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mathematica入门基础

Mathematica 入门教程
Mathematica 的基本语法特征 如果你是第一次使用 Mathematica,那么以下几点请你一定牢牢记住: Mathematica 中大写小写是有区别的,如 Name、name、NAME 等是不同的变量名 或函数名。 系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出,内部函数一般写全称,而且一 定是以大写英文字母开头,如 Sin[x],Conjugate[z]等。 乘法即可以用*,又可以用空格表示,如 2 3=2*3=6 ,x y,2 Sin[x]等;乘幂 可以用“^”表示,如 x^0.5,Tan[x]^y。 自定义的变量可以取几乎任意的名称,长度不限,但不可以数字开头。 当你赋予变量任何一个值,除非你明显地改变该值或使用 Clear[变量名]或“变 量名=.”取消该值为止,它将始终保持原值不变。 一定要注意四种括号的用法:()圆括号表示项的结合顺序,如 (x+(y^x+1/(2x)));[]方括号表示函数,如 Log[x],BesselJ[x,1];{}大括号表 示一个“表”(一组数字、任意表达式、函数等的集合),如{2x,Sin[12 Pi],{1+A,y*x}};[[]]双方括号表示“表”或“表达式”的下标,如 a[[2,3]]、 {1,2,3}[[1]]=1。 Mathematica 的语句书写十分方便,一个语句可以分为多行写,同一行可以写多 个语句(但要以分号间隔)。当语句以分号结束时,语句计算后不做输出(输出 语句除外),否则将输出计算的结果。

一.数的表示及计算
1.在 Mathematica 中你不必考虑数的精确度,因为除非你指定输出精度, Mathematica 总会以绝对精确的形式输出结果。例如:你输入 In[1]:=378/123,系统会输出 Out[1]:=126/41,如果想得到近似解,则应输入 In[2]:=N[378/123,5],即求其 5 位有效数字的数值解,系统会输出 Out[2]:=3.073 2,另外 Mathematica 还可以根据你前面使用的数字的精度自动地设定精度。

Mathematica 与众不同之处还在于它可以处理任意大、任意小及任意位精度 的数值,如 100^7000,2^(-2000)等数值可以很快地求出,但在其他语言或系统 中这是不可想象的,你不妨试一试 N[Pi,1000]。 Mathematica 还定义了一些系统常数,如上面提到的 Pi(圆周率的精确值),还有 E(自然对数的底数)、I(复数单位),Degree(角度一度,Pi/180),Infinity(无 穷大)等,不要小看这些简单的符号,它们包含的信息远远大于我们所熟知的它 们的近似值,它们的精度也是无限的。 二.“表”及其用法 “表”是 Mathematica 中一个相当有用的数据类型,它即可以作为数组,又可以 作为矩阵;除此以外,你可以把任意一组表达式用一个或一组{}括起来,进行运 算、存储。可以说表是任意对象的一个集合。它可以动态地分配内存,可以方便 地进行插入、删除、排序、翻转等等几乎所有可以想象到的操作。 如果你建立了一个表, 你可以通过下表操作符[[]](双方括号)来访问它的每 一个元素,如我们定义 table={2,Pi,Sin[x],{aaa,A*I}}为一个表,那么 table[[1]]就为 2,table[[2]]就是 Pi,而 table[[3,1]]表示嵌套在 table 中 的子表{aaa,A*I}的第一个元素即 aaa,table[[3,2]]表示{aaa,A*I}第二个元素 即 A*I。总之,表每一层次上并列的部分用逗号分割,表可以无穷嵌套。 你可以通过 Append[表,表达式]或 Prepend[表,表达式]把表达式添加到表的最 前面或最后面,如 Append[{1,2,3},a]表示{1,2,3,a}。你还可以通过 Union[表 1,表 2,......],Jion[表 1,表 2,......]来把几个表合并为一个表,二者不同 在于 Union 在合并时删除了各表中重复的元素,而后者仅是简单的合并;你还可 以使用 Flatten[表]把表中所有子表"抹平"合并成一个表,而 Patition[表,整 数 n]把表按每 n 个元素分段作为子表,集合成的表。如 Flatten[{1,2,{Sin[x],dog},{{y}}}]表示{1,2,Sin[x],y},而 Partition[{1,2,Sin[x],y},2]把表每两个分段,结果为{{1,2},{Sin[x],y}}; 还可以通过 Delete[表,位置]、Insert[表,位置]来向表中按位置插入或删除 元素, 如要删除上面提到的 table 中的 aaa,你可以用 Delete[table,{3,1}]来实 现;Sort[表]给出了表中各元素的大小顺序,Reverse[表]、RotateLeft[表,整 数 n]、RotateRight[表,整数 n]可以分别将一个表进行翻转、左转 n 个元素、 右转 n 个元素等操作,Length[表]给出了表第一个层次上的元素个数, Position[表,表达式]给出了表中出现该表达式的位置,Count[表,表达式]则 给出表达式出现的次数。各种表的操作函数还有很多,这里就不再一一介绍了。

