§ 1.2 充分条件与必要条件 课时目标 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明) 某些命题的条件关系． 1．如果已知“若 p，则 q”为真，即 p?q，那么我们说 p 是 q 的____________，q 是 p 的____________． 2．如果既有 p?q，又有 q?p，就记作________．这时 p 是 q 的______________条件， 简称________条件，实际上 p 与 q 互为________条件．如果 p ? q 且 q ? p，则 p 是 q 的 ________________________条件． 一、选择题 1．“x>0”是“x≠0”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设 p：x<－1 或 x>1；q：x<－2 或 x>1，则綈 p 是綈 q 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设集合 M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设 l，m，n 均为直线，其中 m，n 在平面 α 内，“l⊥α”是“l⊥m 且 l⊥n”的( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．“a<0”是“方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负数根”的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ) 1 2 3 4 5 6 题号 答案 二、填空题 7．用符号“?”或“ ? ”填空. (1)a>b________ac2>bc2； (2)ab≠0________a≠0. 8．不等式(a＋x)(1＋x)<0 成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则 a 的取值范围 是________． 9．函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________． 三、解答题 10．下列命题中，判断条件 p 是条件 q 的什么条件： (1)p：|x|＝|y|，q：x＝y. (2)p：△ABC 是直角三角形，q：△ABC 是等腰三角形； (3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形． 11.已知 P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3<0}，若 x∈P 是 x∈Q 的必要条件，求 实数 a 的取值范围． 能力提升 12．记实数 x1，x2，?，xn 中的最大数为 max{x1，x2，?，xn}，最小数为 min{x1，x2，?，xn}.已知△ABC 的三边边长为 a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为 ?a b c ? ?a b c ? l＝max?b，c，a?· min?b，c ，a?， ? ? ? ? 则“l＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝(n＋1)2＋c，探究{an}是等差数列的充要条件． 1．判断 p 是 q 的什么条件，常用的方法是验证由 p 能否推出 q，由 q 能否推出 p，对 于否定性命题，注意利用等价命题来判断． 2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成 立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A 的充要条件为 B”的命题的 证明：A?B 证明了必要性；B?A 证明了充分性．“A 是 B 的充要条件”的命题的证明：A ?B 证明了充分性；B?A 证明了必要性． § 1.2 充分条件与必要条件 答案 知识梳理 1．充分条件 必要条件 2．p?q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要 作业设计 1．A [对于“x>0”?“x≠0”，反之不一定成立． 因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．] 2．A [∵q?p，∴綈 p?綈 q，反之不一定成立， 因此綈 p 是綈 q 的充分不必要条件．] 3．B [因为 N M.所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件．] 4．A [把 k＝1 代入 x－y＋k＝0，推得“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”；但“直 线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”不一定推得“k＝1”． 故“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2 2 ＋y ＝1 相交”的充分而不必要条件．] 5．A [l⊥α?l⊥m 且 l⊥n，而 m，n 是平面 α 内两条直线，并不一定相交，所以 l⊥m 且 l⊥n 不能得到 l⊥α.] 1 6．B [当 a<0 时，由韦达定理知 x1x2＝ <0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符 a 2 合题意；当 ax ＋2x＋1＝0 至少有一个负数根时，a 可以为 0，因为当 a＝0 时，该方程仅有 1 一根为－ ，所以 a 不一定小于 0.由上述推理可知，“a<0”是“方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一 2 个负数根”的充分不必要条件．] 7．(1) ? (2)? 8．a>2 解析 不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2<x<－1 时不等式成立，所以不等式的解 为－a<x<－1.由题意有(－2，－1) (－a，－1)，∴－2>－a，即 a>2. 9．b≥－2a b 解析 由二次函数的图象可知当－ ≤1，即 b≥－2a 时，函数 y＝ax2＋bx＋c 在 2a [1，＋∞)上单调递增． 10．解 (1)∵|x|＝|y| ? x＝y， 但 x＝y?|x|＝|y|， ∴p 是 q 的