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高一数学必修一课件1.1.3集合的基本运算


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集合之间的基本关系是类比实数之间的关系 得到的,同样类比实数的运算,能否得到集合之 间的运算呢?

想一想

实数有加法运算,那么
集合是否也有“加法”呢?

观察
下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B 之间的关系吗?

(1)A={a,b},B={c,d },C={a,b,c,d};
(2)A={x∣x是有理数},B={x ∣x是无理数},

C={x ∣x是实数};
(3)A={x|1<x<6},B={ x|4<x<8},C={ x|1<x<8};

1.1.3 集合的基本运算

A

A?B

B

AUB

教学目标
知识与能力
(1)理解两个集合的并集与交集的定义,会求 两个简单集合的交集与并集.

(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,
会求给定子集的补集.

(3)能使用Venn图表达集合的运算,体会直观
图对理解抽象概念的作用.

过程与方法
学生通过观察和类比,借助Venn图理解集合的
基本运算.

情感态度与价值观
(1)进一步树立数形结合的思想. (2)进一步体会类比的思想. (3)感受集合作为一种语言,在表示数学内容时

的简洁和准确.

教学重难点
重点
交集与并集,全集与补集的概念.

难点
理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系.

请观察A,B,C这些集合之间是什么关系?

x是有理数 a,b

x是无理数 c,d

x是实数 a,b,c,d

集合A

集合B
A
-2 2 4

集合C
B
6 8 10

C 集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.

知识要 点
1.并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素 所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B(读 作“A并B”),即 A∪B={x | x∈ A, 或x∈ B} 用Venn图表示:
A B

A∪B

注 意
(1) A ? A = A (2) A ? ? = A (3) A ? B = B ? A (4) A ? B则A ? B = B
A B

A∪B=B

注意:求两个集合的并集时, 它们的公共元素在并集中只 例 设A={a,b,c}, B={a,c,d,f},求A∪B. 能出现一次.如:a,c. 解: A∪B={a,b,c} ∪ {a,c,d,f} ={a,b,c,d,f} 例 设集合A={x|-4<x<2},集合B={x|1<x<4}, 求A∪B. 解: A∪B={x|-4<x<2} ∪ {x|1<x<4} ={x|-4<x<4} 在数轴上表示并集 A B -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 A∪B

观察
下列各个集合,你能说出集合A,B与集合C之间 的关系吗? (1)A={2,4,6,8,10},B={2,3,5,8,9,12},C={2,8};

(2) A={x|1<x<6},B={ x|4<x<8},C={ x|4<x<6}; 集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所 有元素组成.

知识要 点
2.交集
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素 组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,(读作“A交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且x∈B} 用Venn图表示: A A∩B B

注 意
(1) A ? A = A (2)A ? ? = ? (3)A ? B = B ? A (4)A ? B ? A, A ? B ? B (5)A ? B 则 A ? B = A
A B A∩B=A

(6) A ? A ? B,B ? A ? B, A ? B ? A ? B.

例 设A={x|x>-1},B={x|x<1},求A∩B.

解:A∩B={x|x>-1}∩{x|x<1}={x|-1<x<1}. A∩B 0

-1 形},求A∩B.

1

例 设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角 解:A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形} ={x|x是等腰直角三角形}.

例 设平面内直线l1上的点的集合为L1 , 直线l 2上点 的集合为L 2 , 试用集合的运算表示l1 , l 2的位置关系.

解 : (1)直线l1 , l 2 相交于一点P可表示为 L1∩L 2 = {点P}; (2)直线l1 , l 2平行可表示为 L1∩L 2 = ?; (3)直线l1 , l 2重合可表示为 L1∩L 2 = L1 = L 2 .

想一想
方程 (x -1)(x2 - 3) = 0 的解集,在有理数范围内有几 个解?分别是什么? 1个 ,{1} 在实数范围内有几个解?分别是什么?

3个解,解集是{1,3, 3} 在不同的范围内研究问题,结果是不同的,为 此,需要确定研究对象的范围.

知识要 点
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所 涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记 作U. 通常也把给定的集合作为全集. 对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素 组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集 合A的补集.

记作?U A = {x | x ? U, 且x ? A}
补集可用Venn图表示为: U

?UA

A

如果全集U是明确的,那么全集U可以省略不写, 将 ? U A 简记为 ?A, 读作“A的补集”.

