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空间几何平行与垂直证明_图文

空间几何平行与垂直证明 线面平行 方法一:中点模型法 例:1.已知在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为平行四边形, E 为 PC 的中点. 求证:PA//平面 BDE

P E A P B A

A P

D C B

C B A

练习: 1.三棱锥 P
_ ABC

中, P A

? AB ? AC

,?BAC

? 120

?

, PA

?

平面 A B C ,

点 E 、 F 分别为线段 P C 、 B C 的中点, (1)判断 P B 与平面 A E F 的位置关系并说明理由; (2)求直线 P F 与平面 P A C 所成角的正弦值。
P

E

A

C F

B

2.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AD⊥CD.DB 平分∠ADC,E 为 PC 的中点,AD=CD. (1)证明:PA∥平面 BDE; (2)证明:AC⊥平面 PBD.

3. 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 , E,F,G,H 分 别 为 AB,BC,CD,DA 的中点. 求证:AC//平面 EFG.
E D C B A

A

H G F D D C C F B B D A A

G F D C C B

B A

4.已知空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点. 求证:EF //平面 BGH.

A

E D C B A

H G F D D C C F B B D A A

G F D C C B

B A

方法二:平行四边形法

例:1.已知在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为平行四边形,E 为 PC 的中点,O 为 BD 的中点. 求证:OE //平面 ADP P
E A P B A

D C A P

O B D A

C B A

2.正方体 A B C D 求证: E G
//

? A1 B 1 C 1 D 1

中, E , G 分别是 B C , C 1 D 1 中点.
D1 G C1 A1 B1 D E

平面 B D D 1 B 1

C B

A

练习 1.如图,在四棱锥 O ? A B C D 中,底面 A B C D 四边长为 1 的菱形, 点, N 为 B C 的中点 证明:直线 M N ‖ 平面 O C D ;

M

为 O A 的中

O

M A D B N C

2.在四棱锥 P-ABCD 中,底面四边形 ABCD 是平行四边形,E,F 分别是 AB,PD 的 中点. 求证: A F // 平面 P C E
P F A P C B A P
C1 B1 A1

B A P

E A P

3.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证: (1)C1O//平面 AB1D1;

A D C B A P

D C B A P

D1

D O A B

C

4. 如 图 , 已 知 棱 柱
? DAB ? 60
?

ABCD

? A1 B 1 C 1 D 1

的底面是菱形,且

AA 1 ?



ABCD



, AD
//

? A A1 ? 1 , F

为棱 AA 1 的中点, M 为线段 BD 1 的中点,
1

(1)求证: MF 证明你的结论;

面 ABCD ; (2)判断直线 M F 与平面 BDD

B 1 的位置关系,并

D1 A1 M F D B B1

C1

C

A

方法三:构造平面法 例: 1.如图, 平面 B O E
E, F ,O

分别为 P A ,P B ,A C 的中点. 是 O C 的中点, 证明:F G G

//

方法四:线段比例法 例 1、如图所示,已知正方形ABCD与正方形ABEF不共面,AN=DM .求证:MN∥平面BCE.

面面平行 题 1、如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N、E、F 分别是棱 A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1 中点. D1 F C1 (1) 求证:平面 AMN∥平面 EFDB; N (2) 求异面直线 AM、BD 所成角的余弦值. B
A1 M
1

E

D C A B

练习 1.如图,在正方体ABCD- A 1 求证:平面A D 1
B 1 //平面 C 1 B1 C 1 D1

中,AB= a

D1

C1

DB.
A1

B1 A1

A1

D A

B B



2、 两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB, M∈AC, N∈FB, AM=FN, 且 过 M 作 MH⊥AB 于 H, 求证:平面 MNH//平面 BCE;

3、已知四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形. 点 M、N、Q 分别在 PA、BD、 PD 上, 且 PM:MA=BN:ND=PQ:QD. 求证:平面 MNQ∥平面 PBC. P
Q M C D N B A

线面垂直 例:1.如图,三棱柱 A B C
C 1C ? A1 B 1 C 1 的所有棱长都相等,且 A1 A ?

底面 A B C ,D 为

的中点, A B 1 与 A1 B 相交于点 O ,连结 O D , 求证: O D
//

平面 A B C ; (2)求证: A B 1

?

