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广东省惠州市高三考试数学试题(文科)


广东省惠州市高三考试数学试题(文科)
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一.选择题:本大题共l0小题,在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.每小题5分,满分50 分. 1.命题“ 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 ”的否命题是( A. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 C. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 ).

B. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 D. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1

2.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 ?密文(加密) ,接受方由密文 ? 明文(解密) ,已知加 密规则为:明文 a, b, c, d 对应密文 a ? 2b,2b ? c,2c ? 3d ,4d ,例如,明文 1, 2,3, 4 对应密文 5,7,18,16 .当接 受方收到密文 14,9, 23, 28 时,则解密得到的明文为( A. 4,6,1,7
?

) . D. 1,6,4,7 ) .

B. 7,6,1,4
?

C. 6,4,1,7
? ?

3.已知向量 c ? (2 x ? 1, 4) , d ? (2 ? x ,3) ,若 c // d ,则实数 x 的值等于( A. ?

1 2

B.

1 2

C.

1 6

D. ?

1 6
) .

4.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于(

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.

3 2

5.在一次射击训练中,一小组的成绩如下表: 环数 人数

7
2

8

9

3

1 环,那么成绩为 8 环的人数是( 已知该小组的平均成绩为 8.
A .5 B .6

) .

C .4
) .

D .7

6. 下列函数为奇函数的是(

? ? ? x (x ? 0) A.y?? ? ? x (x ? 0)

B . y ? x3

C . y ? 2x

D . y ? log2 x

7. 下列四个几何体中,每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是(

) .

①正方体

②圆锥

③三棱台

④正四棱锥
开始

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

k=1

S ?0

8.如果执行下面的程序框图,那么输出的 S ? ( A.2450 B.2500 C.2550

) .

D.2652

9.将函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图象先向左平移

? ,然后将所得图象上 6

所有的点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象 对应的函数解析式为( A. y ? ? cos x ) . C. y ? sin x D. y ? sin( x ?

B. y ? sin 4 x

?
6

)

10.已知全集 R,集合 E={x|b<x< 则有( ).

a+b },F={x| ab <x<a},M={x|b<x ? ab} ,若 a>b>0, 2
C. M=E ? (? R F) D. M=(? R E) ? F

A. M=E ? F

B. M=E ? F

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二.填空题:本大题共5小题,其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.每 小题5分,满分20分. 11.化简:

(1 ? i ) 2 ? i



12. 已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的函数, 且对任意 x ? R , 都有: f ( x ? 2) ?

1 1 1 ? f ( x) , 又 f (1) ? , f (2) ? , 2 4 1 ? f ( x)

)? 则 f (2007



?x ? 0 ? 13.若实数 x、 y 满足条件 ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为_____ . ? 2x-2y +1 ? 0 ?
14. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中,圆 ? ? 2? cos? ? 3 ? 0 上的动点到直线 ? cos ? ? ? sin ? ? 7 ? 0
2

的距离的最大值是 . 15. (几何证明选讲选做题)如右图所示, AB 是圆 O 的直径,

? ? , AB ? 10 , BD ? 8 ,则 cos ?BCE ? AD ? DE



三.解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 16.(本小题 12 分) 在△ABC 中, a、b、c 是角 A、B、C 所对的边,且满足 a ? c ? b ? ac .
2 2 2

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 m ? (sin A,cos 2 A), n ? (?6, ?1) ,求 m ? n 的最小值. 17.(本小题 14 分)已知:正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点. (Ⅰ) 求证: B1D1 ? AE ;

??

?

?? ?

(Ⅱ) 求证: AC // 平面 B1DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A-BDE 的体积.

0.2、 0.1、 0.4 . 18. (本小题 12 分)有朋自远方来,已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是 0.3、
(Ⅰ)求他乘火车或飞机来的概率; (Ⅱ)求他不乘轮船来的概率; (Ⅲ)如果他来的概率为 0.4 ,请问他有可能是乘何种交通工具来的?