对于任意的一个集合A都有
(1) A ? (? U A) = U; (2) A ? (? U A) = ?; (3) U

痧( U

U A) =

A.

? UA

A



设 U = R, A = (-1, 2], ? U A. 求

解: 将集合 A = (-1 , 2 ] 用数轴表示为 x

-1

0

1

2

3

所以 ? A = (-? , - 1 ]U( 2 , + ? ).

求用区间表示的集合的补集时,
要特别注意区间端点的归属.



设U={x|x是小于7的正整数},A={1,2,3},

B={3,4,5,6},求? UA, ? UB. 解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6}, 所以 ? UA={4,5,6} ?UB={1,2} .

例 设全集U=R, M={x|x≥1},N={x|0≤x<1}, 则?U M,?U N. 解:根据题意可知?U M={x|x<1}, ?U N={x|x<0且x≥1}.



设A={x|-3≤x≤3},B={x|-4≤x≤1},C = ?x | 0 < x < 5?,求(1)A∩B;(2) B∪C; (3)(A∪B)∩C;(4) (A∩C)∪B.

解:(1)A∩B={x|-3≤x≤1} (2) B∪C=?x | -4 ? x < 5? (3) (A∪B)∩C= ?x | 0 < x ? 3?

(4) (A∩C)∪B={x|-4≤x≤3} 注意:用数轴来处理比较简捷(数形结合思想)

例 设集合A={-4,2m-1,m2}, B={9,m-5,1-m},又A∩B={9},求A∪B? 解:(1) 若2m-1=9,得m=5,得 A={-4,9,25},B={9,0,-4}, 得A∩B={-4,9},不符合题. (2) 若m2=9,得m=3或m=-3,m=3时, A={-4,5,9},B={9,-2,-2} 违反互异性,舍去. 当m=-3时, A={-4,-7,9},B={9,-8,4} 符合题意。此时A∪B={-4,-7,9,-8,4} 由(1)(2)可知:m=-3, A∪B={-4,-7,9,-8,4}

例 已知U=R,A={x|x-3>0}, B={x|(x+2)(x-4)≤0}, 求: (1) ?∪(A∪B) (2) ?∪(A∩B) 解:(1) ? ∪(A∪B)= (2)

? ∪(A∩B)={x|x≤3或x>4}

2或 ?x | x < -  x>4?

(1)运算顺序:括号、补、交并; (2)注意端点值是否可以取到; (3)运算性质: ?∪(A∪B)= ?∪A∩?∪B, ?∪(A∩B)= ?∪A∪?∪B, ?∪A∩A=Φ, ?∪A∪A=U,?∪(?∪A)=A.

注 意



, 已知U= ?x | -3 < x ? 4? A = ?x | -1 < x < 1? ,

B={x|0≤x≤3},C= 解:(1) ∪C= ?

?x | -2 ?

x < 0? .

求:(1) ?∪C; (2) ?∪A∪B; (3)

?∪A∪( ?∪B∩C)
x ? 4?

3 1 (2) ?∪A∪B= ?x |- < x ?- 或3 < x ? 4?
(3) ?∪A∪(? ∪B∩C)=

?x |-3 < x <-2或0 ?

?x |-3 < x < 0 或1 ? x ? 4?
注 意

(1)注意全集不是R; (2)用数轴来处理; (3)注意端点值是否可以取到.

课堂小结
并运算
集合运算 交运算
A∪B ? ? x x ? A或 x ? B ? A? =

A∩B = ? x x ? A且x ? B?

补运算

? U A = ? x x ? U 且 x ? A?

进行以不等式描述的或以区间形式出现的 集合间的并、交、补运算时,一定要画数轴帮 助分析.

(1)运算顺序:括号、补、交并;

(2)运算性质:

? ∪(A∪B)= ?∪A∩ ?∪B; ∪ ∪ ? ∪(A∩B)= ? A∪ ? B; ?∪A∩A=Φ, ? A∪A=U, ? ( ? A)=A. ∪ ∪ ∪

高考链接
1.(2008 江西) 定义集合运算:

A*B = {z | z = xy, x ? A, y ? B}.

设 A={1,2}

B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为( D )
A. 0 B. 2 C. 3 D.6

解:由条件可知A*B={0,2,4},所以之和为6.