三.图形函数
Mathematica 的图形函数十分丰富,用寥寥几句就可以画出复杂的图形,而且可 以通过变量和文件存储和显示图形,具有极大的灵活性。 图形函数中最有代表性的函数为 Plot[表达式,{变量,下限,上限},可选 项],(其中表达式还可以是一个"表达式表",这样可以在一个图里画多个函数); 变量为自变量;上限和下限确定了作图的范围;可选项可要可不要,不写系统会 按默认值作图,它表示对作图的具体要求。例如 Plot[Sin[x],{x,0,2*Pi},AspectRatio-1]表示在 0<x<2Pi 的范围内作函数

Sin[x]的图象, AspectRatio 为可选项, 表示图的 x 向 y 向比例, AspectRatio-1 表示纵横比例为 1:1,如果不写这一项,系统默认比例为 1:GodenRatio,即黄金 分割的比例(注意, 可选项的写法为可选项名-可选项值), Plot 还有很多可选项, 如 PlotRange 表示作图的值域,PlotPoint 表画图中取样点的个数,越大则图越 精细,PlotStyle 来确定所画图形的线宽、线型、颜色等特性,AxesLabel 表式 在坐标轴上作标记等等。

.

二维函数作图

Plot[函数 {x,xmin,xmax},选项] Plot[函数 f,{x,xmin,xmax},选项] 在区间{x,xmin,xmax}上 在区间{x,xmin,xmax}上,按选项的要求画出函数 f 的图形 {x Plot[{函数 2},{x,xmin,xmax},选项] Plot[{函数 1,函数 2},{x,xmin,xmax},选项] 在区间{x,xmin,xmax}上 按选项的要求画出几个函数的图形 在区间{x,xmin,xmax}上,按选项的要求画出几个函数的图形 {x

图一.用 Plot 生成 x*Sin[1/x]的图形

.

二维参数画图函数

ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,t0,t1},选项] ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,t0,t1},选项] 画一个 X 轴,Y 轴坐标为 选项 {x[t],y[t]},参变量 [t0,t1]中的参数曲线 {x[t],y[t]},参变量 t 在[t0,t1]中的参数曲线

图二.用 ParametricPlot 生成 ParametricPlot

的图形

.

三维函数作图

Plot3D[f[x,y],{x,x0,x1},{y,y0,y1},选项] Plot3D[f[x,y],{x,x0,x1},{y,y0,y1},选项] ,y1},选项 在区域 上,画出空间曲面 f[x,y].
图 3.用 Plot3D 生成的 Sin[x]*Cos[y]的三维图形

