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高一数学教案:1.8充分条件与必要条件(一).doc




题:1.8

充分条件与必要条件(一)

教学目的: 1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念,并能在判断、论证中正确 运用
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2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动,为用等价转化思想解决数学问题打 下良好的逻辑基础. 教学重点:正确理解三个概念,并在分析中正确判断 教学难点: 充分性与必要性的推导顺序
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授课类型:新授课

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课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析:

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这一大节通过若干实例,讲述充分条件、必要条件和充要条件的有关知识. 这一大节的重点是充要条件.学习简易逻辑知识,主要是为了培养学生进行简单推理的 技能,发展学生的思维能力,在这方面,逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”与充要条件的有关 内容是十分必要的. 关于充分条件、 必要条件与充要条件, 本章对教学要求的尺度, 还是控制在对初中代数、 几何的有关问题的理解上为宜. 教学过程: 一、复习引入: 同学们, 当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候, 你向老师介绍你的妈妈说: “这 是我的妈妈”.那么,大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说: “你是她的孩子”呢? 不会了!为什么呢?因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么,这 在数学中是一层什么样的关系呢?今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要 条件. 二、讲解新课: ⒈符号“ ? ”的含义 前面我们讨论了“若 p 则 q”形式的命题,其中有的命题为真,有的命题为假.“若 p 则 q”为真,是指由 p 经过推理可以得出 q,也就是说,如果 p 成立,那么 q 一定成立,记 作 p ? q,或者 q ?p;如果由 p 推不出 q,命题为假,记作 p q.
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简单地说, “若 p 则 q”为真,记作 p ? q(或 q ?p) ; “若 p 则 q”为假,记作 p 符号“ ? ”叫做推断符号. 例如, “若 x>0,则 x >0”是一个真命题,可写成:x>0 ? x >0; 又如, “若两三角形全等,则两三角形的面积相等”是一个真命题,可写成:两三角形
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q(或 q

p).

全等 ? 两三角形面积相等. 说明:⑴“p ? q”表示“若 p 则 q”为真;也表示“p 蕴含 q”.

⑵“p ? q”也可写为“q ?p” ,有时也用“p→q”. 练习:课本 P35 练习:1⑴⑵⑶⑷. 答案:⑴ ? ;⑵ ? ;⑶ ;⑷ . ⒉什么是充分条件?什么是必要条件? 如果已知 p ? q,那么我们就说,p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. 在上面是两个例子中, “x>0”是“x >0”的充分条件, “x >0”是“x>0”的必要条件; “两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件, “两三角形面积相等”是“两三角 形全等”的必要条件. ⒊充分条件与必要条件的判断 1.直接利用定义判断:即“若 p ? q 成立,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件”. (条件与结论是相对的) 三、范例 例 1 指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件,q 是 p 的什么条件: 2 2 ⑴ p:x=y;q:x =y . ⑵ p:三角形的三条边相等;q:三角形的三个角相等. 分析:可根据“若 p 则 q”与“若 q 则 p”的真假进行判断. 2 2 解:⑴由 p ? q,即 x=y ? x =y ,知 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. ⑵由 p ? q, 即三角形的三条边相等 ? 三角形的三个角相等, 知 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件; 又由 q ? p,即三角形的三个角相等 ? 三角形的三条边相等,知 q 也是 p 的充分条件, p 也是 q 的必要条件. 练习:课本 P35 练习:2⑴⑵⑶⑷. 答案:⑴∵p ? q,∴p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件; ⑵∵q ? p,∴p 是 q 的必要条件,q 是 p 的充分条件; ⑶∵p ? q,∴p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;又∵q ? p,∴q 也是 p 的充分条件,p 也是 q 的必要条件. ⑷∵p ? q,∴p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;又∵q ? p,∴q 也是 p 的充分条件,p 也是 q 的必要条件. 以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么,如果由命题不是 很好判断的话,我们可以换一种方式,根据互为逆否命题的等价性,利用它的逆否命题来进 行判断. 2.利用逆否命题判断:即“若┐q ? ┐p 成立,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条 件”. 例 2(补)如图 1,有一个圆 A,在其内又含有一个圆 B. 请 ⑴命题:若“A 为绿色” ,则“B 为绿色”中, “A 为绿色” 绿色”的什么条件; “B 为绿色”又是“A 为绿色”的什么条件. ⑵命题:若“红点在 B 内” ,则“红点一定在 A 内”中, “红 内”是“红点在 A 内”的什么条件; “红点在 A 内”又是“红点 的什么条件. 解法 1(直接判断):⑴∵“A 为绿色 ? B 为绿色”是真的, 义知, “A 为绿色”是“B 为绿色”的充分条件; “B 为绿色”是
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回答: 是“B 为 点 在 B 在 B 内” ∴ 由 定 “A 为绿