19.(本小题 14 分)设函数 f ( x) ?

a 3 x ? bx 2 ? 4cx ? d 的图象关于原点对称, f ( x) 的图象在点 P(1, m) 处的 3

切线的斜率为 ?6 ,且当 x ? 2 时 f ( x) 有极值. (Ⅰ)求 a、b、c、d 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的所有极值. 20. ( 本小题 14 分 ) 已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2 和圆 C2 ,直线 l 与圆 C1 相切于点 (1,1);圆 C2 的圆心在射线

2 x ? y ? 0 ( x ? 0)上,圆 C2 过原点,且被直线 l 截得的弦长为 4 3 .
(Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)求圆 C2 的方程.

21. (本小题 14 分)已知数列 ?an ? 是等差数列, a2 ? 6, a5 ? 18 ;数列 ?bn ? 的前 n 项和是 Tn ,且 Tn ? (Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (Ⅲ) 记 cn ? an ? bn ,求 ?cn ? 的前 n 项和 Sn .

1 bn ? 1 . 2

广东省惠州市 2013 届高三第二次调研考试 数学试题(文科)参考答案
题号 答案
2007.11

1

2

3
B

4

5
A

6
B

7
D

8 C

9 C

10 C

C

C

B

1.解析:命题“ 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 ”的否命题是: “ 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 ” ,故选 C.

?a ? 2b ? 14 ?a ? 6 ?2b ? c ? 9 ?b ? 4 ? ? 2.解析:由已知,得: ? ,故选 C . ?? ?2c ? 3d ? 23 ?c ? 1 ? ? ?4d ? 28 ?d ? 7
3.解析:若 c // d ,则 3(2 x ? 1) ? 4(2 ? x) ? 0 ,解得 x ?
? ?

1 .故选 B . 2

4.解析:由题意得 2a ? 2 2b ? a ? 2b ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 ? b ? c ? a ? 故选 B .

2c ? e ?

2 . 2

5.解析:设成绩为 8 环的人数是 x ,由平均数的概念,得: 7 ? 2 ? 8x ? 9 ? 3 ? 8.1(2 ? x ? 3) ? x ? 5 . 故选 A . 6.解析: A 是偶函数; C 是指数函数; D 是对数函数.故选 B . 7.解析:①的三视图均为正方形;②的三视图中正视图.侧视图为相同的等腰三角形,俯视图为圆;④的三视 图中正视图.侧视图为相同的等腰三角形,俯视图为正方形.故选 D . 8.解析:程序的运行结果是 s ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ? ? 100 ? 2550 ,选 C . 9. 解析: y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图象先向左平移

?

? y ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin 2 x ,横坐标变为原来的 2 倍 6 6 3

?

?

1 ? y ? sin 2( x) ? sin x .答案: C . 2
10.解析:特殊值法:令 a ? 2 , b ? 1 ,有 E={x|1<x< } ,F={x| 2<x<2},M={x|1<x ? 2} .故选 C .

3 2

题号 答案

11

12

13

14

15

2

1 3

2

4 2 ?2

3 5

11.解析:

(1 ? i)2 2i ? ? 2. i i
1 ? f (1) 1 1 ? f (2) 3 ? ,令 x ? 2 ,则 f (4) ? ? , 1 ? f (1) 3 1 ? f (2) 5
y

12.解析:令 x ? 1 ,则 f (3) ? 同理得 f (5) ?

1 1 , f (6) ? , 即当 x ? N * 时, f (n) 的值以 4 为周期, 2 4 1 所以 f (2007) ? f (501? 4 ? 3) ? f (3) ? . 3 1 13.解析:由图象知:当函数 z ? 2 x ? y 的图象过点 ( ,1) 时, 2

1
1 2

z ? 2 x ? y 取得最大值为 2.

O

1 2

x

14. (坐标系与参数方程选做题)解析:将极坐标方程转化成直角坐标方程,圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上的动点到直线

x ? y ? 7 ? 0 的距离的最大值就是圆心 (?1, 0) 到直线 x ? y ? 7 ? 0 的距离 d 再加上半径 r ? 2 .故填 4 2 ? 2 .
15. (几何证明选讲选做题)解析:连结 AD、BE , 则在 ?ABD 和 ?BCE 中: ?ADB ? ?BEC ? 90 ,
0

且 ?ABD ? ?CBE ,所以 ?DAB ? ?ECB , 故 cos ?BCE ? cos ?DAB ?

