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南充高中2011年素质技能邀请赛数学试题


南充高中 2011 年素质技能邀请赛

数 学 试 题
(考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分)

填空题) 第Ⅰ卷(选择.填空题) 选择 填空题
下列各题只有一个正确的选项, 一、选择题(每小题 5 分,共计 30 分.下列各题只有一个正确的选项,请将正确选项的番 选择题( 下列各题只有一个正确的选项 号填入答题卷的相应位置) 号填入答题卷的相应位置) 1.已知 y ≤ 1 且 2 x + y = 1 ,则 2 x 2 + 16 x + 3 y 2 的最小值为 A.

19 2

B. 3

C.

27 7

D.13

2. AE , CF 是锐角三角形 ABC 的两条高,如果 AE : CF = 3 : 2 ,则 sin A : sin C 等于 A. 3:2 B. 2:3 C. 9:4 D.4:9

3.关于 x 的方程 ax 2 + ( a + 2) x + 9a = 0 有两个不等的实数根 x1 , x2 ,且 x1 < 1 < x2 ,那么

a 的取值范围是 2 2 A. ? < a < 7 5

B. a >

2 5

C. a < ?

2 7

D. ?

2 <a<0 11

4.在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后,得到新的盐水,它的浓度为 20℅,又在新盐 水中加入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后,盐的浓度变为 33 水的浓度为 A.23℅

1 ℅,那么原来盐 3
D.32℅

B.25℅

C. 30℅

5.已知是两个连续自然数 ( m < n) ,且 q = mn ,设 p =

q + n + q ? m ,则 p

A.总是奇数 B.总是偶数 C.有时是奇数有时是偶数 D.有时是有理数有时是无理数 6. P 为正三角形 ABC 内部一点,PD ⊥ BC 于 D , PE ⊥ AC 于 E , PF ⊥ AB 于 F , 则 A. PA + PB + PC 的值不变 B. PA ? PB ? PC 的值不变 D. PD ? PE ? PF 的值不变 C. PD + PE + PF 的值不变 请将你的答案填到答题卷的相应位置处) 二、填空题(每小题 5 分,共计 50 分,请将你的答案填到答题卷的相应位置处) 填空题( 7.若

1 2 3 3 2 1 1 1 1 + + = 5, + + = 7 ,则 + + = x y z x y z x y z
南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题 第1页 共6页

8.关于 x, y 的二次式 x + 7 xy + my ? 5 x + 43 y ? 24 可以分解为两个一次因式的乘积, 则
2 2

m 的值是
9.如图△ABC 中,AC>AB,AB=4,AC=x,AD 平分∠BAC, BD⊥AD 于 D,点 E 是 BC 的中点,DE=y,则 y 关于 x 的函数关系式为

A

D B E C

10.袋中装有 3 个红球,一个白球,它们除了颜色以外都相同,随机从中摸出一球,记下 颜色后放回袋中充分摇匀后,再随机摸出一球,两次都摸到红球的概率为 11. 光 线 如 图 示 的 角 度 照 射 到 平 面 镜 上 , 然 后 在 两 平 面 镜 之 间 来 回 反 射 , 已 知

α = 600 , β = 500 ,则 γ =
α
A1

β

12.在平面直角坐标系中, 已知 P 的坐标 (1, 0 ) , 将其绕着原点按逆时针方向旋转 30 得到 1
0

α

γ

P2 ,延长 OP2 到 P3 使 OP3 = 2OP2 ,再将 P3 绕原点按逆时针方向旋转 300 得到 P4 ,延
长 OP4 到 P5 使 OP = 2OP4 ,如此继续下去,则点 P2010 的坐标为 5 13. 一 圆 周 上 有 三 点 A, B, C , ∠A 的 平 分 线 交 边 BC 于 D , 交 圆 于 E , 已 知

BC = 2, AC = 3, AB = 4 ,则 AD ? DE =
14.在锐角 ?ABC 中,高 BD, CE 交于点 F ,∠A = 450 , ?DEF 的面积为 S ,则 ?BFC 的 面积为 15.方程 x + 2 x ? 1 +

x ? 2 x ? 1 = x ? 1 的解为
2

16. 下 列 命 题 : ① 若 x = 2010 × 2012 + 1 , 则 x = 2011 ; ② 若 xy < 0 , 且

a ? 2 y + 1 + ( x + 1) 2 = 0 , a > ?1 ; 则 ③若一直角梯形的两条对角线的长分别为 9 和 11,
上、 下两底长都是整数, 则该梯形的高为 6 2 ; ④已知方程 ax 2 + bx + c = 0( a > b > c ) 的 一个根为 1,另一个根的取值范围是 ?2 < α < ? 其中正确的命题的序号为

