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等比数列基础习题选(附详细解答)


等比数列基础习题选 一.选择题(共 27 小题) 1. (2008?浙江)已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q=( A. B.﹣2 C.2 ) D.

2. (2006?湖北)在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a2a3a4a5a6a7a8a9=( A.81 B. C. 27

) D.243

3. (2006?北京)如果﹣1,a,b,c,﹣9 成等比数列,那么( ) A.b=3,ac=9 B.b=﹣3,ac=9 C.b=3,ac=﹣9

D.b=﹣3,ac=﹣9

4.已知数列 1,a1,a2,4 成等差数列,1,b1,b2,b3,4 成等比数列,则 A. B. ﹣ C. 或﹣

的值是( D.



5.正项等比数列{an}满足 a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列{bn}的前 10 项和是( A.65 B.﹣65 C.25 6.等比数列{an}中,a6+a2=34,a6﹣a2=30,那么 a4 等于( ) A.8 B.16 C.±8 7.已知数列{an}满足 A.不可能是等差数列,也不可能是等比数列 B. 不可能是等差数列,但可能是等比数列 C. 可能是等差数列,但不可能是等比数列 D.可能是等差数列,也可能是等比数列

) D.﹣25

D.±16 )

,其中 λ 为实常数,则数列{an}(

8.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对于任意 n∈N ,点 Pn(n,Sn)都在直线 y=3x+2 上,则数列{an}( A.是等差数列不是等比数列 B. 是等比数列不是等差数列 C. 是常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 9. (2012?北京)已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是( A.a1+a3≥2a2 B. C. 若 a1=a3,则 a1=a2
n

*





D.若 a3>a1,则 a4>a2 ) D.16 ) D.﹣(﹣2) )
n

10. (2011?辽宁)若等比数列 an 满足 anan+1=16 ,则公比为( A.2 B.4 C.8

11. (2010?江西)等比数列{an}中,|a1|=1,a5=﹣8a2,a5>a2,则 an=( ﹣ ﹣ n A.(﹣2)n 1 B.﹣(﹣2n 1) C.(﹣2)

12.已知等比数列{an}中,a6﹣2a3=2,a5﹣2a2=1,则等比数列{an}的公比是(

A.﹣1

B.2

C.3 ) C.2 ) C.﹣3 )

D.4

13.正项等比数列{an}中,a2a5=10,则 lga3+lga4=( A.﹣1 B.1 14.在等比数列{bn}中,b3?b9=9,则 b6 的值为( A.3 B.±3 15. (文)在等比数列{an}中, A. B.

D.0

D.9

,则 tan(a1a4a9)=( C.

D.

16.若等比数列{an}满足 a4+a8=﹣3,则 a6(a2+2a6+a10)=( A.9 B.6 C.3

) D.﹣3

17.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 A. B.

=3,则

=( C.

) D.1

18.在等比数列{an}中,an>0,a2=1﹣a1,a4=9﹣a3,则 a4+a5=( A.16 B.27 C.36 19.在等比数列{an}中 a2=3,则 a1a2a3=( A.81 B.27 ) C.22

) D.81

D.9 ) D.4+log25

20.等比数列{an}各项均为正数且 a4a7+a5a6=16,log2a1+log2a2+…+log2a10=( A.15 B.10 C.12 21.等比数列{an}中 a4,a8 是方程 x +3x+2=0 的两根,则 a5a6a7=( A.8 B.±2 C.﹣2
2

) D.2

22.在等比数列{an}中,若 a3a4a5a6a7=243,则 A.9 B.6

的值为( C.3

) D.2 )

23.在 3 和 9 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则这两个数的和是( A. B. C. D.

24.已知等比数列 1,a ,9,…,则该等比数列的公比为( ) A.3 或﹣3 B. C.3 3或

2

D.

25. (2011?江西)已知数列{an}的前 n 项和 sn 满足:sn+sm=sn+m,且 a1=1,那么 a10=( ) A.1 B.9 C.10 D.55

26.在等比数列{an}中,前 7 项和 S7=16,又 a1 +a2 +…+a7 =128,则 a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=( A.8 B. C.6 D.

2

2

2



27.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,若 4a1,2a2,a3 成等差数列,则 S4=( A.7 B.8 C.16 二.填空题(共 3 小题)

) D.15

28.已知数列{an}中,a1=1,an=2an﹣1+3,则此数列的一个通项公式是 _________ . 29.数列 的前 n 项之和是 _________ .

30.等比数列{an}的首项 a1=﹣1,前 n 项和为 Sn,若

,则公比 q 等于 _________ .

