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2016届湖北省鄂东南教改联盟学校(黄石二中等)高三上学期期中联考数学(理)试题


鄂东南教改联盟学校 2015 年秋季期中联考

高三数学(理科)答案
一、选择题:
1、C 2、A 3、C 4、B 5、A 6、C 7、A 8、C 9、B 10、D 11、C 11、如图,易知 ?BCD 的面积最大 12、 解:令 F ( x) ? f ( x) ? x 2 ,
D B
2

12、B

? F ( x) ? F (? x) ? f ( x) ? x ? f (? x) ? (? x) ? 0
2

∴函数 F ( x) 为奇函数
C

∵ x ? (0 ,

? ?) 时 , F , ( x) ? f , ( x) ? 2 x ? 0 , 函 数 F ( x ) 在

A

x ? (0 , ? ?) 为增函数
又由题可知, f (0) ? 0,? F (0) ? 0 ,所以函数 F ( x) 在 R 上为增函数 由 f (2 ? m) ? 4m ? 4 ? f (m) 可知 f (2 ? m) ? (2 ? m) ? f (m) ? m
2 2



F (2 ? m) ? F (m) 所以 2 ? m ? m即有m ? 1

二、填空题:
13、2 14、 5 15、 3 7 16、 a ? ?

8 7

三、解答题(17—21 为必做题)
17. 解:由 S ? S ? 2S ? 2(n ? 3) 知 n n ?2 n ?1

Sn ? Sn?1 ? Sn?1 ? Sn?2 ? 2 ? an ? an?1 ? 2? an ? an?1 ? 2(n ? 3)
又? a ? a ? 2 故 a ? a ? 2(n ? 2) 2 1 n n ?1

……………………………2 分 ……………………………4 分

??an ? 为等差数列
(1) 由(1)知, a ? 2n ? 1? b ? 2n ? 1 n n n

……………………………6 分

3

1 1 1 ?Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 3 ? ? 5 ? 2 ? ??? ? ? 2n ? 1? ? n 3 3 3 1 1 1 1 Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 3 ? ??? ? (2n ? 1) ? n ?1 3 3 3 3
①-②得:

① ② ………8 分

2 1 1 1 1 1 ? Tn ? 3 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? 2 ? n ? (2n ? 1) ? n ?1 3 3 3 3 3 3 1 ? ?1 ? 3 (1 ? 3n ) ? 2 1 1 4 1 1 ? Tn ? ? 2 ? ? (2n ? 1) ? n?1 ? ? n ? (2n ? 1) ? n?1 ………………10 分 ? 3 3 3 3 3 3 ? 1? 1 ? 3 ? ? 1 …………………………12 分 ?Tn ? 2 ? (n ? 2) ? n 3
18、解: (1)将 y ? sin x 的图像向左平移

? ? 个单位长度可得 y ? sin( x ? ) 的图像,保持 6 6 1 ? 纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,可得 y ? sin( x ? ) 的图像,故 2 6 1 ? f ( x) ? sin( x ? ) 2 6
…………6 分 (2)令 2k? ?

?
2

?

1 ? 3? 2? 8? x ? ? 2 k? ? ? 4 k? ? ? x ? 4k? ? 2 6 2 3 3

又 x ??0,3? ? ? x ? ?0,

? 2? ? ? 2? 8? ? ? 8? ? f ( x) 单调递增, x ? ? , ? f ( x) 单调递减, x ? ? ,3? ? ? ? 3 ? ? 3 3 ? ? 3 ?
1 3 , x ? 3? 时 m ? ? 2 2

f ( x) 单调递增, f ( x)max ? 1, f ( x)min ? ?1 x ? 0 时 m ?

故方程 f ( x) ? m 有唯一实数根的 m 的取值范围为 m ? ? ? …………12 分 19.解: (1)法 1:化简 f ( x ) 得 f ( x) ? ( x ? a) …………1 分
3

? ? ?

3 1? , ? ? ??1,1? 2 2? ?

