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2018版高考数学理科专题复习:专题8 立体几何与空间向量 第48练含解析

训练目标 训练题型 解题策略 会利用几何体的表面积、体积公式求几何体的表面积、体积. (1)求简单几何体的表面积、体积;(2)求简单的组合体的表面积、体积. 球的问题关键在于确定球半径,不规则几何体可通过分割、补形转化 为规则几何体求面积、体积. 1.(2016· 苏州模拟)若一个长方体的长、宽、高分别为 3, 2,1,则它的外接球的表面积是 ________. 2.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为棱 AA1 的中点.若 AA1=4,AB=2,则四棱锥 B -ACC1D 的体积为________. 3.如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F-ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2,则 V1∶V2=________. 4.(2016· 唐山模拟)若正三棱锥的高和底面边长都等于 6,则其外接球的表面积为________. 5.(2016· 江苏苏北四市二调)已知矩形 ABCD 的边 AB=4,BC=3,若沿对角线 AC 折叠,使 得平面 DAC⊥平面 BAC,则三棱锥 D-ABC 的体积为________. 6.(2016· 扬州模拟)已知圆台的母线长为 4cm,母线与轴的夹角为 30° ,上底面半径是下底面 1 半径的2,则这个圆台的侧面积是________cm2. 7.(2016· 南京、盐城模拟)设一个正方体与底面边长为 2 3,侧棱长为 10的正四棱锥的体积 相等,则该正方体的棱长为____________. 8.(2016· 连云港模拟)已知三棱锥 P-ABC 的所有棱长都相等,现沿 PA,PB,PC 三条侧棱剪 开,对其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为 2 6,则三棱锥 P-ABC 的体积为________. 9.(2016· 江苏无锡上学期期末)三棱锥 P-ABC 中,D,E 分别为 PB,PC 的中点.记三棱锥 V1 D-ABE 的体积为 V1,P-ABC 的体积为 V2,则V =________. 2 10.如图,在棱长为 1 的正四面体 S-ABC 中,O 是四面体的中心,平面 PQR∥平面 ABC, 设 SP=x(0≤x≤1),三棱锥 O-PQR 的体积为 V=f(x),则其导函数 y=f′(x)的图象大致为 ________.(填序号) 11.(2016· 贵州遵义航天高中第七次模拟)如图,一竖立在水平面上的圆锥形物体的母线长为 4cm,一只小虫从圆锥的底面圆上的点 P 出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点 P 处,则该小 虫爬行的最短路程为 4 3cm,则圆锥底面圆的半径等于________cm. 12.(2016· 扬州中学质检)已知三个球的半径 R1,R2,R3 满足 R1+R3=2R2,记它们的表面积 分别为 S1,S2,S3,若 S1=1,S3=9,则 S2=________. 13.(2016· 镇江一模)一个圆锥的侧面积等于底面积的 2 倍,若圆锥底面半径为 3,则圆锥的 体积是________. 14.已知球 O 的直径 PQ=4,A,B,C 是球 O 球面上的三点,△ABC 是等边三角形,且∠ APQ=∠BPQ=∠CPQ=30° ,则三棱锥 P-ABC 的体积为________. 答案精析 1.6π 2.2 3 4.64π 解析 3.1∶24 如图,作 PM⊥平面 ABC 于点 M,则球心 O 在 PM 上,PM=6,连结 AM,AO,则 OP=OA =R(R 为外接球半径),在 Rt△OAM 中,OM=6-R,OA=R,又 AB=6,且△ABC 为等边三 2 角形,故 AM=3 62-32=2 3,则 R2-(6-R)2=(2 3)2,解得 R=4,则球的表面积 S=4πR2 =64π. 24 5. 5 解析 因为平面 DAC⊥平面 BAC, 所以 D 到直线 AC 的距离为三棱锥 D-ABC 的高, 设为 h, 1 1 则 VD-ABC=3S△ABC· h,易知 S△ABC=2×3×4=6, 3×4 12 h= 5 = 5 , 1 12 24 ∴VD-ABC=3×6× 5 = 5 . 6.24π 解析 如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面, 由题意知 AC=4cm,∠ASO=30° , 1 O1C=2OA,设 O1C=r, 则 OA=2r, O1C OA 又 SC = SA =sin30° ,∴SC=2r,SA=4r,∴AC=SA-SC=2r=4cm,∴r=2cm.∴圆台的侧 面积为 S=π(r+2r)×4=24πcm2. 7.2 解析 设该正四棱锥为四棱锥 P-ABCD,底面正方形 ABCD 的中心为 O,则由题意可知 AO = 6, ∴OP= ? 10?2-? 6?2=2, 1 则四棱锥的体积 V=3×(2 3)2×2=8,设正方体的棱长为 a,则 a3=8,解得 a=2. 8.9 解析 该平面图形为正三角形, 所以三棱锥 P-ABC 的各边长为 3 2, 所以三棱锥的高 h=2 3, 1 3 所以 V=3×2 3× 4 ×(3 2)2=9. 1 9.4 解析 1 1 1 1 V1=VD-ABE=VE-ABD=2VE-ABP=2VA-BEP=2×2VA-BCP 1 1 1 =2×2VP-ABC=4V2. 10.① 解析 设 O 点到底面 PQR 的距离为 h, 即三棱锥 O-PQR 的高为 h, 设底面 PQR 的面积为 S, 1 ∴三棱锥 O-PQR 的体积为 V=f(x)=3Sh,点 P 从 S 到 A 的过程中,底面积 S 一直在增大, 高 h 先减小再增大,当底面经过点 O 时,高为 0,∴体积先增大,后减少,再增大,故①正 确. 4 11.3 解析 作出该圆锥的侧面展开图,如图所示,该小虫爬行的最短 路程为 PP′,由余弦定理可得 cos∠P′OP OP2+OP′2-PP′2 1 =

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