1 . 2

南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题

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/ / / / / / / / / / / / / / /密/ / / / / / / / / / / / / / 封/ / / / / / / / / / / / / / 线/ / / / / / / / / / / / / / / /

第Ⅱ卷(答题卷) 答题卷)
一、选择题答案:(每小题 5 分,共计 30 分) 选择题答案: 每小题 题号 答案 二、填空题答案:(每小题 5 分,共计 50 分) 填空题答案: 每小题 7.______________________ 9.______________________ 11._____________________ 13._____________________ 8.______________________ 10.______________________ 12.______________________ 14.______________________ 1 2 3 4 5 6

考号_________________

初中就读学校___________________________

15._____________________ 16._____________________ 三、解答题: 本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的说明 证明过程和推演步骤) 解答题: (本大题共 个小题 共 ( 解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤 解答应写出必要的说明 证明过程和推演步骤 17.(本小题 10 分)设 abc = 1 ,求 (

a b c + + 的值. ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1

18. (本小题 12 分)已知 ?ABC 的两边 AB, AC 的长是关于 x 的一元二次方程

x 2 ? (2k + 3) x + k 2 + 3k + 2 = 0 的两个实数根,第三边长为 5.
(1) k 为何值时, ?ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形 (2) k 为何值时, ?ABC 是等腰三角形,并求 ?ABC 的周长

姓名________________

南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题

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19. ( 本小题 12 分 ) 在平行四边形 ABCD 中, P 为 CD 边上一点, AP 与 BP 分别为 ∠DAB 和 ∠CBA 的平分线 (1)判断 ?APB 是什么三角形,并证明你的结论; (2)比较 DP 与 PC 的大小; (3)以 AB 为直径的⊙ O交 AD 于点 E ,连接 BE 与 AP 交于 F ,若 AD = 5, AP = 8 , P C D 求证: ?AEF ∽ ?APB ,并求 tan ∠AFE 的值

A

B

20. (本小题 12 分)已知 ?ABC 是⊙ O的内接三角形, BT 为⊙ O的切线, B 为切点, P 为直线 AB 上一点,过点 P 做 BC 的平行线交直线 BT 于点 E ,交直线 AC 于点 F (1)当点 P 在线段 AB 上时求证: PA ? PB = PE ? PF (2)当点 P 为线段 BA 延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请证 明,否则说明理由; (3)若 AB = 4 2, cos ∠EBA =

1 ,求⊙ O的半径 3

A P

F

.
O B

C

E T

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21. (本小题 12 分)如图所示,已知 A B两点的坐标分别为(28,0)和(0,28) , ,动点 P从点

A开始, 在线段 AO 上以每秒 3 个长度单位的速度向原点 O运动, 动直线 EF 从 x 轴开始,
以每秒 1 个长度单位的速度向上移动 (即 EF ∥ x 轴)且分别与 y 轴、 , 线段 AB交于点 E, F , 连接 FP,设动点 P与动直线 EF 同时出发,运动时间为 ts (1)当 t =1s 时,求梯形 OPFE 的面积, t 为何值时,梯形 OPFE 的面积最大?最大面积 是多少? (2)当梯形 OPFE 的面积等于三角形 APF 的面积时,求线段 PF 的长; (3)设 t 的值分别取 t1,t2 时( t1 ≠ t2 ) ,所对应的三角形分别为 ?AFP和 ?AFP ,判断这两 1 1 2 2 个三角形是否相似,请证明你的结论. y B

E P

F x A

O

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22. (本小题 14 分)如图,已知点 B (-2,0) C (-4,0),过点 B,C 的⊙ M 与直线 x=?1相切 于点 A( A在第二象限),点 A关于 x 轴的对称点是 A ,直线 AA 与 x 轴相交点 P 1 1

B (1)求证:点 A 在直线 M 上 1
(2)求以 M 为顶点且过 A 的抛物线的解析式; 1 (3)设过点 A 且平行于 x 轴的直线与(2)中的抛物线的另一交点为 D,当⊙ D与⊙ M 1 y 相切时,求⊙ D的半径和切点坐标

M C D
A1

A B P O

x

南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题

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