除 Plot,二维参数方程作图的 ParametricPlot[{x(t),y(t)},{t,下限,上限}, 可 选项]、三维作图的 Plot3D[二维函数表达式,{变量 1,下限,上限}, {变量 2, 下限,上限},可选项}]、三维参数方程作图的 ParametricPlot3D[{x(u,v),y(u,v),z(u,v)},{u,下限,上限},{v,下限,上限}, 可选项]外,还有画二维等高线图 ContourPlot[二元表达式,{变量 1,下限,上 限}, {变量 2,下限,上限},可选项}]、画二维密度图的 DensityPlot[二元表 达式,{变量 1,下限,上限}, {变量 2,下限,上限},可选项}]等等不一而足。 除使用上述函数作图以外,Mathematica 还可以象其他语言一样使用图形元 语言作图,如画点函数 Point[x,y],画线函数 Line[x1,y1,x2,y2],画圆的 Circle[x,y,r],画矩形和多边形的 Rectangle 和 Polygon,字符输出的 Text[字 符串,输出坐标],还有颜色函数 RGBColor[red,green,blue]、 Hue[],GrayLevel[gray]来描述颜色的亮度、灰度、饱和度,用 PointSize[相对

尺度]、Thickness[相对尺度]来表示点和线的宽度。总之 Mathematica 可以精确 地调节图形的每一个特征。

四.数学函数的用法
Mathematica 系统内核提供了丰富的数学计算的函数,包括极限、积分、微分、 最值、极值、统计、规划等数学的各个领域,复杂的数学问题简化为对函数的调 用,极大地提高了解决问题的效率。 Mathematica 提供了所有的三角、反三角、双曲、反双曲、各种特殊函数(如 贝塞尔函数系、椭圆函数等),各种复数函数(如 Im[z],Re[z],Conjugate[z], Abs[z],Arg[z]),各种随机函数(如 Random[n]可以通过不同的参数产生任意范 围内整型、实型任意分布的随机数),矩阵运算函数(如求特征值特征向量的 EigenVector[],EigenValue[],求逆的 Inverse[]等)。 Mathematica 还提供了大量数学操作的函数,如取极限的 Limit[f[x],{x,a}],求微分的 D[f[x],x],全微分的 Dt[f[x],x],不定积分的 Integrate[f[x],x]和定积分的 Integrate[f[x],{x,a,b}],解任意方程的 Solve[lhs=rhs,x]及微分方程的 DSolve[lhs=rhs,x],解幂级数和付立叶展开的 Series[f[x]],Fourier[f[x]]及其逆变化 InverseSeries,InverseFourier, 求 和函数 Sum[],求积函数 Product[],以上函数均可以适用于多维函数或多维方 程。 Mathematica 中还有相当数量的数值计算函数, 最常用的是 N[表达式,整数] 可以求出表达式精确到指定有效数字的数值解,还有如数值求积分的 NIntegrate[],求方程数值根的 NSolve[]和 NDSolve[],最小、最大值的 NFindMinimum[]和 NFindMaximum[]等等。 Mathematica 还有各种表达式操作的函数, 如取分子、 分母的 Numerator[expr] , Denormator[expr],取系数的 Coefficient[expr],因式分解的 Factor[expr],以 及展开的 Expand[expr]和 ExpandAll[expr],表达式化简的 Simplify[expr]等。 expr 代表一个任意的表达式。

.

求极限 的一般形式是: 的一般形式是:

计算函数极限

Limit[expr,xxLimit[expr,x->x0] x->x0 时函数的极限 Limit[expr,x->x0,DirectionxLimit[expr,x->x0,Direction->-1] x-> Limit[expr,xDirectionxLimit[expr,x->x0, Direction->1] x->
In[1]:= Out[1]:=1

时函数的极限 时函数的极限

.

微商和微分

在 Mathematica 中能方便地计算任何函数表达式的任意阶微商(导数).如果 f 是 一元函数,D[f,x]表示 常用形式如下: ;如果 f 是多元函数,D[f,x]表示 .微商函数的

D[f,x]
In[1]:=D[x^x,x]

Out[1]:= 下面列出全微分函数 Dt 的常用形式及其意义:

Dt[f] 全微分 Dt[f,x] 全导数 Dt[f,x1,x2,…] 多重全导数
In[1]:=Dt[x^2+y^2] Out[1]:=

.