色”的必要条件. ⑵如图 2⑴,∵“红点在 B 内 ? 红点在 A 内”是真的,∴由定义知, “红点在 B 内”是 “红点在 A 内”的充分条件; “红点在 A 内”是“红点在 B 内”的必要条件. 解法 2(利用逆否命题判断):⑴它的逆否命题是:若“B 不为绿色”则“A 不为绿色”. ∵“B 不为绿色 ? A 不为绿色”为真,∴“A 为绿色”是“B 为绿色”的充分条件; “B 为 绿色”是“A 为绿色”的必要条件. ⑵它的逆否命题是:若“红点不在 A 内” ,则“红点一定不在 B 内” . 如图 2⑵, ∵“红点不在 A 内 ? 红点一定不在 B 内”为真,∴ “红 点在 B 内”是“红点在 A 内”的充分条件; “红点在 A 内”是“红点在 B 内”的 必要条件. 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢? 下 面 我们以例 2 为例来说明. 先说充分性:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保 证的.例如,说“A 为绿色”是“B 为绿色”的一个充分条件,就是说“A 为绿色” ,它足以 保证“B 为绿色”.它符合上述的“若 p 则 q”为真(即 p ? q)的形式. 再说必要性:必要就是必须,必不可少.从例 2 的图可以看出,如果“B 为绿色” ,A 可 能为绿色,A 也可能不为绿色.但如果“B 不为绿色” ,那么“A 不可能为绿色”.因此,必要 条件简单说就是:有它不一定,没它可不行.它满足上述的“若非 q 则非 p”为真(即┐q ? ┐p)的形式. 总之, 数学上的充分条件、 必要条件的 “充分” 、 “必要” 两词, 与日常生活中的 “充分” 、 “必要”意义相近,不过,要准确理解它们,还是应该以数学定义为依据. 例 2 的问题,若用集合观点又怎样解释呢?请同学们想一想. 四、练习: (补充题)用“充分”或“必要”填空,并说明理由: ⒈“a 和 b 都是偶数”是“a+b 也是偶数”的 充分 条件; ⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的 必要 条件; ⒊“x ? 3”是“|x| ? 3”的 充分 条件; 2 ⒋“x-1=0”是“x -1=0”的 充分 条件; ⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的 充分 条件; ⒍“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要条件; 2 2 ⒎对于一元二次方程 ax +bx+c=0(其中 a,b,c 都不为 0)来说, “b -4ac ? 0”是“这个 方程有两个正根”的 必要 条件; ⒏“a=2,b=3”是“a+b=5”的 充分 条件; ⒐“a+b 是偶数”是“a 和 b 都是偶数”的 必要 条件; ⒑“个位数字是 5 的自然数”是“这个自然数能被 5 整除”的
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充分 条件. 五、小结: 本节主要学习了推断符号“ ? ”的意义,充分条件与必要条件的概念,以及判断充分 条件与必要条件的方法. 判断充分条件与必要条件的依据是: 若 p ? q(或若┐q ? ┐p) ,则 p 是 q 的充分条件; 若 q ? p(或若┐p ? ┐q) ,则 p 是 q 的必要条件. 六、作业:

1.课本 P34-35 内容,熟悉巩固有关内容. 2.设 A 是 C 的充分条件,B 是 C 的充分条件,D 是 C 的必要条件,D 是 B 的充分条件, 那么,D 是 A 的什么条件?A 是 B 的什么条件? 解:由题意作出逻辑图(右图) ,便知, D 是 A 的必要条件;A 是 B 的充分条件. 3.预习:课本 P35-36 内容. 七、板书设计(略) 八、课后记:
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