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三角形四心的向量性质及应用(学生版)


三角形“四心”的向量性质及其应用
三角形“四心”的概念介绍 (1)重心—三条中线的交点:重心将中线长度分成 2:1; (2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等; (3)垂心—三条高线的交点:高线与对应边垂直; (4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等. 工具: O 为 △ABC 内一点,则有: S?OBC ?OA ? S?OCA ?OB ? S?OAB ?OC ? 0 一、三角形的重心的向量表示及应用 知识: G 是 △ABC 的重心 ? AG ?? ( AB ? AC)

1 3

? AG ? BG ? CG ? 0 ? OG ?? 1 (OA ? OB ? OC) ( O 为该平面上任意一点) 3
变式:已知 D,E,F 分别为 △ABC 的边 BC,AC,AB 的中点.则 AD ? BE ? CF ? 0 .

二、三角形的外心的向量表示及应用 知识: O 是 △ABC 的外心 ? | OA |?| OB |?| OC |? OA
2

? OB

2

? OC

2

? sin 2A ?OA ? sin 2B ?OB ? sin 2C ?OC ? 0
常用结论: O 是 △ABC 的外心 ? AB ? AO ?? 三、三角形的垂心的向量表示及应用 知识: H 是 △ABC 的垂心 ? HA? HB ? HB ? HC ? HC ? HA

| AB | 2

2

;

AC ? AO ??

| AC | . 2

2

? | HA | ? | BC | ?| HB | ? | CA | ?| HC | ? | AB | ? ?

2

2

2

2

2

2

? tan A ? HA ? tan B ? HB ? tan C ? HC ? 0?
扩展:若 O 是 △ABC 的外心,点 H 满足: OH ? OA ? OB ? OC ,则 H 是
△ABC 的垂心四、三角形的内心的向量表示及应用

知识: 是 △ABC 的内心

I

?? ?? AB AC ?? ?AI ???? ?? ?? ?? ?? ?? ?? | AC | ?? | AB | ?? ?? BI BC ?? ?? BA
??

?0

?? ?? ??

????
??

??

?? ? 0
??

? ?BI ? ?? CB ? ??

?? ?? BA AC ?? ?AI ?? ?? ? 0 ?? ?? ?? | BA |? | AC | ?? ?? ? BA ?? ? ?? ?? ??
?? ? 0
??

? ?CI ????
??

?? | BA | ?? CA ?? | CA |

??

CB ??
??

| BC | ??
??? 0

| CB |?

| BA | ??
??
??

? ? ?? ?CI

BC

CA ??

| CB | ??

? ? | BC |?

?? ? 0

? a ? IA ? b ? IB ? c ? IC ? 0

? OI ? a ?

?

| CA | ??

OA ? b ? OB ? c ? OC a ? b ? c
a ?| BC |, b ?| CA |, c ?| AB | , O 为任一点.

? sin A ? IA ? sin B ? IB ? sin C ? IC ? 0 注:式子中
---1---

五.欧拉线: △ABC 的外心 O ,重心 G ,垂心 H 三点共线(欧拉线),且 OG ?
?

1 2

GH .

测试题

一.选择题
1. O 是 ?ABC 所在平面上一定点,动点 P 满足 OP ? OA ? ?( AB ? AC ) , ? ??0,??? ,

则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心

D.垂心

2.(03 全国理 4) O 是 ?ABC 所在平面上一定点,动点 P 满足 OP ? OA ? ?(

AB AB

??

AC AC

) , ? ??0,???? ,

则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心

D.垂心

3. O 是 ?ABC 所在平面上一定点,动点 P 满足 OP ? OA ? ?(

AB AB cos B

??

AC AC cosC

),??R ,

则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心

D.垂心

AB

AC

4. O 是 ?ABC 所在平面上一定点,动点 P 满足 OP ? OA ? ?( ?

AB sin B

??

AC sin C
? ? ? ?

) , ? ??0,????,

则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心

D.垂心

5. O 是 ?ABC 所在平面上一定点,动点 P 满足 OP ??

OB ? OC

2
).

????

?? AB ?? ?? AB cos B
??

??
?
?

AC cos C

?

, ? ? R ,

??

?

则点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的( A.外心 B.内心 C.重心

D.垂心

6. O 是 ?ABC 所在平面上一定点,动点 P 满足 OP ??1 [(1 ? ?)OA ? (1 ? ?)OB ? (1 ? 2?)OC] , ? ? R * ,

则点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的( A.内心 B.垂心

3

). C.重心 D.AB 边的中点 )

7.已知 O 是 ?ABC 的重心,动点 P 满足 OP ??1 ( 1 OA ?? 1 OB ? 2OC) ,则点 P 一定为 △ABC 的( A.AB 边中线的中点 C.重心
2 2

B.AB 边中线的三等分点(非重心) D.AB 边的中点

3 2

2

8.在 △ABC 中,动点 P 满足: CA ? CB ? 2 AB ? CP ,则 P 点轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 ? 9.已知 ?ABC 三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P ,满足 PA ? PB ? PC ? 0 ,若实数 ? 满足: AB ? AC ? ? AP , ? 则 ? 的值为( ) A.2 B.

