  ’ ● _ ● 

/  

即数 形 结 合 法 , 依 题 意 得  > 2 , 由此 得 e >  
I  



l  D  l  

三、 走均值不等式 之路 
1  

图1  

例3 已 知 椭圆  + 告; l ( o > 6 > 0 ) 的 两 个 焦  
点为 F 。 、  , 椭 圆上 恒 存 在 一 点 P, 使  F 。   1 2 0 。 , 求椭 圆离心率 e的取值 范围.  
y  

下面用 换元法来求此 函数的值域 , 设  :f ( 0<  
“ 

=  

t <1 ) , 贝 U   e 。 = t 。 +2 t +2 ( 0<t <1 ) , 女 口 图 1 , 所 以 2<  

e   <5 , 于是  <e <  , 故答案选 B .  

【 点评】 通过对题 目已知条件的分析, 利用圆锥 
曲线 的性质 建 立 离心 率 e关 于有 关 变 量 的函数 关 
系, 通过 求函数值域 求得 e 的 取 值 范 围.  

\ 0 



乡  

二、 走判 别式之路 

例 2 斜 率为 2的直线 过 中心在 原点且 焦点 在 
?

5 4?  

高中数学教与学 
M ATH S TEA CH I N G AND LEARNI NG" I N SENIOR H I GH SCH OOL  , 。 ”  

解析 : 设I P F 。 I =m, l P  l =n ,   如 图 2,  

因 为 m +n> 2 c ,   所 以  +   >2 c ,  

则在 △  

中, 由余弦 定理得 
化 简得 e   一2 e 一1 <0 ,  
又 e> 1 。  

4 c   =, n  +n , 2—2 m凡 c o s 1 2 0  ̄  


( m +n ) 。 一 2 mn+m n  



( m +n )  一, n n ,  

所 以 1<e <   +1 ,  

由椭 圆的第 一定义知 , m+n=2 a ,  

于是 双 曲线 离心率 的取 值范 围是  e ∈( 1 , √ 2+1 ) .  

于 是 4 n   : m n ≤ (   ) ‘ = 。 2 ,  
所以3 a   ≤4 c   , e ≥   ,  

【 点评】 根据三角形 中恒有“ 两边之和大于第三  
边” 这 一 简单 的性质 , 是 建立 n 、 b 、 c 之 间的不 等关 系  
式 的 关键 .  

即 椭 圆 离 心 率 e e [  , 1 ) .  
【 点评 】解答本题 的关键是利 用均值 不等 式 , 寻 
找到 a - , 6 、 c 之 间的 不等关 系式 , 从 而获 解.  
四、 走 三角形性 质之路 

五、 走 圆 锥 曲线 的 范 围 之 路 

例5 设A 、 B是椭圆  + 告: l ( 。 > 6 > 0 ) 长 
轴 的两 个 端 点 , 若 椭 圆上 存 在 点 p, 使 得 厶4 朋 =   1 2 0 。 , 求椭 圆离心率  e 的取值 范 围.  
解析: 设 e ( x 。 , Y 。 ) , A (一a , 0 ) , B( a , 0 ) ,  
y o    
=  
, 

例4 ( 2 0 0 9年 高 考 重庆 卷 ? 理1 5 ) 已知 双 曲  线 等  一   =1 ( o>0 , 6>0 ) 的左 、 右 焦点 分别 为  F 。 (一c , 0 ) , F 2( c , 0) .若 双 曲 线 上 存 在 点 P, 使 

由t a n  A 船 =  
2   2 +

得 



=了 a,  
是  .  

双 曲 线 离 心 率 的取 值 范 围 
2   a y o




0 , ③ 

y  

又  X O   Y O= 1


/ 7 (  

④  ,  

由③ 、 ④ 解得  :  
因为 I Y o I ≤6 ,  

\  
幽3  

所 以 l  
即3 e   + 4 e   一 4≥0,  

解析 : 设I P F 。 I =m, I P  

n ,  

如图 3 ,   贝 l J 由正弦定 理得    n = S i n  L 因为 
所 以  = e ,  
f r   r ,  
, 

解 得  ≤口 <l ,  

故 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 是 e e 【   , 1 ) .  .  
【 点评 】 利 用 圆锥 曲线的 范 围建 立关 于 。 、 c 的不  
等式, 从 而得 到 关于 e的不等 式 , 由此求 出 e的取值  范围 , 是求 e 的取值 范 围的一种基 本方 法.   六、 走渐近线 的性质 之路 

即 m= e n , ① 
因为 e >1 ,  

例6  ( 2 0 0 6年 高考 福 建卷 ?理 1 0) 已 知双 曲 

所 以点 P在双 曲线的右 支上 ,   于是根据 双 曲线 的第一 定义得 m—n= 2 a , ② 

线   2 一 告= 1 ( 0 > 0 , b > 0 ) 的右焦点为F , 若过点F  
且倾斜 角为 6 0 。 的直 线与 双 曲线 的右 支有 且 只有 一 

由① 、 ②解得 m=   2 a e Tn


= 

,  

个交 点 , 则 此双 曲线离 心率的取值 范 围是 (  
?

) .   5 5?  

训 t  

¨ … 一

 



d  

A . ( 1 , 2 ]   C . [ 2 , +∞)

I j . ( 1 , 2 )   D . ( 2 , +∞)  

的斜率不 小 于 过点 F且 倾 斜 角 为 6 0 。 的 直 线 的 斜 
L 

率, 即  ≥   , 解之得 e ≥2, 故答案选 c .  
r 上  

解析 : 此题 可 以用代 数方法求解 , 即将直线 与双 

曲线方程联立 , 根据 判别 式就 可确 定离 心率 的取 值 
范围 , 但计算 比较繁 琐 , 因此 考虑用 几何 方法 , 利用  渐 近线的几何特性去求 离心率 的取值 范围 
Y   ^  

【 点评 】渐近 线控 制 着双 曲线的形状 , 这与 离心  
率控制 着双曲线的 形状 有 着异 曲 同工之妙 , 许 多求 
双 曲 线 离心 率 的取 值 范 围 的 问题 就 可 以利 用 渐 近 线  的性 质 来 解 决.  

) \   / ( /  
j  

探求 圆锥 曲线离 心率 的取 值范 围的思 维途 径 ,  
并非仅 有上 面介 绍 的 6种 方法 , 这 6种方 法仅是 基  本的、 重要 的 、 常见 的 、 常用 的方法 , 除此 之外还有 数 

形结合法 、 参数法 等 , 限于篇幅 , 在 此不再赘 述 , 留给 
读者在学 习中探究.  

右支有且只有一个 交点 , 如图 4 , 所 以渐近线 , y =  

因 挝  F 且 倾 斜 角  憾线 与 双 曲 线 b 的    

2 0 0 91 2 . 3 8 ~ 3 9  


喜  



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刊 物 名 称  高 中语 文 教 与学   初 中 语 文教 与学  

刊 期 

价 格 

代 号 
2—5 9 9   8 0— 3 3 6   月 刊  月 刊 

单 价 
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全 年 价 
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2— 6 1 5  
8 0— 3 3 5  
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?

5 6?  


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