3 . 5

三.解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 16.析:主要考察三角形中的边角关系、向量的坐标运算、二次函数的最值. 解:(Ⅰ)∵ a ? c ? b ? ac ,∴ cos B ?
2 2 2

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? , 2ac 2

??????3 分

又∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ?

?
3



?????????????????5 分 ?????????????????6 分

(Ⅱ) m ? n ? ?6sin A ? cos 2 A

?? ?

3 11 ? 2sin 2 A ? 6sin A ? 1 ? 2(sin A ? ) 2 ? , ?????????8 分 2 2 2? D1 ∵0 ? A ? ,∴ 0 ? sin A ? 1 . ?????10 分 3
∴当 sin A ? 1 时,取得最小值为 ?5 . ????12 分

C1

A1

B1
D
B

E

17.析:主要考察立体几何中的位置关系、体积. 解:(Ⅰ)证明:连结 BD ,则 BD // B1D1 ,

C

A ∵ ABCD 是正方形,∴ AC ? BD .∵ CE ? 面 ABCD ,∴ CE ? BD .
又 AC ? CE ? C ,∴ BD ? 面 ACE . ∵ AE ? 面 ACE ,∴ BD ? AE , ∴ B1D1 ? AE . ????????????????5 分 (Ⅱ)证明:作 BB1 的中点 F,连结 AF、CF、EF . ∵ E、F 是 CC1、BB1 的中点,∴ CE ??????4 分

????1 分

B1F ,

∴四边形 B1FCE 是平行四边形,∴ CF// B1 E . ???7 分 ∵ E , F 是 CC1、BB1 的中点,∴ EF //BC , 又 BC // AD ,∴ EF // AD . ∴四边形 ADEF 是平行四边形,? AF // ED , ∵ AF ? CF ? C , B1E ? ED ? E , ∴平面 ACF // 面 B1DE . ?????????????9 分 ??????10 分

又 AC ? 平面 ACF ,∴ AC // 面 B1DE . (3) S ?ABD ?

VA? BDE

1 AB ? AD ? 2 . ???????????11 分 2 1 1 2 ? VE ? ABD ? S?ABD ? CE ? S?ABD ? CE ? . ???????????14 分 3 3 3

18.析:主要考察事件的运算、古典概型.

) 3 ? 0 . 解: 设 “朋友乘火车、 轮船、 汽车、 飞机来” 分别为事件 A、B、C、D , 则 P( A P( D) ? 0.4 ,且事件 A、B、C、D 之间是互斥的.

P( B) ? 0.2 , P(C) ? 0.1 , ,

(Ⅰ)他乘火车或飞机来的概率为 P 1 ? P( A ? D) ? P( A) ? P( D) ? 0.3 ? 0.4 ? 0.7 ???4 分 (Ⅱ)他乘轮船来的概率是 P( B) ? 0.2 , 所以他不乘轮船来的概率为 P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ? 0.2 ? 0.8 . ??????8 分

(Ⅲ)由于 0.4 ? P( D) ? P ( A) ? P (C ) , 所以他可能是乘飞机来也可能是乘火车或汽车来的. ???????12 分 19.析:主要考察函数的图象与性质,导数的应用. 解:(Ⅰ)由函数 f ( x ) 的图象关于原点对称,得 f (? x) ? ? f ( x) ,??????1 分

a 3 a x ? bx 2 ? 4cx ? d ? ? x3 ? bx 2 ? 4cx ? d ,∴ b ? 0, d ? 0 . ????2 分 3 3 a 3 ∴ f ( x ) ? x ? 4cx ,∴ f '( x) ? ax2 ? 4c . ???????????4 分 3
∴? ∴?

? f '(1) ? a ? 4c ? ?6 ?a ? 4c ? ?6 ,即 ? . ? f '(2) ? 4a ? 4c ? 0 ? 4a ? 4c ? 0

????????6 分

∴ a ? 2, c ? ?2 . ????????????????????7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?
2

2 3 x ? 8 x ,∴ f '( x) ? 2x2 ? 8 ? 2( x2 ? 4) . 3
???????9 分

由 f ( x) ? 0, 得 x ? 4 ? 0 ,∴ x ? 2或x ? ?2 .

x
f ?( x ) f ( x)
∴ f ( x)极大 ? f (?2) ?