不定积分和定积分

1. 不定积分 Integreate 函数主要计算只含有 1“简单函数”的被积函数. “简单函数”包括 有理函数、指数函数、对数函数和三角函数与反三角函数。不定积分一般形式如 下:

Integrate[f,x] 计算不定积分 Integrate[f,x,y] 计算不定积分 Integrate[f,x,y,z] 计算不定积分
In[1]:= Out[1]:= In[2]:=

Out[2]:= 2.定积分 计算定积分的命令和计算不定积分是同一个 Integrate 函数,在计算定积分时, Integrate 除了要给出变量外还要给出积分的上下限。 当定积分算不出准确结果时, N[%] 用 命令总能得到其数值解.Nintegrate 也是计算定积分的函数,其使用方法和形式 .Nintegrate 和 Integrate 函数相同.用 Integrate 函数计算定积分得到的是准确 解,Nintegrate 函数计算定积分得到的是近似数值解.计算多重积分时,第一个 Nintegrate 自变量相应于最外层积分放在最后计算.

Integrate[f,{x,a,b}] 计算定积分 NIntegrate[f,{x,a,b}] 计算定积分 Integrate[f,{x,a,b},{y,c,d}] 计算定积分 NIntegrate[f,{x,a,b},{y,c,d}] 计算定积分
In[1]:= Out[1]:= In[2]:= Out[2]:= In[3]:= Out[3]:=

.

幂级数

幂级数展开函数 Series 的一般形式: Series[expr,{x,x0,n}] 将 expr 在 x=x0 点展开到 n 阶的级数 Series[expr,{x,x0,n},{y,y0,m}] 先对 y 展开到 m 阶再对 x 展开 n 阶幂级数

展开后, 用 Series 展开后,展开项中含有截断误差 In[1]:= Out[1]:= In[2]:=

Out[2]:= In[3]:= Out[3]:=

2.2、路径积分 在 Mathematica 中求定积分的命令 Integrate 可以用来计算以折线为路径的积 分。 如果积分路径由点集{z0, z1, z2, …, zn}中的各点依次连接成的折线组成, 则被 积函数 f ( z ) 沿该路径的积分为 Integrate[f[z], { z, z0, z1, z2, …, zn}] 例如,我们沿折线路径{ 0,2,2 + i}对函数 z2 进行积分,Mathematica 命令 为 Integrate [ z^2 , { z, 0, 2, 2 + I } ] 2 11 + 3 。 结果为 3 2.3、罗朗展开 在 Mathematica 中泰勒展开的命令 Series 还可以对复变函数进行罗朗展开。 如果 z0 是函数 f[z]的极点,则命令 Series[f[z],{z, z0, n}]可以把该函数在极点展开 为罗朗级数。 例如, 我们把函数极点 sin z 在 z = 1 展开, 要求显示到自变量的第 4 次幂, z ( z 1)

对应的 Mathematica 命令为: Series[Sin[z]/ z /(z-1),{z, 1, 4}]

2.4、留数计算 Mathematica 还提供了计算留数的命令。我们可以用 Residue[f[z],{z, z0 }] 计算复变函数 f(z)在 z0 点的留数值。

例如,我们要求函数 令为:

sin z 在 z = 1 点的留数,对应的 Mathematica 命 z ( z 1)

Residue [Sin[z]/ z /(z-1),{z, 1 }] 结果为 Sin[1]

.