由 f ( x ) 的图像关于点 (1, 0) 成中心对称,则 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 0 …………2 分 即 f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 代入 f ( x ) 得 ? x ? a ? ? ? 2 ? x ? a ? ? 0 整理得:
3 3

6(1 ? a) x 2 ? 12(a ? 1) x ? ? 2 ? a ? ? a 3 ? 0 对 x ? R 恒成立则
3

? 6 ? 6a ? 0 3 ? ? 12(a ? 1) ? 0 ? a ? 1? f ( x) ? ? x ? 1? ?(2 ? a)3 ? a 3 ? 0 ?
…………6 分 法 2:? f ( x) ? x 是奇函数, f ( x) ? ( x ? a) (a ? R) 是将 f ( x ) 的图像向左( a ? 0 )或向
3 3

右( a ? 0 )平移 a 个单位,由题意平移后的图像关于点 (1, 0) 成中心对称,故 a ? 1 (2) g ( x) ? f ( x) ? 2 x2 ? ( x ?1)3 ? 2x2

1 ? g ?( x) ? 3x 2 ? 10 x ? 3 ? 0 ? x1 ? , x2 ? 3 又 x ???1,1? 则 3 1 14 ? 1? ?1 ? x ? ??1, ? g ( x) 递增, x ? ? ,1? f ( x) 递减,故 g ( x) max ? g ( ) ? ? 3 27 ? 3? ?3 ?
g (?1) ? ?10, g (1) ? ?2 ? g ( x) min ? ?10
…………10 分 综上, g ( x) max ? ?

14 27

g ( x)min ? ?10
…………12 分 20.解法一: (1)如图:

连AC , 设AC ? BD ? O, AP与面BDD1 B1 交于点G,连OG.

……1 分

因为PC // 面BDD1 B1 , 面BDD1 B1 ? 面APC ? OG, 故 OG // PC . 所 以 1 m . 又 OG ? PC ? 2 2 ……3 分 AO ? DB, AO ? BB1 , 所以AO ? 面BDD1 B1  
故 ?AGO即为AP与面BDD1 B1 所成的角。 ……4 分

2 OA 1 tan AGO ? ? 2 ? 3 2 ,即 m ? . 在 Rt △ AOG中, m OG 3 2 1 故当 m ? 时,直线 AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为 3 2 . ……6 分 3 (Ⅱ)依题意,要在 A1 C1 上找一点 Q ,使得 D1 Q ? AP .只需 D1 Q ? 面ACC1 A1 . …7 分
设 A1C1 ? B1 D1 ? O1 ,可推测 A1 C1 的中点 O1 即为所求的 Q 点. 因为 D1 O1 ? A1 C1 . D1 O1 ? AA1 ,所以 D1 O1 ? 面ACC1 A1 . 即 D1 Q ? 面ACC1 A1 . ……10 分 又 AP ? 面ACC1 A1 . ,故 D1 O1 ? AP . 即 D1 Q ? AP ……12 分 解法二: (1)建立如图所示的空间直角坐标系,……1 分 ……8 分

则 A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m),C(0,1,0), D(0,0,0), B1(1,1,1), D1(0,0,1). 所以 BD ? (?1, ?1, 0), BB1 ? (0, 0,1), AP ? (?1,1, m), AC ? (?1,1, 0). 设 AP 与 面BDD1 B1   所成的角为 ? ,

??? ?

???? ?

??? ?

????

? ???? ??? ? ???? ???? ???? 又由 AC ? BD ? 0, AC ? BB1 ? 0知 AC为平面BB1 D1 D 的一个法向量. ……3 分

……2 分

??? ? ???? | AP ? AC | 2 ? ???? ? 则 sin ? ? cos( ? ? ) ? ??? 2 | AP | ? | AC | 2 ? 2 ? m2

?

……4 分

依题意有: 故当 m ?

2 2? 2?m
2

?

3 2 1 ? (3 2)
2

,解得 m ?