(??, ?2)

?2
0 极小

(?2, 2)
+ ↗

2
0 极大

(2, ??)

?


?


32 32 ; f ( x)极小 ? f (2) ? ? . 3 3

?????????14 分

20.析:主要考察直线.圆的方程,直线与圆的位置关系. 解:(Ⅰ)(法一)∵点 (1,1) 在圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2 上, ∴直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (法二)当直线 l 垂直 x 轴时,不符合题意. ??????????2 分

???????????5 分 ???????????2 分

当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 1 ? 0 . 则圆心 C1 (0,0) 到直线 l 的距离 d ? r ? 2 ,即: ∴直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 .

| ?k ? 1| k 2 ?1

? 2 ,解得 k ? ?1 ,??4 分

?????????????????5 分
2 2

2 2 2 (Ⅱ)设圆 C2 : ( x ? a) ? ( y ? 2a) ? r (a ? 0) ,∵圆 C2 过原点,∴ 5a ? r . 2 2 2 ∴圆 C2 的方程为 ( x ? a) ? ( y ? 2a) ? 5a (a ? 0) .??????????7 分

∵圆 C2 被直线 l 截得的弦长为 4 3 ,∴圆心 C2 (a , 2a) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离:

d ? 5a 2 ? 12 ?

| a ? 2a ? 2 | . 2

????????????????9 分

2 整理得: a ? 12a ? 28 ? 0 ,解得 a ? 2 或 a ? ?14 . ???????????10 分

∵ a ? 0 ,∴ a ? 2 .

??????????????????????13 分

∴圆 C2 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 20 . ??????????????14 分 21.析:主要考察等差、等比数列的定义、式,求数列的和的方法. 解:(Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,则: a2 ? a1 ? d , a5 ? a1 ? 4d , ∵ a2 ? 6 , a5 ? 18 ,∴ ?

? a1 ? d ? 6 ,∴ a1 ? 2, d ? 4 . ?????????2 分 ? a1 ? 4d ? 18

∴ an ? 2 ? 4(n ?1) ? 4n ? 2 . ????????????????4 分

1 2 b1 ? 1 ,得 b1 ? . ???????5 分 2 3 1 1 当 n ? 2 时,? Tn ? 1 ? bn , Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 , 2 2 1 1 ∴ Tn ? Tn ?1 = (bn ?1 ? bn ) ,即 bn ? (bn ?1 ? bn ) . ??????????7 分 2 2 1 ∴ bn = bn ?1 . ???????????????????????8 分 3 2 1 ∴ ?bn ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. ?????????????9 分 3 3 2 1 n ?1 1 n (Ⅲ)由(2)可知: bn ? ? ( ) ? 2 ? ( ) . ???????????10 分 3 3 3 1 n 1 n ∴ cn ? an ? bn ? (4n ? 2) ? 2 ? ( ) ? (8n ? 4) ? ( ) . ?????????????11 分 3 3 1 1 2 1 n ?1 1 n ∴ Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?1 ? cn ? 4 ? ( ) ? 12 ? ( ) ? ? ? (8n ? 12) ? ( ) ? (8n ? 4) ? ( ) . 3 3 3 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 ∴ S n ? 4 ? ( ) ? 12 ? ( ) ? ? ? (8n ? 12) ? ( ) ? (8n ? 4) ? ( ) . 3 3 3 3 3 1 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 ∴ Sn ? Sn ? S n ? 4 ? ? 8 ? ( ) ? 8 ? ( ) ? ? ? 8 ? ( ) ? (8n ? 4) ? ( ) 3 3 3 3 3 3 3 1 1 ( )2 ? [1 ? ( ) n ?1 ] 4 1 3 ? ? 8? 3 ? (8n ? 4) ? ( ) n ?1 1 3 3 1? 3 8 1 1 ? ? 4 ? ( ) n ?1 ? (8n ? 4) ? ( ) n ?1 . ???????????????13 分 3 3 3 1 n ∴ S n ? 4 ? 4( n ? 1) ? ( ) . ???????????????????14 分 3
(Ⅱ)当 n ? 1 时, b1 ? T1 ,由 T1 ?


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