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2.1.1曲线的参数方程(教学设计)


SCH 南极数学高中同步教学设计人教 A 版选修 4-4《坐标系与参数方程》

2.1.1 曲线的参数方程(教学设计) 教学目标: 1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物运动轨迹的参数方程,体会参数的意 义。 2.分析曲线的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。 教学重点:根据问题的条件引进适当的参数,写出参数方程,体会参数的意义。 教学难点:根据几何性质选取恰当的参数,建立曲线的参数方程。 教学过程 一、复习回顾: 在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法,在求某些曲线方程时,直接确定曲线上 的点的坐标 x,y 的关系并不容易,但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁,那么就可以方便地得出坐标 x,y 所要适合的条件,即参数可以帮助我们得出曲线的方程 f(x,y)=0。 二、师生互动,新课讲解: 一架救援飞机在离灾区地面 500m 高处以 100m/s 的速度作水平直线飞行。 为使投放的救援物资准确落 于灾区指定的地面(不计空气阻力) ,飞行员应如何确定投放时机? 解:平抛运动:
y 500 v=100m/s A

? x ? 100t ? ? 1 2 (t为参数) y ? 500 ? gt ? 2 ?
1、 参数方程的定义: a) 参数方程的定义:

O

x

一般地, 在平面直角坐标系中, 如果曲线 C 上任一点 P 的坐标 x 和 y 都可以表示为某个变量 t 的函数:

? x ? f (t ) ? ? y ? g (t )
反过来,对于 t 的每个允许值,由函数式: ?

? x ? f (t ) ? y ? g (t ) ? x ? f (t ) ? y ? g (t )

所确定的点 P( x , y) 都在曲线 C 上,那么方程 ?

叫做曲线 C 的参数方程,变量 t 是参变数,简称参数。 b) 关于参数几点说明: i. 参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。 ii. 同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程形式也不一样。
1

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iii.

在实际问题中要确定参数的取值范围。

c) 参数方程的意义: 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式,它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联 系起来,参数方程与变通方程同等地描述,了解曲线,参数方程实际上是一个方程组,其中 x , y 分别为 曲线上点 M 的横坐标和纵坐标。 d) 参数方程求法

(1)建立直角坐标系,设曲线上任一点 P 坐标为 ( x, y ) ; (2)选取适当的参数; (3)根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点 P 坐标与参数的函数式; (4)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程。 e) 关于参数方程中参数的选取 选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。 与运动有关的问题选取时间 t 做参数 与旋转的有关问题选取角 ? 做参数 或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。 例1 (课本 P22 例 1) 、 已知曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? 3t
2 ? y ? 2t ? 1

(t 为参数) (1) 判断点

M

1

(0,1),

M2

(5,4)与曲线 C 的位置关系; (2)已知点

M 3 (6,a)在曲线 C 上,求 a 的值。

分析:只要把参数方程中的 t 消去化成关于 x,y 的方程问题易于解决。学生练习。 反思归纳:给定参数方程要研究问题可化为关于 x,y 的方程问题求解。 解: (1)把点 M1 的坐标(0,1)代 入方程组,解得 t=0,所以 M1 在曲线 C 上。 把点 M2 的坐标(1,3)代入方程组,方程组无解,所以 M2 不在曲线 C 上。 (2)a=9 变式训练 1:

2

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例2 把下列参数方程化为普通方程: ?x ? t ?1 , ? t 为参数 ? ? 1? ? ? y ? 1 ? 2 t ? ?
变式训练 2: (1)曲线

1 ? x?t? ? t , ? t 为参数 ? ? 2? ? ? ? x ? 2 ? sin 2 ? 1 ?y ? t ? , ?? 为参数 ? ? 4? ? ? t ? ? y ? ?1 ? cos 2?

? 3? ?

? x ? sin ? ? cos ? , ?? 为参数 ? ? y ? 1 ? sin 2?

= 1 + 2 (t 为参数)与 x 轴的交点坐标( B ) = 4 ? 3
25

(A) (1,4) (B)(16,0) (2)方程

(C)(1,-3) (D)(± 16,0)

25

= (θ为参数)表示的曲线上的一个点的坐标( C) = 2
1 1 1 1

(A) (2,7) (B)(3 , 2) (C)(2 , 2 ) (D)(1,0)

x2 y2 ? ? 1的参数方程: 9 4 ?1? 设x ? 3cos ? , ? 为参数; ? 2? 设y ? 2t , t为参数. 例3 求椭圆
变式训练 3:已知曲线 C 的参数方程是 (1)求常数 a; = + (t 为参数, ∈ ),点 M(5,4)在该曲线上. =

(2)求曲线 C 的普通方程.