2.(2009 上海)已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a}, 且A∪B=R,则实数a的取值范围是 a≤1 解:∵A∪B=(-∞,1] ∪[a,+∞)=R, ∴a≤1
3. (2009全国) 设集合A={4,5,7,9},

B={3, 7,4,8,9},全集U=A∪B,则集合

?? (A∩B)中的元素共有 ( A )

A. 3个

B.4个

C. 5个

D.6个

解析:本题目主要考察集合的运算. A∩B={4, 7,9} U= A∪B={3,4,5,7,8,9},(A∩B) ={3,5,8},所以 ( A∩B)中的元素共3个. ?? ??

4. (2009 广东) 已知全集U=R ,则正确表 2 示集合M={-1,0,1}和N={x| +x=0}关 x 系的韦恩(Venn)图是 ( B )

U N M
A U
M
N

U

N M

B U
M N

C

D

课堂练习
1.判断正误. (1)若U={四边形},A={梯形},则 ? A={平行四 U × 边形} (2)若U是全集,且A?B,则 ?UA?CUB × (3)若U={1,2},A=U,则 ?UA=? √

2. A = ?-1, 0, 2? , B = ?0, 2, 4, 6?, AUB? 求

AUB = {- 1 , 0 , 2 , 4 , 6 }

A 3. = ?x -2 < x 剟2? , B = ?x 0
A -2 -1 0 1 2 3 4 B

x

4?, AUB? 求

AUB = {x | - 2 < x ? 4}

, 4.设 A = ( - 1 , 2 ], B = ( 0 , 3 ] 求 A ? B.
解:将集合A、B在数轴上表示(如图),

A

B x

-1 0 1 2 3 所以 A ? B = ( - 1 , 2 ] ? ( 0 , 3 ]= ( 0 , 2 ]

5.设 A = ?(x, y) x + y = 1 ? , B = ?(x, y) x - y = 6? ,
? x = 3.5 ?x + y = 1 解:解方程组 ? 得 ? ?x - y = 6 ? y = -2.5 所以 A ? B = { (-2.5 , 3.5) }.
求 A ? B.

6. 设A={2,-1,x2-2x+1}, B={2y,-4,x+1}, C={-1,4} 且

A∩B=C,求x,y?
解:由A∩B=C知 4?A ∴必然 x2-2x+1=4 得 x1=-1, x2=3 由x=-1 得 x+1=0?C ∴x?-1 ∴x=3 x+1=4?C 此时2y=-1 ,∴y=-1/2 ∴综上所述x=3 , y=-1/2.

7.设A = {-4, 2a - 1,a 2 }, B = {a - 5,1 - a, 9},已知A∩B = {9}, 求a的值, 并求出A∪B.
解: A∩B = {9},∴ 9 ? A ∵ 所以a 2 = 9或2a - 1 = 9, 解得a = ?3或a = 5 当a = 3时,A = {9, 5, -4}, B = {-2, -2, 9}, B中元素违 背了互异性,舍去.

当a = -3时,A = {9,-7,-4},B = {-8,4,9}, A∩B = {9} 满足题意,故A∪B = {-7,-4,-8,4,9}. 当a = 5时,A = {25,9,-4},B = {0,-4,9}, 此时A∩B = {-4,9}, 与A∩B = {9}矛盾,故舍去. 综上所述,a = 3且A∪B = {-7,-4,-8,4,9}.

8.设集合A = {x | -3 < x < -1}∪{x | x > 0},B = {x | a ≤ x ≤ b} 若A∪B = {x | x > -3}, A∩B = {x | 0 < x ≤ 2}, 求a,b的值.

解:由A∪B = {x x > -3}可以知道 - 3 < a ? -1, 由A∩B = {x 0 < x ? 2}可以知道b = 2,a = -1.

教材习题答案
1.A ? B = {5, 8}, A ? B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}; 2.因为A = {-1, ,B = {-1,1}, 所以 5} A ? B = {-1,1, 5}, A ? B = {-1}; 3.A ? B = {x x是等腰直角三角形}; A ? B = {x x是等腰三角形或直角三角形}; 4.因为CU A = {1, 3, 6, 7},C U B = {2, 4, 6}, 所以 A∩(CU B) = {2, 4},(C U A)∩(C U B) = {6}.


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