3 2

C.3

D.6

10.设点 P 是 ?ABC 内一点,用 S ?ABC 表示 ?ABC 的面积,令 ? ??
1

S
?PBC

S
, ?? ??
2

?PCA

, ? ??
3

S
?PAB



S
?ABC

S
?ABC

S
?ABC

---2---

定义 f (P) ? (? , ? , ? ) ,若 f (G) ? ( 1 , 1 ,1 ), f (Q) ? ( 1 , 1 , 1) 则(
1 2 3

) D.以上皆不对 )

3 3 3
B.点 Q 在 ?BCG 内

2

36

A.点 Q 在 ?ABG 内

C.点 Q 在 ?CAG 内

11.若 ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 1, OA ? OB ? OC ? 0 ,则 OA ? OB ? ( A. 1 B.0 C.1 D. ?? 1

2
则 O 是 ?ABC 的( ) A.外心 B.内心
13.(06 陕西)已知非零向量 AB 与 AC 满足 ??

2
2 2

12. O 是平面上一定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点,若 OA ? BC C.重心 D.垂心
??

? OB2 ? CA2 ? OC 2 ? AB 2 ,

?? AB
??

AC ??
??

??? BC ? 0 且

AB

??

AC

??

1 2

, 则△ABC 为(

)

A.三边均不相等的三角形

B.直角三角形 C.等腰非等边三角形
2

??| AB |

| AC | ??

| AB | | AC |

D.等边三角形 )

14.已知 ?ABC 三个顶点 A、B、C ,若 AB A.等腰三角形 二.填空题

? AB ? AC ? AB ? CB ? BC ? CA ,则 ?ABC 为(

B.等腰直角三角形 C.直角三角形

D.既非等腰又非直角三角形

15. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH ? m(OA ? OB ? OC) ,则实数 m = 16. ?ABC 中, AB ?1, AC ? 3, BC ?? 7 , O 为重心,则 AO ? AC ?? 17.点 O 在 ?ABC 内部且满足 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 S?ABC : S?AOC ?? 18.点 O 在 ?ABC 内部且满足 AO ??2 AB ?? 1 AC ,则 S?ABC : S?AOB ??



. .



5

5
. .

19.已知 ?ABC 中,AB |?| AC |? 5,| BC |? 6 ,I 为 ?ABC 的内心,且 AI ? ? AB ? ?BC ,则 ? ? ? ?? 20.已知 ?ABC 中,AB ? 2, AC ?1, AB ? AC ???1,O 为 ?ABC 的外心,且 AO ? x AB ? yBC ,则 x ? y ?? 21.已知 O 为锐角 ?ABC 的外心, ?A ? 30?,若 AB ??cosB ? AC ??cosC ? 2mAO ,则 m ??

sin C

sin B



22.在 ?ABC 中, AD ? AB, BC ?? 3 BD, AD ?1,则 AC ? AD ??



三.解答题 23. 如图,已知点 G 是 ?ABC 的重心,过 G 作直线与 AB, AC 两边分别交于 M , N 两点, A 且 AM ? x AB , AN ? y AC ,求证: 1 ?? 1 ? 3 .

x

y
M G B N C

---3---

24.设 O 在 ?ABC 的内部,若有正实数 ?1, ?2 , ?3 满足: ?1 ? OA ? ?2 ? OB ? ?3 ? OC ? 0 , 求证: ?1 : ?2 : ?3 ? S?BOC : S?COA : S?AOB .

25.已知向量 OP , OP , OP 满足条件 OP + OP + OP =

1

2

3

1

2

3

0

,| OP |=| OP |=| OP |=1,求证: ?P P P 为正三角形.
1 2 3

1

2

3

26.在 ?ABC 中, AB ? 2, AC ? 5, A ? 60? ,求从顶点 A, B 出发的两条中线 AD, BE 的夹角的余弦值.

27.已知 H 是 △ABC 的垂心,且| AH |?| BC | ,试求∠ A 的度数.

28.已知 O(0,0), B(1,0),C(b,c) ,试写出△ OBC 的重心 G ,外心 F ,和垂心 H 的坐标,并证明 G, F, H 三点共线.

(2002 全国).

29.已知 G 、 M 分别为不等边 △ABC 的重心与外心, A(?1,0) 、 B (1,0) 且 GM ∥ AB ,(1)求点 C 的轨迹方程; (2)若直线 l 过点(0,1),并与 C 的轨迹曲线交于 P 、Q 两点,且满足 OP ?OQ ? 0 ( O 为坐标原点),求直线 l 的方程.

30.已知 P 是非等边△ ABC 外接圆 O 上任意一点,(外接圆半径为 R ) 试问 P 位于何处时, PA ? PB ? PC 取得最大值和最小值.
P A

2

2

2

O B C

---4---


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