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2013年高考第二轮复习数学全国理科专题升级训练8 三角恒等变换及解三角形专题升级训练卷附答案


专题升级训练 8 三角恒等变换及解三角形 (时间:60 分钟 满分:100 分) 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分) 1.在△ABC 中,若 sin A∶sin B∶sin C= 3∶4∶ 30,则△ABC 是( ). A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 2.在△ABC 中,已知 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=3,c=8,B=60°,则 sin A 的值是( ). 3 A.16 3 B.14 3 3 C. 16 3 3 D. 14 ).

3.若满足条件 C=60°,AB= 3,BC=a 的△ABC 有两个,那么 a 的取值范围是( A.(1, 2) B.( 2, 3) C.( 3,2) D.(1,2) m-3 4-2m?π θ ? 4.已知 sin θ= ,cos θ= ). 2<θ<π?,则 tan2等于( m+5 m+5 ? m-3 A. 9-m B.?

?m-3? ? ?9-m?

1 C.3

D.5 ).

1 1 ?tan α? 5.已知 sin (α+β)=2,sin (α-β)=3,则 log 5 tan β 2 等于( ? ? A.2 B.3 C.4 D.6

π π 3 ?π ? 1 ? π β? ? β? 6.若 0<α<2,-2<β<0,cos 4+α =3,cos 4-2 = 3 ,则 cos α+2 =( ? ? ? ? ? ? 3 A. 3 3 B.- 3 5 3 C. 9 6 D.- 9

).

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分) AB 3 1 7.在△ABC 中,C 为钝角,BC=2,sin A=3,则角 C=__________,sin B=__________. tan x ? π? 8.已知 tan x+4 =2,则tan 2x的值为________. ? ? 1 cos 2α ? π? 9.已知 sin α=2+cos α,且 α∈ 0,2 ,则 的值为__________. ? ? ? π? sin α-4

?

?

三、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

?π ? 10.(本小题满分 15 分)已知函数 f(x)=cos 2-2x +2 3cos2x- 3. ? ? ? π? (1)若 x∈ 0,2 ,求函数 f(x)的值 域; ? ?
(2)在△ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 所对的边,其中 a=1,c= 2,且锐角 B 满足 f(B)=1,求 b 的值. 11.(本小题满分 15 分)如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出 发沿北偏东 α 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 小时追上.

(1)求 渔船甲的速度; (2)求 sin α 的值. 12.(本小题满分 16 分)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 m=(2sin(A B ? ? +C), 3),n= cos 2B,2cos22-1 ,且 m∥n.

?

?

(1)求角 B 的大小; (2)若 b=1,求△ABC 面积的最大值.

参考答案 一、选择题 1.C 解析:依题意,由正弦定理得 a∶b∶c= 3∶4∶ 30,令 a= 3,则最大角为 C,cos C 3+16-30 = <0,所以△ABC 是钝角三角形,选择 C. 2× 3×4 3 7 2.D 解析:根据余弦定理得 b= 32+82-2×3×8cos 60°=7,根据正弦定理sin A=sin 60°, 3 3 解得 sin A= 14 . 3.C 解析:由三角形有两解的充要条件得 asin 60°< 3<a,解得 3<a<2.故选 C. 4.D 解析:由于受条件 sin2θ+cos2θ=1 的制约,故 m 为一确定的值,于是 sin θ,cos θ 的 θ π π θ π 值应与 m 的值无关,进而推知 tan2的值与 m 无关,又2<θ<π,4<2<2, θ ∴tan2>1,故选 D. 1 5.C 解析:∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=2, 1 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=3, 5 1 ∴sin αcos β=12,cos αsin β=12, tan α sin αcos β 5 ∴tan β=cos αsin β=12×12=5 . ∴原式

? log 5 52 ? 4

.

π ?π 3 ? π β ?π π? 6.C 解析:根据条件可得 α+4∈ 4,4π ,4-2∈ 4,2 ,

?

?

?

?

