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2.1.1曲线与方程的概念 (1)


2.1.1 曲线与方程的概念

平面解析几何研究的主要问题是: (1) 根据已知条件,求出表示平面曲线的 方程; (2) 通过方程,研究平面曲线的性质. 用坐标系研究图形性质的基本思路是, 借助于坐标系,把点与坐标,曲线与方程 联系起来,从而达到形与数的结合;再通 过方程对曲线的几何性质进行研究,把几 何问题转化为代数问题来解决。

复习: 什么是方程的直线?什么是直线的方程?

求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足 的关系
第一、三象限角平分线

l ? 点的横坐标与纵坐标相等 ?x=y(或x-y=0)
条件 方程

曲线 y

l
0

得出关系:
x-y=0 x
(1)

l 上点的坐标都是方程x-y=0的解

(2)以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l上

让我们回顾一下圆及其方程的意义。 如图,以点O为圆心,半径为r(r>0)的圆, 记作⊙(O, r),以O为原点建立直角坐标系 xOy,我们可以得到圆的方程x2+y2=r2.
上述圆的方程表示的意义是: (1)设M(x0, y0)是⊙(O, r) 上任意一点,则它到圆心O 的距离等于r,
y M(x 0, y 0) r x O

因而满足方程

x0 2 ? y0 2 ? r

,即x2+y2=r2.

这就是说(x0, y0)是此方程的一个解;

如果点(x0, y0)不在⊙(O, r)上,则必有,
x0 ? y0 ? r
2 2

即有x2+y2≠r2. (x0, y0)就不会是方程 x2+y2=r2的解。

(2)如果(x0, y0)是方程x2+y2=r2的一个解, 则可以推得, x0 2 ? y0 2 ? r
即点M(x0, y0)到圆心的距离等于r,点M 在⊙(O, r)上; 如果(x0, y0)不是方程x2+y2=r2.的解,则 可以推出 x0 2 ? y0 2 ? r

即点M(x0, y0)不在⊙(O, r)上。

一般地,一条曲线可以看成动点运动的 轨迹,曲线的方程又常称为某种条件的点 的轨迹方程。 一个二元方程总可以通过移项写成F(x, y)=0的形式。其中F(x,y)是关于x, y的解 析式,例如y=x2可以写成x2-y=0的形式。

在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个 二元方程 f ? x, y ? ? 0 的实数解建立了如下关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.

思考与推论: 下面两个命题正确吗? (1)到两条坐标轴距离相等的点的轨迹 方程是y=x; 不正确 (2)如图,MA和MB分别 是动点M(x,y)与两定点 A(-1,0),B(1,0)的连线, A 使∠AMB为直角的动点轨迹 -1 方程是:x2+y2=1. 不正确
y M(x, y)

B x O 1

例1. 已知曲线C上的点的坐标都是方程f(x, y)=0的解,则下列命题中正确的是( ) (A)D 满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上

(B) 方程f(x,y)=0是曲线的方程
(C)曲线C是满足方程f(x,y)=0的曲线 (D) 方程f(x,y)=0的曲线包含曲线C上的 任意一点

例2. 设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直 线l的方程是x+y-3=0,点P的坐标是(2, 1),那么( C )

(A) 点P在直线l上,但不在圆M上
(B) 点P不在直线l上,但在圆M上

(C) 点P在直线l上,也在圆M上
(D) 点P不在直线l上,也不在圆M上

例3. 已知两圆C1:x2+y2+6x-16=0,C2: x2+y2-4x-5=0, 求证:对任一不等于-1的实数λ,方程 x2+y2+6x-16+λ(x2+y2-4x-5)=0是通过两 圆交点的圆的方程。 证明:方程x2+y2+6x-16+λ(x2+y2-4x- 5)=0可以变形为 (1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-5λ=0, 因为λ≠-1,得

3 ? 2? 2 9? ? 9? ? 25 2 (x ? ) ?y ? 2 1? ? (1 ? ? )
2

因为方程中等号右端大于0,所以它是

一个圆的方程,两圆的交点坐标满足已知
圆的方程,当然也满足这个方程。因此此 方程表示的圆通过两圆交点。

课堂练习
1. 下列各组方程中表示相同曲线的是 ( D )
y (A) y ? x, x ? 1

(B) y ? x, y ? x (D)

2

(C)

| y |?| x |,

y? x

| y |?| x |, y 2 ? x2

2. 曲线y=

1 4

x2与x2+y2=5的交点是( B )

(A) (2,1) (B) (±2,1) (C) (2,1)或(2 5,5) (D) (±2,1)或(±2 5 ,5)

3. 命题“曲线S上的点的坐标满足方程 F(x,y)=0”是正确的,则下列命题正确的 一个是( D ) (A)方程F(x,y)=0的曲线是S

(B) 满足方程F(x,y)=0的点都在曲线S上
(C)曲线S是方程F(x,y)=0的轨迹 (D)方程F(x,y)=0的曲线不一定是S

4. 经过两圆2x2+2y2-3x+4y=0与x2+y2+ 2x+6y-6=0的交点的直线方程为 7x+8y-12=0 。

5. P(m+1,m+4)在曲线y=x2+5x+3上,则
m的值为 -1或-5 。

6. “点M在曲线y=|x|上”是“点M到两坐 充分不必要 标轴距离相等”的 条件。

7. 已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线 (x-2)2+y2=3上,则α的值为
?.
5? 或 3 3


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