参考答案与试题解析
一.选择题(共 27 小题) 1. (2008?浙江)已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q=( )

A.

B.﹣2

C.2

D.

解:∵{an}是等比数列,a2=2,a5= ,

设出等比数列的公比是 q, ∴a5=a2?q ,∴

3

= = , ∴q= ,

2. (2006?湖北)在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a2a3a4a5a6a7a8a9=( A.81 B. C. 27

) D.243

分析: 由等比数列的性质知(a2a9)=(a3a8)=(a4a7)=(a5a6)=(a1a10) . 解答 解:因为数列{an}是等比数列,且 a1=1,a10=3, 4 4 所以 a2a3a4a5a6a7a8a9=(a2a9) (a3a8) (a4a7) (a5a6)=(a1a10) =3 =81, 3. (2006?北京)如果﹣1,a,b,c,﹣9 成等比数列,那么( ) A.b=3,ac=9 B.b=﹣3,ac=9 C.b=3,ac=﹣9 解:由等比数列的性质可得 ac=(﹣1)×(﹣9)=9, b×b=9 且 b 与奇数项的符号相同,∴b=﹣3,故选 B

D.b=﹣3,ac=﹣9

4.已知数列 1,a1,a2,4 成等差数列,1,b1,b2,b3,4 成等比数列,则 A. B. ﹣ C. 或﹣

的值是( D.



分析: 由 1,a1,a2,4 成等差数列,利用等差数列的性质求出等差 d 的值,进而得到 a2﹣a1 的值,然后由 1,b1, b2,b3,4 成等比数列,求出 b2 的值,分别代入所求的式子中即可求出值. 解答: 解:∵1,a1,a2,4 成等差数列, ∴3d=4﹣1=3,即 d=1, ∴a2﹣a1=d=1,又 1,b1,b2,b3,4 成等比数列, ∴b2 =b1b3=1×4=4,解得 b2=±2,又 b1 =b2>0,∴b2=2,则
2 2

= .故选 A ) D.﹣25
2

5.正项等比数列{an}满足 a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列{bn}的前 10 项和是( A.65 B.﹣65 C.25 分析: 由题意可得

=a2a4 =1,解得 a3=1,由 S3=13 可得 a1+a2=12, ,则有 a1 q =1,a1+a1q=12,解得 q 和 a1

的值, 由此得到 an 的解析式,从而得到 bn 的解析式,由等差数列的求和公式求出它的前 10 项和. 解答: 解:∵正项等比数列{an}满足 a2a4=1,S3=13,bn=log3an, ∴ =a2a4 =1,解得 a3=1.由 a1+a2+a3=13,可得 a1+a2=12.
2

设公比为 q,则有 a1 q =1,a1+a1q=12,解得 q= ,a1=9.故 an =9×

=3

3﹣n



故 bn=log3an=3﹣n,则数列{bn}是等差数列,它的前 10 项和是

=﹣25,故选 D.

6.等比数列{an}中,a6+a2=34,a6﹣a2=30,那么 a4 等于( ) A.8 B.16 C.±8

D.±16

分析: 要求 a4,就要知道等比数列的通项公式,所以根据已知的两个等式左右两边相加得到 a6,左右两边相减得 到 a2, 根据等比数列的性质列出两个关于首项和公比的关系式, 联立求出 a 和 q, 得到等比数列的通项公式, 令 n=4 即可得到. 解答: 解:设此等比数列的首项为 a,公比为 q, 由 a6+a2=34,a6﹣a2=30 两个等式相加得到 2a6=64,解得 a6=32;两个等式相减得到 2a2=4,解得 a2=2. 5 4 根据等比数列的通项公式可得 a6=aq =32①,a2=aq=2②,把②代入①得 q =16,所以 q=2,代入②解得 a=1, n﹣1 3 所以等比数列的通项公式 an=2 ,则 a4=2 =8.故选 A

7.已知数列{an}满足 A.不可能是等差数列,也不可能是等比数列 B. 不可能是等差数列,但可能是等比数列 C. 可能是等差数列,但不可能是等比数列 D.可能是等差数列,也可能是等比数列 分析: 由于

