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上海市静安闸北高考补习班2018届高三二模数学试卷

上海市静安闸北高考补习班 2018 届高三二模数学试卷
新王牌教育 2018.04

一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 已知集合 A ? {1,2, m} , B ? {2,4} ,若 A

B ? {1,2,3,4} ,则实数 m ?

2. ( x ? ) n 的展开式中的第 3 项为常数项,则正整数 n ? 3. 已知复数 z 满足 z 2 ? 4 ? 3i ( i 为虚数单位),则 | z |? 4. 已知平面直角坐标系 xOy 中动点 P( x, y ) 到定点 (1,0) 的距离等于 P 到定直线 x ? ?1 的距离,则点 P 的轨迹方 程为 5. 已知数列 {an } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列, Sn 是其前 n 项和,则 lim

1 x

n ??

Sn ? 2 an

?x ? 1 ? 6. 设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? 3y ? 4 ? 0 ?
7. 将圆心角为

2? ,面积为 3? 的扇形围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的体积为 3

8. 三棱锥 P ? ABC 及其三视图中的主视图和左视图如下所示,则棱 PB 的长为

9. 某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有 0、1、2、3 的四个相同小球的抽奖箱中,每次取出一球 记下编号后放回(连续取两次),若取出的两个小球的编号相加之和等于 6,则中一等奖,等于 5 中二等奖,等 于 4 或 3 中三等奖,则顾客抽奖中三等奖的概率为 10. 已知函数 f ( x) ? lg( x2 ? 1 ? ax) 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是 11. 在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, ?A ? 120? , AB ? AC ? ?

1 ,则线段 AM 长的最小值为 2

12. 若实数 x 、 y 满足 4 x ? 4 y ? 2 x ?1 ? 2 y ?1 ,则 S ? 2 x ? 2 y 的取值范围是

二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. “ x ? 2 ”是“ x ? 1 ”的( A. 充分非必要条件 C. 充分必要条件 14. 参数方程 ? ) B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 )

? x ? 3t 2 ? 4 ? ( t 为参数,且 0 ? t ? 3 )所表示的曲线是( 2 ? ?y ? t ? 2

A. 直线 C. 线段

B. 圆弧 D. 双曲线的一支

15. 点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 的边上运动, M 是 CD 中点, 则当 P 沿 A ? B ? C ? M 运动时,点 P 经过的路程 x 与 ?APM 的面 积 y 的函数 y ? f ( x) 的图像的形状大致是下图中的( )

A.

B.

C.

D.

16. 在计算机语言中,有一种函数 y ? INT ( x) 叫做取整函数(也叫高斯函数),它表示 y 等
n 于不超过 x 的最大整数,如 INT (0.9) ? 0 , INT (3.14) ? 3 ,已知 an ? INT ( ? 10 ) , b1 ? a1 ,

2 7

bn ? an ?10an?1 ( n ? N * ,且 n ? 2 ),则 b2018 等于(
A. 2 B. 5 C. 7

) D. 8

三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分)
2 17. 已知函数 f ( x) ? 2sin x ? sin(2 x ?

?
6

).

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; (2)设 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三个内角,若 cos B ?

1 , f ( A) ? 2 ,求 sin C 的值. 3

18. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, ?BAD ? 90? , AD ∥ BC , AB ? 2 , AD ? 1 ,

PA ? BC ? 4 , PA ? 平面 ABCD .
(1)求异面直线 BD 与 PC 所成角的大小; (2)求二面角 A ? PC ? D 的余弦值.

19. 某创新团队拟开发一种新产品,根据市场调查估计能获得 10 万元到 1000 万元的收益,先准备制定一个奖励 方案:奖金 y (单位:万元)随收益 x (单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过 9 万元,同时奖金不超过收 益的 20%. (1)若建立函数 y ? f ( x) 模型制定奖励方案,试用数学语言表示该团队对奖励函数 f ( x) 模

x ? 2 是否符合团队要求的奖励函数模型,并说明原因; 150 10 x ? 3a (2)若该团队采用模型函数 f ( x ) ? 作为奖励函数模型,试确定最小正整数 a 的值. x?2
型的基本要求,并分析 y ?

