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直线和平面垂直的判定与性质


直线和平面垂直的判定与性质(二)

一、素质教育目标 (一)知识教学点 1.直线和平面垂直的性质定理. 2.点到平面的距离. 3.直线和平面的距离. (二)能力训练点 1.掌握直线和平面垂直的性质定理,并能应用它们灵活解题. 2.掌握用反证法证明命题. (三)德育渗透点 通过例题 2 的学习向学生渗透转化的思想和化归的解题意识. 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1.教学重点: (1)掌握直线和平面垂直的性质定理: 若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b. (2)掌握点到平面的距离及一条直线和一个平面平行时这条直线和平面的

距离的定义.
2.教学难点:性质定理证明中反证法的学习和掌握,应让学生明确,对于

一些条件简单而结论复杂的命题,可考虑使用反证法.
3.教学疑点:设计一个综合题,引导学生思考点到平面的距离和直线到平 面的距离问题的互化. 三、课时安排 本课题共安排 2 课时,本节课为第二课时. 四、学生活动设计(常规活动,略)

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五、教学步骤 (一)温故知新,引入课题 师:上节课,我们学习了直线和平面垂直的定义和判定定理,请两个同学来叙述一下 定义和判定定理的内容. 生(甲):一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,我们说这两条直线和这个平面 互相垂直. 生(乙):直线和平面垂直的判定定理是:如果一条直线和一个平面内的两条相交直 线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面. (板书如右)

师:利用判定定理我们还证明了线线平行的性质定理(即例题 1),也请一个同学

叙述一下.
生(丙):如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个 平面. (板书)若 a∥b,a⊥α 则 b⊥α .

师:这个用黑体字写成的例题可以当作直线和平面垂直的又一个判定定理,现在请同 学们改变这个定理的题设和结论,写出它的逆命题. 生:若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b. 师:下面就让我们看看这个命题是否正确? (二)猜想推测,激发兴趣
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教师写出已知条件并画出图形,作探讨性证明 已知:a⊥α , b⊥α (如图 1-73) 求证:a∥b. 分析:a、b 是空间中的两条直线,要证明它们互相平行,一般先证明它们共

面,然后转化为平面几何中的平行判定问题,但这个命题的条件比较简单,想说 明 a、b 共面就很困难了,更何况还要证明平行.

我们能否从另一个角度来证明,比如,a、b 不平行会有什么矛盾?这就是我们

提到过的反证法.
师:您知道用反证法证明命题的一般步骤吗? 生:否定结论→推出矛盾→肯定结论 师:第一步,我们做一个反面的假设,假定 b 与 a 不平行,现在应该要推出矛盾,

从已知条件中的垂直关系,让我们想起例题 1(线线平行定理),在这个定理的 已知条件中,平面有一条垂线,垂线有一条平行线,因此需要添加一条辅助线.
(三)层层推进,证明定理 证明:假定 b 与 a 不平行 设 b∩α =O,b′是经过点 O 与直线 a 平行的直线, ∵ a∥b′,a⊥α ,∴b′⊥α .

经过同一点 O 的两条直线 b,b′都垂直于平面α 是不可能的. 因此,a∥b.
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由此,我们得到: 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 师:这就是直线和平面垂直的性质定理; 师:学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理,我们再来看看点到平面的距离的 定义: 从平面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距 离. (四)初步运用,提高能力 1.例题 2

已知:一条直线 l 和一个平面α 平行.求证:直线 l 上各点到平面α 的距离相

等.
分析:首先,我们应该明确,点到平面的距离定义,在直线 l 上任意取两点 A、B,

并过这两点作平面α 的垂线段,现在只要证明这两条垂线段长相等即可.
证明:过直线 l 上任意两点 A、B 分别引平面α 的垂线 AA1、BB1,垂足分别为

A1、B1
∵ AA1⊥α ,BB1⊥α , ∴ AA1∥BB1(直线与平面垂直的性质定理). 设经过直线 AA1 和 BB1 的平面为β , β ∩α =A1B1. ∵ l∥α ,∴ l∥A1B1. ∴ AA1=BB1(直线与平面平行的性质定理)即直线上各点到平面的距离相等. 师:我们再来学习直线和平面的距离的定义:
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一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和平面 的距离. 师:本例题的证明,实际上是把立体几何中直线上的点到平面的距离问题转化成平面 几何中两条平行直线的距离问题. 这种把立体几何的问题转化成平面几何的问题的方法, 是 解决立体几何问题时常常用到的方法. 2.思考(课后练习 4) 安装日光灯时,怎样才能使灯管和天棚、地板平行? 生:只要两条吊线等长. 师:转化为数学模型是, 如图 1-76 已知:直线 l 上 A、B 两点到平面α 的距离相等,求证:l∥α .

师:本题仿照例题 2 方法很容易证明,但以下的论述却是假命题,你知道是为

什么吗?
直线 l 上 A、B 两点到平面α 的距离相等,那么 l∥α . 3.如图 1-77,已知 E,F 分别是正方形 ABCD 边 AD,AB 的中点,EF 交 AC 于

M,GC 垂直于 ABCD 所在平面.

(1)求证:EF⊥平面 GMC. (2)若 AB=4,GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离.

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分析:第 1 小题,证明直线与平面垂直,常用的方法是判定定理;第 2 小题, 如果用定义来求点到平面的距离, 因为体现距离的垂线段无法直观地画出, 因此, 常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题. 解: (1)连结 BD 交 AC 于 O, ∵E,F 是正方形 ABCD 边 AD,AB 的中点,AC⊥BD, ∴EF⊥AC.

∵AC∩GC=C, ∴EF⊥平面 GMC. (2)可证 BD∥平面 EFG,由例题 2,正方形中心 O 到平面 EFG

(五)归纳小结,强化思想 本节课,我们学习了直线和平面垂直的性质定理,以及两个距离的定义.定理的证明 用到反证法, 证明几何问题常规的方法有两种: 直接证法和间接证法, 直接证法常依据定义、 定理、公理,并适当引用平面几何的知识;用直接法证明比较困难时,我们可以考虑间接证 法,反证法就是一种间接证法. 六、布置作业 作为一般要求,完成习题四 5、6、7、8;提高要求,完成以下两个补充练习. 1.已知矩形 ABCD 的边长 AB=6cm,BC=4cm,在 CD 上截取 CE=4cm,以 BE

为棱将矩形折起,使△BC′E 的高 C′F⊥平面 ABED,求:
(1)点 C′到平面 ABED 的距离; (2)C′到边 AB 的距离; (3)C′到 AD 的距离.

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参考答案: (1)作 FH⊥AB 于 H,作 FG⊥AD 于 G,则 C′H⊥AB,

2.如图 1-79,已知:ABCD 是矩形,SA⊥平面 ABCD,E 是 SC 上一点.

求证:BE 不可能垂直于平面 SCD. 参考答案:用到反证法,假设 BE⊥平面 SCD,

∵ AB∥CD;∴AB⊥BE.

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∴ AB⊥SB,这与 Rt△SAB 中∠SBA 为锐角矛盾. ∴ BE 不可能垂直于平面 SCD.

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