,其中 λ 为实常数,则数列{an}(



=n +n﹣λ,而 n +n﹣λ 不是固定的常数,不满足等比数列的定义.若是等差数列,则由 a1+a3=2 ,显然,不满足等差数列的定义,从而得出结论.
2 2

2

2

a2,解得 λ=3,此时, 解答: 解:由

可得

=n +n﹣λ,由于 n +n﹣λ 不是固定的常数,故数列 ,

不可能是等比数列.若数列是等差数列,则应有 a1+a3=2 a2,解得 λ=3.此时, 显然,此数列不是等差数列,故选 A. 8.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对于任意 n∈N ,点 Pn(n,Sn)都在直线 y=3x+2 上,则数列{an}( A.是等差数列不是等比数列 B. 是等比数列不是等差数列 C. 是常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 分析: 由点 Pn(n,Sn)都在直线 y=3x+2 上,可得 Sn=3n+2,再利用 an=Sn﹣Sn﹣1 求解. 解答: 解:由题意,∵点 Pn(n,Sn)都在直线 y=3x+2 上 ∴Sn=3n+2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3 当 n=1 时,a1=5 ∴数列{an}既不是等差数列也不是等比数列 故选 D 9. (2012?北京)已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是( A.a1+a3≥2a2 B. C. 若 a1=a3,则 a1=a2 )
*



D.若 a3>a1,则 a4>a2

分析: a1+a3= 所以
2

,当且仅当 a2,q 同为正时,a1+a3≥2a2 成立;
2 2



; 若 a1=a3, 则 a1=a1q , 从而可知 a1=a2 或 a1=﹣a2; 若 a3>a1, 则 a1q >a1, 而 a4﹣a2=a1q

(q ﹣1) ,其正负由 q 的符号确定,故可得结论. 解答: 解:设等比数列的公比为 q,则 a1+a3= ,当且仅当 a2,q 同为正时,a1+a3≥2a2 成立,故 A 不正确;

,∴
2 2

,故 B 正确;

若 a1=a3,则 a1=a1q ,∴q =1,∴q=±1,∴a1=a2 或 a1=﹣a2,故 C 不正确; 2 2 若 a3>a1,则 a1q >a1,∴a4﹣a2=a1q(q ﹣1) ,其正负由 q 的符号确定,故 D 不正确 故选 B. 10. (2011?辽宁)若等比数列 an 满足 anan+1=16 ,则公比为( A.2 B.4 C.8
n

) D.16

分析: 令 n=1,得到第 1 项与第 2 项的积为 16,记作①,令 n=2,得到第 2 项与第 3 项的积为 256,记作②,然后 利用②÷①,利用等比数列的通项公式得到关于 q 的方程,求出方程的解即可得到 q 的值,然后把 q 的值代 入经过检验得到满足题意的 q 的值即可. 解答: 解:当 n=1 时,a1a2=16①;当 n=2 时,a2a3=256②, ②÷①得: =16,即 q =16,解得 q=4 或 q=﹣4,
2 2 2

当 q=﹣4 时,由①得:a1 ×(﹣4)=16,即 a1 =﹣4,无解,所以 q=﹣4 舍去,则公比 q=4.故选 B 11. (2010?江西)等比数列{an}中,|a1|=1,a5=﹣8a2,a5>a2,则 an=( ﹣ ﹣ A.(﹣2)n 1 B.﹣(﹣2n 1) C.(﹣2)n 分析: 根据等比数列的性质,由 a5=﹣8a2 得到 等于 q ,求出公比 q 的值,然后由 a5>a2,利用等比数列的通项
3

) D.﹣(﹣2)n

公式得到 a1 大于 0,化简已知|a1|=1,得到 a1 的值,根据首项和公比利用等比数列的通项公式得到 an 的值即 可. 解答: 解:由 a5=﹣8a2,得到 则 an=a1q
n﹣1

=q =﹣8,解得 q=﹣2,又 a5>a2,得到 16a1>﹣2a1,解得 a1>0,所以|a1|=a1=1 故选 A ) D.4

3

=(﹣2)

n﹣1

12.已知等比数列{an}中,a6﹣2a3=2,a5﹣2a2=1,则等比数列{an}的公比是( A.﹣1 B.2 C.3

分析: 根据等比数列的通项公式化简已知的两等式,得到关于首项和公比的两个方程,分别记作①和②,把①提 取 q 后,得到的方程记作③,把②代入③即可求出 q 的值. 解答: 解:由 a6﹣2a3=2,a5﹣2a2=1 得:

,由①得:q(a1q ﹣2a1q)=2③,把②代入③得:q=2.故选 B

4

13.正项等比数列{an}中,a2a5=10,则 lga3+lga4=( A.﹣1 B.1

) C.2

D.0

分析: 等比数列的定义和性质,得到 a3a4=10,故有 lga3+lga4=lga3a4=lg10=1. 解答: 解:∵正项等比数列{an}中,a2a5=10,∴a3a4=10,∴lga3+lga4=lga3a4=lg10=1,故选 B. 14.在等比数列{bn}中,b3?b9=9,则 b6 的值为( A.3 B.±3
2

) C.﹣3 D.9

分析: 在等比数列{bn}中,由 b3?b9=b6 =9,能求出 b6 的值. 2 解答: 解:∵在等比数列{bn}中,b3?b9=b6 =9,∴b6=±3.故选 B. 15. (文)在等比数列{an}中, A. B. ,则 tan(a1a4a9)=( C. ) D.