20. 已知椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 2 3 ,点 P(0,2) 关于直线 y ? ? x 的 a 2 b2

对称点在椭圆 ? 上. (1)求椭圆 ? 的方程; (2)如图,过点 P 的直线 l 与椭圆 ? 交于两个不同的点 C 、 D (点 C 在点 D 的上方),试 求 ?COD 面积的最大值; (3)若直线 m 经过点 M (1,0) ,且与椭圆 ? 交于两个不同的点 A 、 B ,是否存在直线

l0 : x ? x0 (其中 x0 ? 2 ),使得 A 、 B 到直线 l0 的距离 d A 、 d B 满足
若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.

d A | MA | ? 恒成立? d B | MB |

21. 已知数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn ,且满足 4Sn ? (an ? 1)2 ,若数列 {bn } 满足 b1 ? 2 ,b2 ? 4 ,
2 且等式 bn ? bn?1bn?1 对任意 n ? 2 成立.

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)将数列 {an } 与 {bn } 的项相间排列构成新数列 a1 , b1 , a2 , b2 , ???, an , bn , ??? ,设该新数列为 {cn } ,求数列 {cn } 的 通项公式和前 2 n 项的和 T2 n ; (3)对于(2)中的数列 {cn } 前 n 项和 Tn ,若 Tn ? ? ? cn 对任意 n ? N * 都成立,求实数 ? 的取值范围.

上海市长宁(嘉定)区 2018 届高三二模数学试卷
2018.04 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 已知集合 A ? {1,2, m} , B ? {2,4} ,若 A 【解析】 m ? 3 2. ( x ? ) n 的展开式中的第 3 项为常数项,则正整数 n ? 【解析】 n ? 4 3. 已知复数 z 满足 z 2 ? 4 ? 3i ( i 为虚数单位),则 | z |? 【解析】 | z |2 ? | z 2 | ? 5 ? | z | ? 5 4. 已知平面直角坐标系 xOy 中动点 P( x, y ) 到定点 (1,0) 的距离等于 P 到定直线 x ? ?1 的距离,则点 P 的轨迹方 程为 【解析】 y 2 ? 4x 5. 已知数列 {an } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列, Sn 是其前 n 项和,则 lim 【解析】 an ? 2n ? 1 , Sn ? n2 , lim

B ? {1,2,3,4} ,则实数 m ?

1 x

Sn ? n ?? a 2 n

n ??

Sn 1 ? 2 an 4

?x ? 1 ? 6. 设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? 3y ? 4 ? 0 ?
【解析】三个交点为 (1,3) 、 (1, ) 、 (2, 2) ,代入目标函数,最大值为 4

5 3

2? ,面积为 3? 的扇形围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的体积为 3 1 2 2 ? 【解析】 R ? 3 , l ? 2? ? 2? r ? r ? 1 , h ? 2 2 , V ? ? ? ? 2 2 ? 3 3
7. 将圆心角为 8. 三棱锥 P ? ABC 及其三视图中的主视图和左视图如下所示,则棱 PB 的长为

【解析】 PC ? BC ? 4 , PB ? 4 2 9. 某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有 0、1、2、3 的四个相同小球的抽奖箱中,每次取出一球 记下编号后放回(连续取两次),若取出的两个小球的编号相加之和等于 6,则中一等奖,等于 5 中二等奖,等 于 4 或 3 中三等奖,则顾客抽奖中三等奖的概率为

【解析】

7 16

10. 已知函数 f ( x) ? lg( x2 ? 1 ? ax) 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是 【解析】即 x2 ? 1 ? ?ax 恒成立,数形结合可得 a ? [ ?1,1]

1 ,则线段 AM 长的最小值为 2 1 【解析】根据题意, bc ? 1 , 4 | AM |2 ? ( AB ? AC)2 ? b2 ? c2 ?1 ? 1 ,即 AM 最小值为 2 x y x ?1 y ?1 x y 12. 若实数 x 、 y 满足 4 ? 4 ? 2 ? 2 ,则 S ? 2 ? 2 的取值范围是
11. 在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, ?A ? 120? , AB ? AC ? ? 【解析】设 2 x ? a , 2 y ? b ,即已知 a 2 ? b2 ? 2a ? 2b , a ? 0 , b ? 0 ,求 a ? b 的取值范围,根据线性规划, 数形结合可得, a ? b ? (2,4] 二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. “ x ? 2 ”是“ x ? 1 ”的( A. 充分非必要条件 C. 充分必要条件 【解析】A
2 ? ? x ? 3t ? 4 14. 参数方程 ? ( t 为参数,且 0 ? t ? 3 )所表示的曲线是( 2 y ? t ? 2 ? ?

) B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件



A. 直线 C. 线段 【解析】C

B. 圆弧 D. 双曲线的一支

15. 点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 的边上运动, M 是 CD 中点, 则当 P 沿 A ? B ? C ? M 运动时,点 P 经过的路程 x 与 ?APM 的面 积 y 的函数 y ? f ( x) 的图像的形状大致是下图中的( )

A. 【解析】A

B.

