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暑假空课(一)任意角三角函数与诱导公式1


合肥八中 2016 年高三校本作业 数学(理)暑假空课(一) 第四章 第1节
一、 知识框架 1.角的概念 (1)角的形成 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转而成的角 ? ?按旋转方向? 负角:按顺时针方向旋转而成的角 ?不同分类 ? ? ?零角:射线没有旋转 (2)角的分类? ?象限角:角的终边在第几象限,这个 按终边位置? ?不同分类 ?角就是第几象限角 ? ?轴线角:角的终边落在坐标轴上 ? (3)所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合:S={β|β=α+k· 360° , k∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z}. 2.弧度制 (1)1 弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. (2)角 α 的弧度数 l 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l,那么,角 α 的弧度数的绝对值是|α|= . r (3)角度与弧度的换算 180? π ①180° =π rad;②1° = rad;③1 rad=? . ? π ?° 180 (4)弧长、扇形面积的公式 1 设扇形的弧长为 l,圆心角大小为 α(rad),半径为 r,则 l=|α|r,扇形的面积为 S= lr= 2 1 |α|· r2. 2 3.任意角的三角函数 (1)定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 sin α=y,cos α

三角函数

任意角三角函数与诱导公式
陆 睿

y =x,tan α= (x≠0). x (2)几何表示: 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示. 正弦线的起点都在 x 轴上, 余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段 MP,OM,AT 分别叫做 角 α 的正弦线,余弦线和正切线.

(3)三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 4.同角三角函数基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R). π sin α ? α≠kπ+ ,k∈Z?. (2)商数关系:tan α= 2 ? cos α? 5.诱导公式 角 数 正弦 余弦 正切 2kπ+ α(k∈Z) sin_α cos_α tan_α π+α -sin_α -cos_α tan_α -α -sin_α cos_α -tan_α π-α sin_α -cos_α -tan_α π -α 2 cos_α sin_α — π +α 2 cos_α -sin_α —



二、 典型例题 【例 1】(1)点 P 从(-1,0)出发,沿单位圆顺时针方向运动 为________.

8? 弧长到达点 Q,则点 Q 的坐标 3

(2)已知角 α 的终边上一点 P(- 3,m)(m≠0),且 sin α=

2m ,求 cos α,tan α 的值. 4

【例 2】若 Sn= sin 数是 ( A.16 ) B.72

?
7

? sin

2? n? ? ? ? sin (n∈N*),则在 S1,S2,…,S100 中,正数的个 7 7
C.86 D.100

三、基础夯实 1.已知 sin αcos α= A. ?

1 5? 3? ?? ? ,且 ,则 cos α-sin α 的值为( 8 4 2
B.

)

3 2

3 2

C. ?

3 4

D.

3 4

2.若 sin θ,cos θ 是方程 4x2+2mx+m=0 的两根,则 m 的值为( A.1+ 5 B.1- 5 C.1± 5

)

D.-1- 5

3.已知 cos α 是方程 3x2-x-2=0 的根,且 α 是第三象限角,则

sin(?? ?

3? 3? ) cos( ? ? ) tan 2 (? ? ? ) 2 2 等于(

cos( ? ? )sin( ? ? ) 2 2
9 A. 16 9 B.- 16 5 C.- 4 5 D. 4

?

?

)

4.若 sin ? A. ?

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? =( ?6 ? 3 ? 3 ?
7 9
B. ?



1 3

C.

1 3

D.

7 9

5.已知正角 ? 终边上一点的坐标为 (sin A.
5? 6

2? 2? , cos ) ,则角 ? 的最小值为 ( 3 3

)

B.

2? 3

C.

5? 3

D.

11? 6

6.sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α= (
A.-1 B.- 2 2 C. 2 2

) D.1

7.若 f(cos x)=cos 2x, 则 f(sin 15° )=________.

8.已知 sin α=

1 ? cos 2? +cos α,且 α∈ (0, ) ,则 的值为________. ? 2 2 sin(? ? ) 4

9.f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4(a, b, α, β 均为非零实数), 若 f( 2 0 1 6 ) 6 ? ,

则 f (2017) ? ________.

10.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的 位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, 的坐标为________.

四、能力提升 11. 已知 ?

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

1 . 5

(1)求 sinx-cosx 的值;

3sin 2
(2)求

x x x x ? 2sin cos ? cos 2 2 2 2 2 的值. 1 tan x ? tan x

12.已知 tan

?
2

=2,求:

(1) tan(? ?

?
4

) 的值;

(2)

6 sin ? ? cos ? 的值. 3sin ? ? 2 cos ?

13.已知关于 x 的方程 2x2-( 3+1)x+m=0 的两根分别是 sin θ 和 cos θ,θ∈(0,2π),求:

sin 2 ? cos ? ? (1) 的值; sin ? ? cos ? 1 ? tan ?
(2)m 的值; (3)方程的两根及此时 θ 的值.


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