例 4: 动点 M 作等速直线运动, 它在 x 轴和 y 轴方向的速度分别为 5 和 12 , 运动开始时位于点 P(1,2), 求 点 M 的轨迹参数方程。 课堂练习:

1、设质点沿以原点为圆心,半径为 2 的圆做匀速(角速度)运动,角速度为

? 60
3

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rad/s,试以时间 t 为参数,建立质点运动轨迹的参数方程。 解析:如图,运动开始时质点位于 A 点处,此时 t=0,设动点 M(x,y)对应时刻 t,由图可知

{

x ?2cos? y ? 2sin?

? 又? ? 60 t ,得参数方程为

{

?t x ? 2 cos 60 ?t y ? 2sin 60
3000
Y

(t ? 0) 。

2500

2000

1500

1000

M

500

A
X

-4000

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

4000

5000

-500

-1000

c1

-1500

-2000

-2500

-3000

2、设飞机以匀速 v=150m/s 作水平飞行,若在飞行高度 h=588m 处投弹(设投弹的初速度等于飞机的 速度,且不计空气阻力) 。 (1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程; (2)试问飞机在离目标多远(水平距离) 处投弹才能命中目标。简解: (1) ?
x ? 150t 2 ? y ? 588 ? 4.9t ? (t为参数) 。 (2)1643m。

三、课堂小结,巩固反思: 参数方程求法: (1)建立直角坐标系, 设曲线上任一点 P 坐标 (2)选取适当的参数 (3)根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点 P 坐标与参数的函数式 (4)证明这个参数方程就是所求的曲线的方程

四、分层作业: 1.当参数 θ 变化时,由点 P(2cos θ ,3sin θ )所确定的曲线过点( A.(2,3) 1.D
?x=2+sin2θ , ? 2.将参数方程? (θ 为参数)化为普通方程是( 2 ? ?y=sin θ

)

π B.(1,5)C.?0, ? D.(2,0) 2? ?

)

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A.y=x-2B.y=x+2C.y=x-2(2≤x≤3)D.y=x+2(0≤y≤1) 2.C
?x=sin2θ , ? 3.在方程? (θ 为参数)所表示的曲线上其中一个点的坐标是( ? ?y=cos 2θ

)

1 2? ?1 1? A.(2,7) B.? ?3,3?C.?2,2? 3.D

D.(1,-1)

? ?x=1+2cos θ , 4.将参数方程? (θ 为参数)化为普通方程是____________. ?y=2sin θ ?

4.(x-1)2+y2=4
?x=1+cos θ , ? 3 ? 5.曲线? (θ 为参数)经过点? ?2,a?,则 a=____________. ?y=2sin θ ?

5.± 3 6、 (课本 P26 习题 2.1 NO:1) 解析:取投放点为原点,飞机飞行航线所在的直线为 x 轴,过原点和地心的直线为 y 轴建立平面直角 x=100t, ? ? 坐标系,得到被投放的物资的轨迹方程为? 1 2 (t 是参数,表示时间),令 x=1000,解得 t=10.当 t ? ?y=-2gt 1 1 =10 时, 由方程得到 y=- ×g×102≈- ×9.8×102=-490, 即飞机投放救灾物资时的飞行高度约为 490 2 2 m. 7、 (课本 P26 习题 2.1 NO:2) 解析:解法一 设经过时间 t,动点的位置是 M(x,y),那么有 x-2=3t,y-1=4t,于是点 M 的轨
? ?x=2+3t, 迹的参数方程为? (以时间 t 为参数). ?y=1+4t ?

解法二 设 M(x,y)是直线上任意一点,它与 M0(2,1)的有向距离为 t,根据已知条件,由速度合成 3 4 的知识可知 x-2= t,y-1= t,于是点 M 的轨迹的参数方程为 5 5

?x=2+5t, (以位移 t 为参数). ? 4 ?y=1+5t

3

5


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