C.

D.

16. 在计算机语言中,有一种函数 y ? INT ( x) 叫做取整函数(也叫高斯函数),它表示 y 等于不超过 x 的最大整
n 数,如 INT (0.9) ? 0 , INT (3.14) ? 3 ,已知 an ? INT ( ? 10 ) , b1 ? a1 ,

2 7

bn ? an ?10an?1 ( n ? N * ,且 n ? 2 ),则 b2018 等于(
A. 2 B. 5 C. 7

) D. 8

【解析】 b1 ? a1 ? 2 , b2 ? 8 , b3 ? 5 , b4 ? 7 , b5 ? 1, b6 ? 4 ,每 6 个一循环,

2018 ? 6 ? 336 ??????2 ,∴ b2018 ? b2 ? 8 ,选 D

三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 已知函数 f ( x) ? 2sin 2 x ? sin(2 x ?

?
6

).

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; (2)设 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三个内角,若 cos B ? 【解析】(1) f ( x ) ? sin(2 x ? (2) A ?

1 , f ( A) ? 2 ,求 sin C 的值. 3

?
6

) ? 1 , T ? ? ,值域为 [0, 2]

?
3

, sin C ? sin( A ? B) ?

3 1 2 2 1 3?2 2 ? ? ? ? 2 3 3 2 6

18. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, ?BAD ? 90? , AD ∥ BC , AB ? 2 , AD ? 1 ,

PA ? BC ? 4 , PA ? 平面 ABCD .
(1)求异面直线 BD 与 PC 所成角的大小; (2)求二面角 A ? PC ? D 的余弦值. 【解析】(1)BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥PC,所成角为 90° (2)设 AC、BD 相交于 O 点,A 到 PC 的距离为 ∴O 到 PC 的距离为

4 5 3

4 4 16 5 5? ? 5 , OD ? , 3 5 15 5 3 16 265 tan ? ? ,∴ cos? ? 16 265

19. 某创新团队拟开发一种新产品,根据市场调查估计能获得 10 万元到 1000 万元的收益,先准备制定一个奖励 方案:奖金 y (单位:万元)随收益 x (单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过 9 万元,同时奖金不超过收 益的 20%. (1)若建立函数 y ? f ( x) 模型制定奖励方案,试用数学语言表示该团队对奖励函数 f ( x) 模型的基本要求,并

x ? 2 是否符合团队要求的奖励函数模型,并说明原因; 150 10 x ? 3a (2)若该团队采用模型函数 f ( x ) ? 为奖励函数模型,试确定最小的正整数 a 的值. x?2
分析 y ? 【解析】(1)不符合;(2)328.

20. 已知椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 2 3 ,点 P(0,2) 关于直线 y ? ? x 的对称点在椭圆 ? 上. a 2 b2

(1)求椭圆 ? 的方程; (2)如图,过点 P 的直线 l 与椭圆 ? 交于两个不同的点 C 、 D (点 C 在点 D 的上方),试求 ?COD 面积的最 大值; (3)若直线 m 经过点 M (1,0) ,且与椭圆 ? 交于两个不同的点 A 、 B ,是否存在直线 l0 : x ? x0 (其中 x0 ? 2 ), 使得 A 、 B 到直线 l0 的距离 d A 、 d B 满足

d A | MA | ? 恒成立? d B | MB |

若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)

x2 ? y 2 ? 1 ;(2)1;(3) x0 ? 4 . 4

21. 已知数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn ,且满足 4Sn ? (an ? 1)2 ,若数列 {bn } 满足 b1 ? 2 ,b2 ? 4 ,
2 且等式 bn ? bn?1bn?1 对任意 n ? 2 成立.

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)将数列 {an } 与 {bn } 的项相间排列构成新数列 a1 , b1 , a2 , b2 , ???, an , bn , ??? ,设该新数列为 {cn } ,求数列 {cn } 的 通项公式和前 2 n 项的和 T2 n ; (3)对于(2)中的数列 {cn } 前 n 项和 Tn ,若 Tn ? ? ? cn 对任意 n ? N * 都成立,求实数 ? 的取值范围. 【解析】(1) an ? 2n ? 1 ;(2) cn ? ? (3) ? ? 1 .

n ? ? ? ?2

n ? 2k ? 1 n ? 2k

n 2

( k ? N* ), T2n ? n2 ? 2n?1 ? 2 ;


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