分析:

由 的值.

, 根据等比数列{an}的通项公式得 a1a4a9=

, 再结合三角函数的性质可求出 tan (a1a4a9)

解答:

解:∵

,∴a1a4a9=

,∴tan(a1a4a9)=

.故选 B.

16.若等比数列{an}满足 a4+a8=﹣3,则 a6(a2+2a6+a10)=( A.9 B.6 C.3

) D.﹣3
2

分析: 根据等比数列的性质若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,则有 aman=apaq 可得 a6(a2+2a6+a10)=(a4+a8) , 进而得到答案. 解答: 解:由题意可得:在等比数列{an}中,若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,则有 aman=apaq. 2 因为 a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a6a6+a10a6,所以 a6a2+2a6a6+a10a6=(a4+a8) =9.故选 A.

17.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 A. B.

=3,则

=( C.

) D.1

分析: 首先根据等比数列的前 n 项和对 解答: 解:∵ =3,∴ 整理得,1+q =2,∴q =2
3 3

=3 进行化简,求出 q ,进而即可求出结果.

3



= 故选 B.

18.在等比数列{an}中,an>0,a2=1﹣a1,a4=9﹣a3,则 a4+a5=( A.16 B.27 C.36

) D.81
3 4

分析: 首先根据等比数列的性质求出 q=3 和 a1=的值,然后代入 a4+a5=a1q +a1q =即可求出结果. 解答: 解:∵a2=1﹣a1,a4=9﹣a3∴a1q+a1=1 ①a1q3+a1q2=9 ② 两式相除得,q=±3∵an>0∴q=3 a1= ∴a4+a5=a1q +a1q =27 故选 B.
3 4

19.在等比数列{an}中 a2=3,则 a1a2a3=( A.81 B.27

) C.22 D.9

分析: 由等比数列的性质可得:a1a2a3=a23,结合题意即可得到答案. 3 3 解答: 解:由等比数列的性质可得:a1a2a3=a2 ,因为 a2=3,所以 a1a2a3=a2 =27.故选 B. 20.等比数列{an}各项均为正数且 a4a7+a5a6=16,log2a1+log2a2+…+log2a10=( A.15 B.10 C.12 ) D.4+log25

分析: 先用等比数列{an}各项均为正数,结合等比数列的性质,可得 a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6>0,从而 a1a2a3…a9a10= 5 (a5a6) ,然后用对数的运算性质进行化简求值,可得正确选项. 解答: 解:∵等比数列{an}各项均为正数 ∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6>0∵a4a7+a5a6=16∴a5a6=a4a7=8 根据对数的运算性质,得 5 5 log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2a3…a9a10)=log2(a5a6) =log2(8) =15 5 3 5 15 ∵(8) =(2 ) =2 5 15 ∴log2(8) =log22 =15 故选 A 21.等比数列{an}中 a4,a8 是方程 x +3x+2=0 的两根,则 a5a6a7=( A.8 B.±2 C.﹣2
2

) D.2

2 分析: 根据等比数列的性质得到第 6 项的平方等于第 4 项与第 8 项的积, 又根据韦达定理, 由 a4, a8 是方程 x +3x+2=0 的两根即可得到第 4 项与第 8 项的积,进而求出第 6 项的值,然后把所求的式子也利用等比数列的性质变 为关于第 6 项的式子,把第 6 项的值代入即可求出值. 2 解答: 解:根据等比数列的性质得:a6 =a4a8, 2 2 又 a4,a8 是方程 x +3x+2=0 的两根,得到 a4a8=2,则 a6 =2,解得 a6=± , 3 则 a5a6a7=(a5a7)a6=a6 =±2 .故选 B

22.在等比数列{an}中,若 a3a4a5a6a7=243,则 A.9 B.6

的值为( C.3

) D.2

分析: 先利用等比数列通项的性质,求得 a5=3,再将 解答: 解:∵等比数列{an}中,若 a3a4a5a6a7=243, ∴ ∴a5=3 设等比数列的公比为 q ∵ = = 化简,即可求得 的值.