平面 A1 B D 。

2 .如图所示,四边形 A B C D 为 矩形, A E ? E B ? B C ? 2 ,且 B F ? 平面 A C E (1)求证: A E ? 平面 B C E ; (2)求证: A E // 平面 B F D ;

AD ?

平面

ABE

, F 为 C E 上的点,


G



A E





3.如图,正方形 ABCD 所在平面与直角梯形 ABEF 所在平面互相垂直,△ABE 是等 腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°. (Ⅰ)求证:EF⊥平面 BCE; (Ⅱ)设线段 CD、AE 的中点分别为 P、M,求证:PM∥平面 BCE;

4.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AB
E D ? A1C

? BC

,E 是 A1C 的中点,
2 2 BC

且交 AC 于 D, A 1 A
/ /

? AB ?

(如图 11) .

(I)证明: B 1 C 1

平面 A 1 B C ;
C1 A1 E D A
图11

(II)证明: A 1 C ? 平面 E D B .

B1 C B

5. 如 图 , 在 四 棱 锥
PAD ^ 底 面 ABCD

P - ABCD

中,底面
2 2 AD

ABCD

是边长为 a 的正方形,侧面

,且 P A

= PD =

,若 E 、 F 分别为 P C 、 B D 的中点.
P E

(1)求证: E F ∥平面 P A D ; (2)求证: PA ⊥平面 PDC .

D F A B

C

6、如图,在四棱锥 P

? ABCD
? 45
0

中,底面 A B C D 为 , AD
? AC ? 1 ,O

平行四边形, ? A D C
PO ?

为 A C 中点,

P

平面 A B C D , P O ? 2 , M 为 P D 中点. (Ⅰ)证明: P B //平面 A C M ; (Ⅱ)证明: A D ? 平面 P A C ; (Ⅲ)求直线 A M 与平面 A B C D 所成角的正切值.
D

M

C O A B

面面垂直 例 1.如图,四棱锥 P—ABCD 中, PA ^ 平面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,AB⊥ AD,CD⊥AD,CD=2AB,E 为 PC 中点. (1)求证:平面 PDC ^ 平面 PAD; P (2)求证:BE//平面 PAD.
D A B

E C

2.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA⊥PD,底面 ABCD 是直角梯形,其中 BC∥AD,∠BAD=90°,AD=3BC,O 是 AD 上一点. (1)若 CD∥平面 PBO,试指出点 O 的位置; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PCD.

3.如图,PA⊥平面 ABC,AE⊥PB,AB⊥BC,AF⊥PC,PA=AB=BC=2(1)求证:平 面 AEF⊥平面 PBC; (2) 求二面角 P—BC—A 的大小; (3)求三棱锥 P—AEF 的体积.
P F E A B C

4.如图,四棱锥 P

? ABCD

的底面是正方形,P D ;

? 底 面 ABCD

,点 E 在棱 PB 上。

(Ⅰ)求证:平面 A E C (Ⅱ)当 P D
? 2 AB

? 平 面 PDB

且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小。

线线垂直 例 1 如图,在四棱台 A B C D
? A1 B 1 C 1 D 1

中, D 1 D

?

平面 A B C D ,

底面 A B C D 是平行四边形,A B = 2 A D ,A D = A 1 B 1 ,? B A D = 60° (Ⅰ)证明: A A 1
? BD



(Ⅱ)证明: C C 1∥ 平 面 A 1 B D .

2、如图,在三棱锥 P ? A B C 中, A B ? A C , D 为 B C 的中点, P O ⊥平面 A B C , 垂足 O 落在线段 A D 上. (Ⅰ)证明: A P ⊥ B C ; (Ⅱ)已知 B C ? 8 , P O ? 4 , A O ? 3 , O D ? 2 .求二面角 B ? A P ? C 的 大小.

3.如图,PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥PBC

求证:AB⊥BC
P

A B

C

4、如图,在 ? A B C 中 , ? B =

?
2

, A B ? B C ? 2, P 为 A B 边 上 一 动 点 , PD//BC
? 平 面 PBCD.

交 AC

于 点 D,现将 ? P D A 沿 P D 翻 折 至 ? P D A ' , 使 平 面 P D A ' (1)当棱锥 A ' ?
PBCD

的体积最大时,求 PA 的长;
? DE.

(2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 A 'C 的 中 点 , 求 证 : A ' B


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