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求通项公式的几种方法


求通项公式的几种方法
山东 徐美春 聂洪玉
数列的通项公式是研究数列的重要依据,下面介绍几种求数列通项公式的方法.

一、观察法
已知一个数列的前几项,观察其特点,写出通项公式. 例1 观察下列数的特点,写出每个数列的一个通项公式.

2 1 2 2 3 4 5 (1) 1 ,,, ; (2) ? ,, ? , . 3 2 5 3 8 15 24 n ?1 2 解: (1) an ? ; (2) an ? (?1) n . (n ? 1) 2 ? 1 n ?1

二、由 ?an ? 的前 n 项和 Sn 与 an 间的关系,求通项
已知数列 ?an ? 的通项公式,可以求出 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ;反过来, 若已知 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,如何求 a n 呢?
∵ Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an,Sn ?1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 (n ≥ 2) , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ;当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ,

(n ? 1), ?S 故 an ? ? 1 ? Sn ? Sn ?1 (n ≥ 2).

此处应注意 an ? Sn ? Sn ?1 并非对所有的 n ? N? 都成立,而只对当 n ≥ 2 且为正整数时成 立,因此由 Sn 求 a n 时必须分 n ? 1 和 n ≥ 2 两种情况进行讨论. 例2 设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3? n2 ? n(n ? N? ) ,求数列 ?an ? 的通项公式.

解:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ? 12 ? 1 ? 2 ; 当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? n ? 3(n ? 1)2 ? n ? 1 ? 6n ? 4 . 此式对 n ? 1 也适用.
? an ? 6n ? 4(n ? N? ) .

点评:利用数列的前 n 项和 Sn 求数列的通项公式 a n 时,要注意 a1 是否也满足
an ? Sn ? Sn ?1 (n ≥ 2) 得出的表达式,若不满足,数列的通项公式就要用分段形式写出.

三、利用公式求通项公式
已知一个数列是特殊的数列,只要求出首项和公差代入公式即可求出通项. 例 3 等差数列的前 n 项和记为 Sn ,已知 a10 ? 30,a20 ? 50 ,求通项 a n . ? 9 d? 3, 0 解:∵ a1 0? a 1 ① a2 0 ? a 1?1 9 d ? 5 , 0 ② ②-①,得 10d ? 20,d ? 2 .代入①,得 a1 ? 12 .

? an ? 2n ? 10 .

四、利用递推关系,求通项公式
根据题目中所给的递推关系,可构造等差数列或采取叠加,叠乘的方法,消去中间项求通项公式. 例 4 根据下列条件,求数列的通项公式 an (n ? N? ) . (1) 数列 ?an ? 中, a2 ? 2 3 ,an ? an?1 ? 3(n ≥ 2) ;
,an ?1 ? an ? 3n ; (2) 数列 ?an ? 中, a1 ? 1

(3) 数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,an?1 ? an ?

an . n ?1

解: (1)因为 a2 ? a1 ? 3 ,所以 a1 ? a2 ? 3 ? 3 . 又 an ? an?1 ? 3 ,所以 ?an ? 成等差数列,公差为 3 . 所以 an ? 3 ? (n ? 1) 3 ? 3n . (2)因为 an ?1 ? an ? ?3n ,所以 a2 ? a1 ? ?3 ? 1 , a3 ? a2 ? ?3 ? 2 , a4 ? a3 ? ?3 ? 3 , ? , an ? an ?1 ? ?3(n ? 1) . 将上面 n ? 1 个式子叠加,得 an ? a1 ? ?3(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1) ? ?3 ?

(n ? 1)n 3 ? ? (n2 ? n) , 2 2

3 3 3 所以 an ? 1 ? (n2 ? n) ? ? n2 ? n ? 1 . 2 2 2 a n?2 a (3)由 an?1 ? an ? n ,变形为 n ?1 ? , an n ?1 n ?1 a a a 3 4 n ?1 ? 2 ? , 3 ? , ?, n ? . a1 2 a2 3 an ?1 n
将上面的式子叠乘,得
an n ? 1 ? . a1 2

1 ? an ? (n ? 1) . 2

五、两式相减,消项求通项
例5 数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? n(n ? 1)(n ? 2) ,求 a n .

解:由题意 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an?1 ? (n ? 1)n(n ? 1)(n ≥ 2) , 又 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? n(n ? 1)(n ? 2) , 两式相减,得 nan ? 3n(n ? 1) . ? an ? 3(n ? 1) . 又 n ? 1 时,也适合上式,? an ? 3(n ? 1) . 总之,求数列通项公式的方法有很多,同学们要在实践中注意总结,寻找解题规律.


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