常微分方程

求解常微分方程和常微分方程组的函数的一般形式如下: 求解常微分方程和常微分方程组的函数的一般形式如下: Dsolve[eqns,y[x],x] 解 y(x)的微分方程或方程组 eqns,x 为变量 Dsolve[eqns,y,x] 在纯函数的形式下求解 NDsolve[eqns,y[x],x,{xmin,xmax}] 在区间{xmin,xmax}上求解变量 x 的数的 形式下求解常微分方程和常微分方程组 eqns 的数值解 In[1]:= Out[1]:= In[2]:= Out[2]:= In[3]:=

Out[3]:=

.线性代数
1. 定义向量和矩阵函数
定义一个矩阵, Array.当矩阵元素能用一个函数表达式 定义一个矩阵,可用函数 Table 或 Array.当矩阵元素能用一个函数表达式 在定义矩阵大小的同时也给每个矩阵元素定义确定的值. 时,用函数 Table 在定义矩阵大小的同时也给每个矩阵元素定义确定的值. 只能定义元素为数值的向量.Array 只能用于定义向量、 用函数 Range 只能定义元素为数值的向量.Array 只能用于定义向量、矩 阵和张量, 开始.Array 的一般形式: 阵和张量,并规定矩阵和张量的元素下标从 1 开始.Array 的一般形式:

Array[向量元素名 向量元素名,n,f] 个元素的向量, Array[向量元素名,n,f] 定义下标从 f 开始的有 n 个元素的向量,当 f 是 列的矩阵. 1 时可省略. Array[矩阵元素名,{m,n}] 定义 m 行 n 列的矩阵.其中:矩阵 时可省略. Array[矩阵元素名,{m,n}] 矩阵元素名 元素名是一个标识符,表示矩阵元素的名称,当循环范围是{u,v,w} {u,v,w}时定 元素名是一个标识符,表示矩阵元素的名称,当循环范围是{u,v,w}时定 义一个张量. Table[表达式 f,循环范围 循环范围] 义一个张量. Table[表达式 f,循环范围] 表达式 f 表示向量或矩阵元素 的通项公式;循环范围定义矩阵的大小. 循环范围的一般形式:{ :{循环变 的通项公式;循环范围定义矩阵的大小. 循环范围的一般形式:{循环变 量名,循环初值,循环终值,循环步长}. 量名,循环初值,循环终值,循环步长}. 在 Array 或 Table 的循环范围表 示方法略有区别.请在下面的实例中注意观察. 示方法略有区别.请在下面的实例中注意观察. In[1]:= Out[1]:= 对{}括起来*) {}括起来*) 括起来 In[2]:= Out[2]:= In[3]:= Out[3]:= In[4]:= *) Out[4]:= In[5]:= m*) Out[5]:= 一个矩阵可用一个变量表示,如 In[2]所示 U 是一个矩阵,则 U[[I]]表示 U 的第 I 行的 N 个元素;Transpose[U][[j]]表示 U 的第 J 行的 M 个元 素;U[[I,j]]或 a[I,j]表示 U 的第 I 行第 J 列元 素;U[[{i1,i2,…,ip},{j1,j2,…,jq}]]表示由行为{i1,i2,…,ip}和列 为{j1,j2,…,jq}组成的子矩阵. (*TableForm[m]或 MatrixForm[m]按矩阵形式输出 (*TableForm[m]或 MatrixForm[m]按矩阵形式输出 (*生成对角元素为表元素的对角矩阵 (*生成对角元素为表元素的对角矩阵 (*IndentityMatrix[n]生成 n 维矩阵*) (*IndentityMatrix[n]生成 维矩阵*) (*矩阵每一行元素用一 (*矩阵每一行元素用一

2. 矩阵的运算符号和函数
表达式 意义

A+c A+B cA U.V A.B Det[M] Transepose[M] Inverse[M] Eigenvalus[A] Eigenvalus[N[A]] Eigenvectors[A] Eigenvectors[N[A]] Eigensystem[A] Eigensystem[N[A]]

A 为矩阵,c 为标量,c 与 A 中的每一个元素相加

A,B 为同阶矩阵或向量,A 与 B 的对应元素相加

A 为矩阵,c 为标量,c 与 A 中的每个元素相乘

向量 U 与 V 的内积

矩阵 A 与矩阵 B 相乘,要求 A 的列数等于 B 的行数

计算矩阵 M 的行列式的值

M 的转置矩阵(



)

计算矩阵 M 的逆矩阵(

)