=3

故选 C. 点评: 本题重点考查等比数列通项的性质,考查计算能力,属于基础题. 23.在 3 和 9 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则这两个数的和是( A. B. C. D. )

考点: 等差数列的性质;等比数列的性质. 专题: 计算题. 2 分析: 根据题设条件,设中间两数为 x,y,由 3,x,y 成等比数列,知 x =3y,由 x,y,9 等比数列,知 2y=x+9,
501974

列出方程组

,从而求得这两个数的和.

解答: 解:设中间两数为 x,y,



,解得

,所以

=11 .故选 C.

24.已知等比数列 1,a ,9,…,则该等比数列的公比为( ) A.3 或﹣3 B. C.3 3或
4 2

2

D.

分析: 由等比数列的通项公式可得 9=1×a ,解得 a =3,从而得到公比. 解答: 4 2 解:由题意可得 9=1×a ,∴a =3,故公比为 =3, 故选 C. 点评: 本题考查等比数列的通项公式,求出 a2 的值,是解题的关键. 25. (2011?江西)已知数列{an}的前 n 项和 sn 满足:sn+sm=sn+m,且 a1=1,那么 a10=( ) A.1 B.9 C.10 D.55 分析: 根据题意,用赋值法,令 n=1,m=9 可得:s1+s9=s10,即 s10﹣s9=s1=a1=1,进而由数列的前 n 项和的性质, 可得答案. 解答: 解:根据题意,在 sn+sm=sn+m 中,

令 n=1,m=9 可得:s1+s9=s10,即 s10﹣s9=s1=a1=1, 根据数列的性质,有 a10=s10﹣s9,即 a10=1,故选 A. 26.在等比数列{an}中,前 7 项和 S7=16,又 a1 +a2 +…+a7 =128,则 a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=( A.8 B. C.6 D.
2 2 2



分析: 把已知的前 7 项和 S7=16 利用等比数列的求和公式化简,由数列{an2}是首项为 a1,公比为 q2 的等比数列, 2 2 2 故利用等比数列的求和公式化简 a1 +a2 +…+a7 =128,变形后把第一个等式的化简结果代入求出 的值,最后把所求式子先利用等比数列的通项公式化简,把前六项两两结合后,发现前三项

为等比数列,故用等比数列的求和公式化简,与最后一项合并后,将求出 值. 解答: 解:∵S7= =16,∴a1 +a2 +…+a7 =
2 2 2

的值代入即可求出

=

?

=128,



=8,则 a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=(a1﹣a2)+(a3﹣a4)+(a5﹣a6)+a7

=a1(1﹣q)+a1q (1﹣q)+a1q (1﹣q)+a1q =

2

4

6

+a1q

6

=

=8.故选 A

27.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,若 4a1,2a2,a3 成等差数列,则 S4=( A.7 B.8 C.16

) D.15

分析: 利用 a1=1,4a1,2a2,a3 成等差数列,求得等比数列的公比,即可求出 S4 的值. 解答: 解:设等比数列的公比为 q,则 2 ∵a1=1,4a1,2a2,a3 成等差数列,∴4q=4+q ,∴q=2∴S4=1+2+4+8=15 故选 D. 二.填空题(共 3 小题) 28.已知数列{an}中,a1=1,an=2an﹣1+3,则此数列的一个通项公式是 2
n+1

﹣3



分析: 由 a1=1,an=2an﹣1+3,可得 an+3=2(an﹣1+3) (n≥2) ,从而得{an+3}是公比为 2,首项为 4 的等比数列. 解答: 解:∵数列{an}中,a1=1,an=2an﹣1+3, ∴an+3=2(an﹣1+3) (n≥2) , ∴{an+3}是公比为 2,首项为 4 的等比数列, n﹣1 ∴an+3=4?2 , n+1 ∴an=2 ﹣3. n+1 故答案为:2 ﹣3. 29.数列 的前 n 项之和是 .

专题: 计算题. 分析: 利用分组求和,然后结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解 解答: 解:∵S = n

=(3+4+…+n+2)

=

=

=

故答案为:

30.等比数列{an}的首项 a1=﹣1,前 n 项和为 Sn,若

,则公比 q 等于



考点: 等比数列的性质;等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 利用数列前 n 项和的定义及等比数列通项公式 得出
501974

=1+q =

5

,解出 q 即可.

解答: 解:∵{an}是等比数列,由数列前 n 项和的定义及等比数列通项公式得 S10=(a1+a2+…a5)+(a6+a7+…+a10) =S5+q (a1+a2+…a5)=(1+q )S5∴ 故答案为: 点评: 本题主要考查等比数列前 n 项和的计算、通项公式.利用数列前 n 项 定义,避免了在转化 是否为 1 的讨论. 时对公比 q .
5 5

=1+q =

5

,q =

5

,q=




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