1 . 3

……5 分

1 时,直线 AP与平面BDD1 B1 所成的角的正切值为 3 2 . ……6 分 3 (2)若在 A1 C1 上存在这样的点 Q ,设此点的横坐标为 x ,……7 分 ???? ? 则 Q ( x,1 ? x,1), D1Q ? ( x,1 ? x, 0) . ……8 分 ???? ? ??? ? 依题意,对任意的 m 要使 D1Q ? AP ,只需 D1Q ? AP ? 0 对 ? m 恒成立 ……9 分 ??? ? ???? ? 1 D1Q ? AP ? AP ? D1Q ? 0 ? ? x ? (1 ? x) ? 0 ? x ? ,……11 分 2
即 Q 为 A1 C1 的中点时,满足题设的要求 21.(1)解: f ?( x) ? ln(ax) ? 1 ? ……12 分

x 1 ? 即 2ln(ax) ? 1 ? x ? 0 在 x ? 0 恒成立 2 2 2 令 h( x) ? 2 ln(ax) ? 1 ? x ? h?( x) ? ? 1 x
故 x ? (0, 2) 时, h?( x) ? 0, 则 h( x) 在 (0, 2) 递增, x ? 2 时, h?( x) ? 0, 则 h( x) 在

(2, ??) 递减,则 h( x)max ? h(2) 依题意 h(2) ? 0 ? 0 ? a ?
(2) a ? 1, f ( x) ? x ln x ,令 f ?( x) ? 0 得 x ?

e 2

1 1 且 x ? (0, ), f ?( x) ? 0, f ( x) 递减, e e

1 1 x ? ( , ??), f ?( x) ? 0, f ( x) 递增,故 x0 ? e e
则 m, n ? ? ,1? ,

1 ?1 ? 2 ? m ? n ? 1,由 x ? ( , ??), f ?( x) ? 0, f ( x) 递增,则有 e ?e ? e

f (m ? n) ? (m ? n) ln(m ? n) ? m ln m m?n ? ln m ? ln(m ? n) m
同理

f (m ? n) ? (m ? n) ln(m ? n) ? n ln n m?n ? ln n ? ln(m ? n) n
n m ? m?n m?n? ln m ? ln n ? ? ? ? ln(m ? n) ? (2 ? ? ) ln(m ? n) n ? m n ? m
? 2 ln(m ? n) ? ( n m n m ? ) ln(m ? n) 又 ln(m ? n) ? 0, ? 0, ? 0 m n m n
n

mn n ? ln(mn) ? 2 ln(m ? n) ? ln(m ? n) 即得 ? (m ? n) m 即证。 m ( m ? n) 2
22(1)证明 连结 ON,则 ON⊥PN,且△OBN 为等腰三角形,则∠OBN=∠ONB, ∵∠PMN=∠OMB=90°-∠OBN,∠PNM=90°-∠ONB, ∴∠PMN=∠PNM,∴PM=PN. 根据切割线定理,有 PN =PA·PC,∴PM =PA·PC. (2)解 OM ? x ?OA ? 3x 则在直角 ? OBM 中, BM ? 2 x 又
MA ? 3x ? x, CM ? 3x ? x 由相交弦定理得
2 2

2x ? 2 ? ( 3x ? x) ? ( 3x ? x) ? x ? 2

故 ? O 的半径 r ? 2 3 ? BN 弧长 l ? 2 3 ? 2? ? 4 3?
3 3

23 解: (1)由 ? : ?

? ? x? ? ? x ? ??2 (? ? 0, ? ? 0) 知 ? ? ? y? ? ? y ?? ? 2
2
2

(2) ? ?

cos ? ? 2sin ?
2

?

2 1 ? sin ?
2

故当 ? ?

?
2

时, ?

min

?

2

24.已知 a, b, c ? R , 求证: a
?

2

b?c

?

b2 c2 1 ? ? (a ? b ? c) c?a a?b 2

证明:法一:? a

2

b?c

?

b?c b2 c?a c2 a ?b ? a, ? ? b, ? ?c 4 c?a 4 a?b 4

相加得 a

2

b?c

?

b2 c2 1 ? ? (a ? b ? c) ,即证。 c?a a?b 2

法二:由柯西不等式得

? ? ?

?

b?c
2

? ??
2

c?a

? ??
2

?? a ? 2 ? b ? 2 ? c ? 2 ? 2 ? a ? b ?? ?? ?? ? ? ?a ? b ? c? ? ? ? ? ?? ?? b ? c ? ? c ? a ? ? a ? b ? ? ?

?

2

即得 a

b2 c2 1 ? ? ? (a ? b ? c) b?c c?a a?b 2


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