计算矩阵 A 的全部(准确解)特征值

计算矩阵 A 的全部(数值解)特征值

计算矩阵 A 的全部(准确解)特征向量

计算矩阵 A 的全部(数值解)特征向量

计算矩阵 A 的所有(准确解)特征值和特征向量

计算矩阵 A 的所有(数值解)特征值和特征向量

3. 方程组求解函数
LinerSolve[A,B],求解满足 的一个解. 在 Mathematica 中用 LinerSolve[A,B],求解满足 AX=B 的一个解.如果 A 的行列 式不为零,那么这个解是方程组的唯一解; 的行列式是零, 式不为零,那么这个解是方程组的唯一解; 如果 A 的行列式是零,那么这个解是

方程组的一个特解, 方程组的一个特解,方程组的全部解由基础解系向量的线性组合加上这个特解 组成. NullSpace[A]计算方程组 的基础解系的向量表, 组成. NullSpace[A]计算方程组 AX=0 的基础解系的向量表,用 LinerSolve[A,B] NullSpace[A]联手解出方程组 的全部解. 和 NullSpace[A]联手解出方程组 AX=B 的全部解. Mathematica 中还有一个美妙 RowReduce[A],它对 的行向量作化间成梯形的初等线性变换. 的函数 RowReduce[A],它对 A 的行向量作化间成梯形的初等线性变换.用 可计算矩阵的秩, RowReduce 可计算矩阵的秩,判断向量组是线性相关还是线性无关和计算极大线 性无关组等工作. 性无关组等工作. 解方程组函数 RowReduce[A] LinerSolve[A,B] NullSpace[A] 意义 作行的线性组合化简 A,A 为 m 行 n 列的矩阵 的一个解,A 求解满足 AX=B 的一个解,A 为方阵 的基础解系的向量表, 求解方程组 AX=0 的基础解系的向量表, A 为方阵

例:已知 A=

,计算 A 的秩,计算 AX=0 的基础解系.

In[1]:=

In[2]:=

Out[2]:= 2*) In[3]:= In[3]:=

(*显然,A (*显然,A 的秩是 显然

Out[3]:=

的两个线性无关解*) (*A 的两个线性无关解*)

五.程序流程控制
循环语句有 For[赋初值,循环条件,增量语句,语句块]表示如果满足循环 条件,则执行语句块和增量语句,直到不满足条件为止,While[test,block]表 明如果满足条件 test 则反复执行语句块 block,否则跳出循环, Do[block,{i,imin,imax,istep}]与前者功能是相同的。还有 Goto[lab], Label[lab]提供了程序中无条件跳转,Continue[]和 Break[]提供了继续循环或

跳出循环的控制,Catch[语句块 1]和 Throw[语句块 2]提供了运算中对异常情况 的处理。另外,在程序中书写注释可以用一对"(* *)"括起来,注释可以嵌套。

六.其他
1. 使用帮助,Mathematica 的帮助文件提供了 Mathematica 内核的基本用 法的说明,十分详细,可以参照学习。 2. 你可以使用"? 符号名"或"??符号名"来获得关于该符号(函数名或其他) 的粗略或详细介绍。符号名中还可以使用通配符,例如?M*,则系统将给出所有 以 M 开头的关键词和函数名,再如??For 将会得到关于 For 语句的格式和用法的 详细情况。 3. 在 Mathematica 的编辑界面中输入语句和函数,确认光标处于编辑状态 (不断闪烁),然后按 Insert 键来对这一段语句进行求值。如果语句有错,系统 将用红色字体给出 出错信息,你可以对已输入的语句进行修改,再运行。如果 运行时间太长,你可以通过 Alt+.(Alt+句号)来中止求值。 4. 对函数名不确定的,可先输入前面几个字母(开头一定要大写),然后按 Ctrl+K,系统会自动补全该函数名。

七.应用例子

量子一维、二维简谐振子问题

量子一维简谐振子图像

量子二维简谐振子图像


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