6 ? π? 2 2 ? π β? 所以 sin α+4 = 3 ,sin 4-2 = 3 , ? ? ? ?

? β? 所以 cos α+2 ? ? ??π ? ?π β?? =cos 4+α - 4-2 ?? ? ? ?? ?π ? ?π β? ? π ? ? π β? =cos 4+α cos 4-2 +sin 4+α sin 4-2 ? ? ? ? ? ? ? ?
1 3 2 2 6 5 3 =3× 3 + 3 × 3 = 9 . 二、填空题 7.150° 2 2- 3 6 AB sin C 3 解析:由正弦定理知BC=sin A=2,

1 故 sin C=2.

1 ? 3? 2 2 1 又 C 为钝角,所以 C=150°.sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=3×?- ?+ 3 ×2= ? 2? 2 2- 3 . 6 4 ? π? 8.9 解析:∵tan x+4 =2, ? ? ∴ tan x+1 1 =2,∴tan x=3. 1-tan x

1 1-9 1-tan2x tan x tan x 4 ∴tan 2x= 2tan x = = 2 =9. 2 1-tan2x 14 1 9.- 2 解析:∵sin α-cos α=2, 1 3 ∴(sin α-cos α)2=4,即 2sin αcos α=4. 3 7 ∴(sin α+cos α)2=1+4=4.

? π? ∵α∈ 0,2 ,∴sin α+cos α>0, ? ?
7 ∴sin α+cos α= 2 . 7 -2 cos2α-sin2α -(sin α+cos α) cos 2α 14 则 = = = =- 2 . 2 2 2 ? π? sin α-4 ? ? 2 (sin α-cos α) 2 2 三、解答题 π? ? 10.解:(1)f(x)=sin 2x+ 3cos 2x=2sin 2x+3 . ? ? π ?π 4 ? ? π? ∵x∈ 0,2 ,∴2x+3∈ 3,3π . ? ? ? ? π π π ∴当 2x+ 3=2,即 x=12时,f(x)max=2; π 4π π 当 2x+3= 3 ,即 x=2时,f(x)min=- 3. ∴函数 f(x)的值域为[- 3,2]. π? π ? (2)f(B)=1?2sin 2B+3 =1,∴B=4. ? ? π ∴b2=a2+c2-2accos4=1.∴b=1. 11.解:(1)依题意,∠BAC=120°,AB=12,AC=10×2=20,∠BCA=α. 在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· c os ∠BAC AC· =122+202-2×12×20×cos 120°=784,解得 BC=28.

28÷2=14(海里/时),所以渔船甲的速度为 14 海里/时. (2)方法 1:在△ABC 中,因为 AB=12,∠BAC=120°,BC=28,∠BCA=α, AB BC 由正弦定理,得sin α=sin 120°, 3 12× 2 ABsin 120° 3 3 即 sin α= = 28 = 14 . BC 方法 2:在△ABC 中,AB=12,∠BAC=120°,BC=28,∠BCA=α, AC2+BC2-AB2 由余弦定理,得 cos α= , 2AC×BC 202+282-122 13 即 cos α= 2×20×28 =14. 因为 α 为锐角,
2

3 3 ? 13 ? 1? ? ? ? 14 . ? 14 ? 所以 sin α= 1-cos2α=
12.解:(1)∵m∥n, B ? ? ∴2sin(A+C) 2cos22-1 = 3cos 2B, ? ? 2sin Bcos B= 3cos 2B.易知 sin 2B= 3cos 2B,cos 2B≠0, ∴tan 2B= 3. π π π ∵0<B<2,则 0<2B<π ,∴2B=3.∴B=6. (2)∵b2=a2+c2- 3ac,∴a2+c2=1+ 3ac. ∵a2+c2≥2ac,∴1+ 3ac≥2ac. 1 ∴ac≤ =2+ 3,当且仅当 a=c 取等号. 2- 3 2+ 3 1 1 2+ 3 ∴S=2acsin B=4ac≤ 4 ,即△ABC 面积的最大值为 4 .


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